作者：王国波 

  阅读顺序，建议从本系列第一篇前言看起。这篇文章迁到简书，因为简书的字数限制，只好分成5个小篇，分别是3-1、3-2、3-3、3-4、3-5。

  接前文数学思想方法揭秘-2，在这里讲述我对这些题的解题思维过程，主要是在思维过程中如何运用数学思想方法和解题策略来探索解题方法，所思所想。学习者可以先试着做一做数学思想方法揭秘-2中的题，再对比下面的思维过程，多揣摩领会解题思维过程中的思想精髓，看不懂就多读几遍，直到自己有会心一笑心领神会的感觉为止。以后就可有意识的进行模仿。在以后的题目中只要有一两道题有成功的运用经验，就入门有共鸣了，就把这些消化融入到自己的知识体系中了，后面运用起来就会越来越自然，越来越得心应手，越来越深入到灵魂中。

    小初高乃至大学，数学、物理包括理工科其它课程的学习总体上是不难的，是学习又不是创新，有些很前沿的知识和创新可能是艰难的，但我们学的大多是几乎烂大街很普通的成熟的知识，实在不应该难学。那在现实中我们为何觉得难学，问题在教材、教学方式和老师。我们的教学方式和教材教辅内容存在严重问题，培训机构几乎也类似，不教或不注重思想方法论和运用这些思想方法和解题策略来进行思考的思维过程，不注重解题规律的传授，阉割思维过程，而有正确数学思想方法指导下的思维过程才是关键，掌握了这套思想方法论，心中就有了解决问题的规律也就是解题之道思维之道 。用这套方法论来指导思维，那理工科的学习就不会觉得难。阉割思维过程的教学是没有灵魂的教学，这个应该是我们觉得数学难学和难以培养出高素质人才的真相。

    对难题，有正确思想方法的思维过程才是关键。做过难题的都知道，在思考难题时，它们大多是开头难，没有头绪，当然也可能中间阶段卡壳，不知如何下手，看不穿本质，感觉没有思路，建立不了和已有知识点的联系，已有知识点派不上用场或不可行。此时起到关键作用的是思想和策略，先要有正确的思想策略做指导，思想先行，先用思想开路，来攻坚克难，来扫清关键的障碍，用正确的思想方法来指导/引导/驱动思维过程，碰壁时及时灵活调整自己的解题策略，再结合知识点和经验探索解题思路，找到难题的突破口或产生解题方法的雏形或框架再逐步丰富完善，只靠知识点通常是解决不了难题的。难题的解题方法不是一下子从脑子中蹦出来的，除非它是熟悉的题型，它通常是在思维过程中运用思想方法探索出来的。没思想没启发没灵魂的教育培养出来的人，碰到难题或新题型，要不就是束手无策或思维僵化，要不就是如无头苍蝇，思维到处乱窜，误打误撞，没有章法，很盲目。没有掌握思想方法，对知识的运用就是自发的，半迷糊蒙昧状态在使用，面对难题，所学的一些知识点几乎就是死的，因为无从下手，举步维艰，感觉所学的知识点用不上，不知道怎么使用知识点。要以道御术，此时对知识的运用是自觉的有意识的，在恰当的思想方法(道)指引下，多维度多视角去看问题去思考问题去尝试，帮助我们有效延伸思维的触角，这样就有更大概率做正确的事，灵活思维，高效找出解题突破口和解题方向方法，后面才是正确的做事，使用知识点。也就是先要用正确的思想方法来指导思维，探索出解题突破口和解题方向解题方法，形成解题思路，这相当于给知识搭了一个发挥作用的舞台，之后才能盘活死的知识，让这些知识有用武之地。解题思路的产生，主要是靠数学思想方法，碰到难题，怎么思考，为何这样想，为何这样思考，这就是思路，而思路的产生不是胡乱碰运气，它背后要有一定的逻辑来做指导，即使是猜想也要合情合理，思路背后的逻辑就是靠数学思想方法来指导。

    教育中的智育，其目的应该是培养独立的理性思考能力，创新能力，培养自学能力，熏陶和训练思维方法，掌握思考问题的正确思想方法论。让这些思想方法论成为一种思维习惯，而不仅仅只是灌输知识，这是舍本逐末，大多数知识基本上自学就会，需要花大力气去教？而是要重点教学生怎么灵活运用这些知识：怎么用正确的思想方法论来思考问题，探索出解题思路和解题方法，以道御术，才能更好利用知识更好发挥作用。

   思想方法论(包括解题策略)才是大道才是关键&核心，师者传道授业解惑，扪心自问，我们的教育传的道在哪？有啥道？万般神通皆小术，唯有空空是大道，我们的教育(学校和培训机构)和教科书上大多教的是雕虫小技，不上档次的小术，小聪明，没有智慧没有道(思想方法)。每门功课，只是考试成绩好不算好，要在学科中更上一层，也就是要能在学科中悟道才是真的好，但凭我们这样的教育方式和教科书是难以悟道的，因为它们都没有道没有思想。初高中如果有好的数学思想方法的教辅(国家层面完全可以组织力量编写权威的数学思想方法论的教辅或参考书)，学生用这些书籍自学，自己钻研领悟，大多数中等智力的学生坚持到高中阶段是可以训练好数学思维的，这个真不难，但现实却不是这样，不给学生推荐这方面的好书，不对学生强调数学思想方法的重要性，大多数学生自己怎知道要掌握数学思想方法和解题策略，到现在还不在初高中普及数学思想方法的教育，这就是误人子弟。

 数学解题的一般过程

    解题的本质是变：转化变化，解题就是把题目归结为转化为已经解过的题熟悉的题或熟悉的知识点，解题过程是从题目起点到题目终点(结论&答案)的一段段串起来的解题操作和逻辑(各种变形、变换、计算、推理、推导)，这些一段段串起来的解题操作和逻辑实际上就是不断地在转化问题在变化问题，从而一步步向问题终点靠拢。解题的过程就是在数学思想方法的指导下，调动和运用数学基础知识、基本技能以及经验，采取解题策略，运用数学方法的思维过程。这一段段串起来的一些关键环节是怎么想到的？很多是在数学思想方法的指导下探索出来的，特别是开头的几步。

    具体而言，解题过程有4步：

       第1步：理解问题。审题读懂问题，找出已知条件和要证明的结论或要求的结果答案，观察发现问题中隐藏的特征特点、关系、规律等解题线索、收集整理信息，判断题型。

       第2步： 探索解题思路，制定解题方案。对简单的题，我们几乎不费力就可找出问题和知识点之间的联系，因为这种联系很浅显很直接，也就是很快知道要用哪些知识点和经验就可解题，能很快形成解题过程，实际上也是有联想类比的参与，但几乎快到感觉不到它们(联想类比)的存在。但有些题，特别是较难的题，它和知识点的联系是隐藏的、晦涩的、复杂的，间接的，我们难以一下子得出问题和知识点之间的联系，无从下手，此时就是考验数学思维能力，就需要有正确的扎实的数学思想方法论的指导才能高效探索出解题突破口和思路，高效找出问题和知识点之间的联系，建立问题和知识点之间的桥梁纽带，打通它们之间的联系。先前说过数学思想方法是问题和知识点之间的桥梁、指南针、开路先锋、药引子。研判局势，找出问题症结。这一步的最高指导原则就是变：变化转换，灵活变化，在数学思想方法论(联想、类比、抽象等等)和解题策略指导下进行各种变化转化，进而探索出解题突破口和解题方向，形成解题思路。这个是解题过程中的核心和难点，也是这几篇博文的重点内容。

     第3步：方案实施。在上一步已经披荆斩棘找到问题突破口，初步形成解题思路和解题过程的情况下，这一步是按照第2步的思路方案，进行思路展开，具体实现，在纸上把解题过程(由解题操作组成)一步步写出来，从题设条件出发，一步步进行变换，逐步向结论靠拢逼近。当然有时用逆向思维或分析法，从结论向题设靠近。第2步和第3步乃至第1步之间有时没有明确的界限，无法严格划分，它们有时是一个反复的过程，例如从第2步再回到1步，或从第3步再回到第2步或第1步。

     第4步：回顾与反思。无论是解题成功还是失败，最后都要反思。反思解题过程中的成与败，得与失，进行总结改进提高。这一步往往容易被忽视。另外在前面的第1步、2步、3步中也要注意运用反思来调整解题思路。

     我们可以进一步把这4步划分为3个阶段：前期、中期、后期。前期阶段也叫幕后阶段，包含上面的第1步和第2步，主要是寻找解题突破口和解题方向，探索和酝酿解题思路。 中间阶段就是第3步，后期阶段是第4步。

    对难题，大多是开头难，感觉无从下手，没有思路门路，也就是经常卡在前期阶段，前期阶段最难，且我们在现实中很少能看到，它大多在做题人的草稿纸上和脑子中，教学中很少有，书上也很少有讲解思维过程，也就是它在幕后。中间阶段在台前，是我们能在书上和作业上试卷上看到的解题方法。这些台前的解题过程解题方法一般是很光鲜的：非常有条理有逻辑。 

    中间阶段的解题方法是由前期阶段产生的，前期阶段是渔，中间阶段是鱼，前期阶段是母，中间阶段是子。前期阶段打渔钓鱼的技能没掌握好，很难钓出中间阶段的鱼：答案、解题过程、解题方法。所以说关键在前期阶段，前期阶段做好了，中期阶段对智力正常基础好的学生是水到渠成，按部就班的事情。

    但现实中却恰恰相反，本应该极度重视的前期阶段却被选择性忽略忽视：绝大多数数学书中很少有解题思维过程，老师也很少讲解前期阶段的思维过程或把思维过程讲透彻，大多是直接到中间阶段，直接蹦出解题方法。这个问题的原因可能有3个：第一：前期阶段的探索思维过程在幕后，一般是在草稿纸上和脑子中，我们并不要求把前期阶段的探索思维过程写在试卷和作业上，写在作业上试卷上的是光鲜的中间阶段：有条理有逻辑的解题方法。第二：前期阶段的思维过程本来就是难点，受限于水平，自己都不知道怎么思考，且一些老师是按现成的答案来讲，这些答案也没有前期的思维过程，老师照本宣科，没有亲自做题，没有亲自体验，怎么能讲好？ 第三：讲解思维过程有些时候言不尽意，思维有时凭经验，凭悟性、凭直觉，凭灵感，凭一点思想火花的闪烁，交流讲解有时靠拈花一笑的意会和心灵共鸣感应，这些都导致不好讲解思维过程，没有比较形式化的方式来描述思维过程，讲清楚思维过程要费较多功夫，效果还不一定好，思维层次不在一个频道上。

    相比光鲜的解题中间阶段，前期阶段通常是过程曲折艰难，思维混乱没有章法，没有固定模式，冥思苦想而无方。这也是大多数人的状况，这种状况导致在有限的时间内难以找到解题思路和解题突破口，也就不可能有光鲜的中间阶段。

如何来改善前期阶段的思维状况，让它高效，让它有些章法、有些条理和相对固定的思维框架模式？这就靠数学思想方法来指导我们的思维过程，来启迪我们的思维，来做思维的指南针、敲门砖、催化剂、金刚钻、火花塞、桥梁、鱼饵、药引子，通过这些指南针、敲门砖、桥梁来探索出解题突破口和解题思路。

     所以我们应该提倡教学过程中要传授由数学思想方法(包括解题策略)驱动/指导的幕后的思维过程，讲解如何通过这些思维过程把解题方法探索出来，启迪学生思维，要有思想，让学生知其然，也知其所以然。虽然讲解思维过程比较难比较费功夫但总比不讲要好得多。阉割思维过程的教育是极其有害的，学生没有模仿的机会，要自己摸索不容易，有的人一辈子都没能掌握思考问题的正确思想方法论。

     在讲解具体题目的解题思维过程之前，讲解些自己的感悟，这些感悟可以看成是数学思维中的内功心法。内容涉及到上面提到的解题的4个过程。

第一个是辩证思维，数学思想方法结合辩证法指导下的解题策略，灵活地变变变/转化(转换、化归)。

  这一节主要涉及到解题过程中的第2步，如何找到解题突破口，探索出解题思路。

 辩证法中的运动观提到万事万物都是运动变化的，大道至简，数学思想方法和解题策略也是如此，归根结底就一个字：变，就是变化、改变、转变、转化、转换、变换。要做到灵活变通，圆融无碍地变化，很多情况下要在解题过程中运用辩证法来做指导，在实践层面不会运用辩证法，思维不可能灵活，很多人学过辩证法，但在数学解题中不会运用。这里可用太极图阴阳鱼来形象化地理解数学中的思维能力与知识的辩证关系、思想方法和解题策略的辩证关系、辩证法的联系观、矛盾观(对立统一、相互联系相互转化)、以及数学解题思维的最高准则：辩证法运动观，运动变化。

图一  太极图

    碰到难题，无论是在解题开始或解题过程中，绞尽脑汁后还是处处碰壁，无从下手，举步维艰，此时唯一的最高准则就是变：变化、变换、改变、改革、转化(转换)。把解题思路变一变，换一种思路或微调思路或综合其他思路；把题目变一变，例如把已知条件中的等式做下等价变形，或有关联的非等价变化，把原题中的已知条件变一下，变成一个新题，解决这个相对容易的新问题，再把原题想法转变成新问题；把题目要证明的结论/结果做下等价变换(分析法，根据因果关系和充要条件进行等价变换，把原题中的要证明的A结论或要计算的A结果转变成B，而B比较好证明或求出来)或有关联的非等价变化(例如改变原题要求的结论或答案结果，变成一个新问题，得到新题的解决方法，再想法把原题转变成新题)，这些都是变。不变是死路一条，只有改变现状，只有变才可能找到出路。

    变化就是运动，辩证法中运动是绝对的，所以解题中也要有运动变化，善于运动变化。另外先前提到过易经中的三原则：变易、简易、不易也很有意思，它们是层层递进的：变易就是说要变化，没有不变的东西，和辩证法中的运动是绝对的一个意思；简易是说变易(变化)会产生复杂性，但如果我们有智慧，掌握领悟了原理和方法之后，对变化的掌控就简单了，就不怕变，甚至会主动变化，主动利用变化来解决问题，在数学领域，掌握了数学思想方法论就容易了。不易就是说其实还有个不变的东西存在，也就是在更高层的幕后有个不变的东西，勉强给它取个名字叫道或本质，哪在数学中什么不变？

   具体如何变？在数学解题中如何变化也要讲思想方法讲解题策略技巧，也就是思想加策略加技巧。思维要有正确的思想和策略、技巧来指导，这样思维才容易高效和对路。

孙悟空有72变，我们在数学解题中，也有一套数学思想方法和解题策略来指导如何变化。可以认为数学思想(联想、类比、抽象、分类思想、转化等)是指导你在思维层面如何多角度多方位来思考问题，来看问题，来展开自己的思维。但有时凭各种数学思想方法和知识点与经验还不能高效率的解决数学问题，这时就要结合解题策略来调整改变我们的思维和思路。穷则思变，碰到棘手问题束手无策或碰壁后需要调整改变思路、视角和行动。很多思想方法和解题策略的最高宗旨是试图通过各种变化来降低问题复杂度和获得解题突破口。变：变化、变形、转化/化归、改变思路、改变视角、改变题目、改变已知条件、改变目标、从一种形式变成另一种形式、变不熟悉为熟悉、变未知为已知、变复杂为简单、变不好处理为好处理。下文中的具体不行就抽象(向上抽象)、直接不行就间接，乃至辩证法中矛盾的相互转化相互利用都体现了变化。

我们在考试时，一般是先做简单的题，后做复杂的，这是一种策略。对每道数学题，也有解题策略。解题策略就是在解题过程中遵循的一些全局的、总体性的、指导性的行动方针和对策，它是概括性的方法而非具体的解题方法，解题策略例如抽象不行就具体(也叫特殊化策略。碰到抽象问题或一般性问题时，如果难以解决，就转而解决具体化的特殊性的问题，例如使用归纳法，得到经验和启发后再回到抽象问题上)，具体不行就抽象(也叫一般化策略。如果一个具体问题不好解决那就把这个问题上升到抽象问题一般性问题，解决抽象问题之后再回到具体问题）、直接不行就间接等等。解题策略介于具体的解题方法与思想方法之间，是把思想方法转化为/向下变现为解题操作的桥梁。

解题策略用于对我们的解题行动指明方向，而具体的数学方法(例如解方程的代入消元法）是直接的解题手段。解题策略指明方向体现在对我们的解题思路和思想方法起到控制调节/调整、优化、平衡、扬弃选择、约束、编排组织、纠偏变通的作用，调节的幅度一种是微调，另一种是跳跃式的调整乃至彻底否定之后的改变。就像我们开车，在前方似乎没路时，要转动方向盘调整前进方向转下弯一样，类似做事要圆融要灵活变通，做人既要有方有原则有底线也要有圆，数学思想方法好比这里的方，而解题策略就是这里的圆。

解题策略是对数学思想方法的补充和辅助，它是数学思想方法的伴侣。数学思想方法相对刚性，而解题思维本应该是灵活善变的，解题策略正好可用来增强思维的弹性、柔性、灵活性，这样刚柔相济，避免机械僵化的思维，具体问题具体分析。好的解题策略注重和谐、协调、平衡，做到不偏执不偏颇，顺应本质的解题思维规律，帮助我们少走弯路，高效实现解题目标。解题策略有时和数学思想方法合二为一，例如转化(化归)既是数学思想方法，也是解题策略，分而治之(化整为零)、整体化思想和数形结合思想等也是如此。

总体而言。数学思想方法和解题策略的关系好比地球仪上的经线和纬线，如下图，数学思想方法是经线，解题策略是纬线。数学思想方法结合解题策略就好比经纬交织，这样才能天衣无缝，才能思维严密严谨而不失全面灵活，才能全方位/多角度立体化系统化思考问题。

  在第一篇中已经提到数学思想方面和辩证法的关系，辩证法的精髓就是矛盾的相互转化和对立统一，相互联系发展变化，而这些和数学思想方法和数学解题策略是非常契合的。这里不需要纠结唯物和唯心，既然讲辩证，唯物唯心合起来才比较完美，它们是对立统一的关系，偏向哪个都不对，没有谁绝对正确，都有它们解释不了的问题和现象，普通哲学解释不了宇宙的本质，人类一思考，上帝就笑了，但我们可以通过不懈的探索，逐步接近本质。

科学的科学是哲学，反过来哲学必须要能指导具体科学例如数学。

  在数学解题思维中，要注重运用辩证法中的如下观点来指导我们解题，帮助我们从更高的思想层面来理解数学思想方法，制定解题策略。

联系观：万事万物普遍联系以及联系的多样性、层次性，万事万物存在千丝万缕的联系，联系无处不在无时不在。甚至连矛盾的对立双方都存在联系，蝴蝶效应，物理学中的量子纠缠更是说明联系的神奇。数学思想方法的多样性，正是普遍联系多样性的体现。有联系就有关系，联系的多样性也决定了它对应关系的多样性。联系观在数学中最直接的体现就是关系思想。关系思想：我们在日常生活中对关系是使用的非常熟练的，大多数人办事都喜欢找各种关系，利用关系网。在数学中，关系思想也是极其极其重要的思想方法，研究数学问题中的各种关系包括数量关系是数学的一个主要内容，初中的相似三角形成比例，平行线分线段成比例定理，倒数关系，相反数关系，勾股定理中斜边和两个直角边都存在关系，乃至逻辑推理、充分必要条件、因果等都是关系的体现。每道数学题中都存在关系，除了题目中一些显而易见的关系，解题时还要善于发现和挖掘题目中隐含的一些关系或联系。找关系，发现关系，进而刻画表达关系，把关系用合适的数学语言合适的形式(例如方程、函数、等式、公式、不等式、定理、数列、数学图形、图表等)表示出来翻译出来，例如数学题中已知的和隐藏的各种数量关系和各种约束、数与形的关系、题目/问题之间的关系、数学题中数学对象（数学元素）之间的关系、问题和知识点之间的关系、知识点之间的关系、概念之间的关系等。再想办法利用好这些关系来解题，利用好这些关系来变化问题、转化问题，最终解决问题。关系就是桥梁纽带，有了关系就好变化好转化，容易找到解题方法容易找到出路。

  有时两个或多个数学对象之间似乎没有关系或联系，就要找出它们之间的关系/联系，或者想法让它们发生关系/联系，建立关系/联系，例如让两个或多个数学对象（例如算式或等式、变量）相乘相除等运算产生一个新的数学对象，就像化学反应一样。有时题目中缺少发生关系的数学对象，此时我们要联想到或找出关联的数学对象，然后让它们发生关系，例如题目中存在m-n这样的数学对象，此时我们要联想到和它有关系的对象m+n，再让m-n和m+n相乘发生关系，具体的例子比如碰到根号3-1，根据题目的情况，我们很可能会想到根号3-1的对偶对象/对应的对象：根号3+1，如下图，然后让它们两个相乘，发生关系。有时对象之间的结构或关系比较疏远(物理上和逻辑上)或松散凌乱或比较别扭不顺畅，显然不便于解题，我们就要想法去改造这种结构和关系，重组结构和关系，将它们的关系变亲密，结构变协调，变紧密。在几何题中，我们一般是通过作辅助线和几何变换来对存在问题的几何结构和关系进行改造。

  有时我们碰到一个问题，要联想到和这个原题有关系或类似的另一个问题，或把原题变成和它有一定关系的另一个问题，解决后面这个问题，再利用它和原题的关系来解决原题，或借鉴后面这个问题的解题方法。

  我们在学习某个知识点或某个概念时，要联想到和该知识点或概念有关系有联系的其他知识点，搞清楚它们之间的关系联系以及区别，建立知识点之间的横向和纵向的联系，形成立体的知识体系。例如前面说过的学到平均数知识点时，要能想到它和抽屉原理的关系，这样就能更深刻地理解抽屉原理，觉得它不难了。

  关系/联系就是桥梁纽带，就是通路，我们用各种数学思想方法来建立解题需要的桥梁，找到解题突破口。不管是数学题和知识点之间的关系/联系、数学题的数学元素之间的关系/联系，数学元素和知识点之间的关系/联系、知识点之间的关系/联系、题和题之间的联系、概念和知识点之间的关系/联系、概念和概念之间的关系/联系，遵照关系思想，在学习中和解题过程中发现其中的关系/联系，看透看懂看清楚了关系/联系，发生了关系/联系，发展了关系/联系，建立了关系/联系，改造好了关系，利用好了关系/联系，我们借助它做桥梁来对问题进行变化(从一种形式变成另一种形式)，改变就是转化问题，把问题从复杂转化成简单，从陌生转化成熟悉，从未知转化成已知，有改变就有机会有可能解决问题，就有可能推进问题的解决。在日常生活中，我们找熟人关系办事，把不好办的事情转化成简单的事情，也是相同的道理。

运动发展观：在数学思想方法中的体现就是运动/动态思维、函数思想，例如让事物沿着题目中的轨迹运动，让某个变量的数值发生变化，或想象它们在发生变化，在运动中观察其中隐藏的的规律、关系、特征特点，如何运用运动思想来解题在下文中有具体运用。

矛盾观：这里进一步重点讲解辩证法中的矛盾观在数学解题思维过程中的巨大指导作用，它可以用来指导我们的解题策略，当然辩证法中的联系观、否定之否定、运动观、质变-量变也是可以用来指导我们的解题策略的。

  矛盾观讲矛盾的对立统一以及矛盾的相互联系相互转化，在数学的每个知识点中几乎都存在矛盾关系，例如乘法与除法，除数和被除数，题设和结论。矛盾的双方可以相互转化，例如乘法变除法。

  数学题中的条件和条件、条件(题设)和结论之间存在矛盾关系，它们统一在数学题中。在解题之前条件和结论是对立的，在成功解题之后，也就是解决了条件和结论之间的矛盾之后，它们就达成了统一。数学解题的过程就是解决矛盾的过程，就是从已知条件开始逐步转化逐步变化，最终得出结论的过程或相反从结论逆向推理。在数学解题思维过程中，我们有时可以运用矛盾分析法来分析识别已知条件和结论之间的矛盾，找出矛盾双方(已知条件和结论)的特点、特征、规律、联系、性质，比较双方之间的差异，基于这些特征、规律、联系来想法转化矛盾，来缩小差距，来解决矛盾。

除了可以使用矛盾分析法来解题，还可以用矛盾观来指导我们的解题策略，例如具体与抽象就是一对矛盾(在文中，抽象可以是名词、动词或形容词，注意理解区分),类似特殊与一般也是一对矛盾。具体（特殊）与抽象（一般）这对矛盾，在解题策略中就可衍生出一般化策略、特性化策略、抽象不行就具体，具体不行就抽象等策略。

对同一类问题,通常有多种具体情况或特殊情况，通常这些具体可以对应一个抽象。例如1*4、2*5、12356894*12356897，这3个具体对应的一种抽象模型或抽象形式可为n*(n+3)。

多个具体之间有复杂简单之分，前面的1*4、2*5这两个具体就相对比较简单，这是具体情况的简单性，12356894*12356897这个具体看上去很复杂，计算量大，这就是具体情况的复杂性。

抽象相对具体来说似乎是比较复杂的，其实不一定是这样，n*(n+3)和两个具体1*4、2*5相比，感性上看肯定是这两个具体简单，这个就是具体情况的简单性。但n*(n+3)和12356894*12356897相比哪个看上去复杂？显然是这个具体复杂，它计算量大，这个就是具体情况的复杂性；而它对应的n*(n+3)这个抽象就简洁得多，也简单得多，瞬间就知道它的答案。对抽象，由于排除了非本质的因素和非本质的假象，去粗取精，去伪存真，只留下本质的因素和内在的联系，所以显得简洁。简洁加上抽象的深刻性、普适性(一个抽象模型适用于多个具体情况，一以概之)，通常掌握一个抽象比和多个或无限个具体情况纠缠要轻松，所以抽象反而显得简单。这就是抽象的间洁性和简单性；抽象也可能在一些方面比具体要复杂，这个应该经常碰到，这就是抽象的复杂性，由于它不具体，人们有时对它缺少感性认识。

总结下：从上面的描述可知，具体问题/特殊问题有简单的一面（具体情况的简单性，简称具体的简单性），也有复杂的一面（具体情况的复杂性，简称具体的复杂性）；抽象问题/一般问题有简单的一面（抽象情况的简单性，简称抽象的简单性），抽象通常都是简洁的，但不一定简单，也有是复杂的一面（抽象情况的复杂性，简称抽象的复杂性），

   从前面的总结中可知，具体和抽象中都有复杂性。具体的复杂性有些是偶发的表象的，是假象复杂性非本质的复杂性，也就是这种复杂性是表面上看起来复杂，不是问题本身的复杂性带来的，而是因个人的原因，被具体问题中的无关因素、个性化的因素、次要因素误导走偏或被这些假象复杂性掩盖了问题本质导致，这些因素和假象复杂性其实是噪音或干扰。由于方法不对路没有看透这些假象复杂性和非本质因素而觉得它复杂，没有掌握好或没有运用好思想方法和解题策略而导致的复杂性。如果我们有慧眼，运用正确的思想方法和解题策略，是可以避开和消除这种复杂性而看清问题本质的；而抽象的复杂性是本质复杂性，原生复杂性，它是内在的复杂性，是问题自身具有的复杂性，这种复杂性一般是大多数个体无法回避的无法消除的，要去积极面对的，例如运用创新思维。这种本质的复杂性至少在当前条件下是本质复杂性，当然随着时代的发展和思想的进步，本质复杂性以后有可能会变成偶发的复杂性。另外，具体和抽象中都有简单性，后面我们会体会到如何利用这两种简单性来帮助我们解题。具体和抽象中既有简单性，也有复杂性，具体和抽象之间的关系可以用图一(太极阴阳鱼)来形象化描述，阴阳鱼相互转化，太极图中的鱼眼，你中有我，我中有你，同时每个鱼眼又是一个小太极，这个就是层次性和全息性。当然这个图更主要说明辩证法中矛盾观中的对立统一关系，双方是一个和谐的统一体，相互联系相互转化。这个图是静态的，没表现出更多的内涵，要想象成动态的动画的旋转的，也就是要用运动发展的眼光来看。例如抽象与具体的相互转化，在一道题中抽象要先转成具体或先关注具体，之后再转到抽象，在另一道题中具体要先转化成抽象或先关注抽象，也就是思想不要僵化，别一成不变，要解放思想观念，具体问题具体分析，要灵活辩证地来看待抽象和具体，此外可能一个场景下的抽象是另一个场景下的具体。不限于具体和抽象的关系，其它类似的都要如此辩证的来看。

   有些抽象问题虽然是复杂的，但如果我们解决了这个复杂的抽象问题，可能会得到其简洁和普适的解决方案，比如定律、理论公式，也就是解决方案/结果是简洁的深刻的，简洁但不一定简单，但它比繁多的具体反而好掌握，因为抽象是一以概之，掌握了一个就掌握了众多具体。

   抽象是一以概之，具有一般性和普适的简洁性，体现了抽象之美；而具体，有些具有个体的简单性，有些从感性上觉得复杂。具体的东西，一般比较琐碎，比较特殊，前面提到过它包含有噪声或干扰，导致一叶障目，看不清问题本质。

   我们抽象的过程中就要能识别出哪些是噪声，过滤排除掉这些噪音或干扰，去抽取精，去伪存真，得到反映问题的深刻核心本质:模型；也可直接围绕问题直接抽取提炼，保留本质，自然而然就过滤掉了具体情况中的噪声，也就避开了具体情况中的复杂性。下面解题过程中将会看到，如果不排除题目中的这些噪声（降噪）和具体情况的复杂性，这些噪声和复杂性会让我们走偏走歧路，把我们带到坑里去。

碰到像12356894*12356897这种高不成低不就的具体问题，如何处理？它没有n*(n+3)抽象(高),但又没有1*4的简单性(低)，它就是前面提到的具体情况的复杂性。在日常生活中我们要看清楚事物通常有两种方式或两种方式结合，一种是近视，看近处，降低身段，俯身观察，看清楚蕴藏的细节，看周围目力所及的，熟悉的，另一种是远视，看清楚全局和整体脉络，看远处，要登高望远。

我的经验，一种解题策略是向上抽象，也就是一般化策略，抽象中体现了事物的本质和核心，能深刻描述刻画事物的规律，得到了深刻的抽象本质，看事物反而更简单了，否定之否定。利用抽象中的简单性，类似看远处，登高望远：欲穷千里目，更上一层楼，提升思想高度，把具体问题上升到抽象，提高层次，不要陷在前面所说的具体问题特殊问题的噪声和干扰中，从这种低层次的具体中逃逸出来跳出来。对这类问题进行抽象，建模建立抽象模型，规避过滤掉具体问题下的噪声，研究这个抽象模型，反而容易看清问题本质，容易得出其解决方案。在西游记中，孙悟空用眼睛看出妖怪原形来历或用照妖镜或把妖怪打回原形，知道原形来历后就不难了，不管它怎么变，知根知底，就容易想到办法收服它了，通过向上抽象建立抽象模型，从具体回到抽象模型上，返本归元，与西游记中知晓妖怪原形有些类似。这种方法就是具体->抽象->具体，否定之否定。

第二种是特殊化策略，直接向下归纳，简化问题，利用具体中的简单性，类似于俯身看近处，看周围熟悉的，归纳是从特殊性具体性到一般性的过程。归纳：对具体但感觉复杂或不好处理的一般性问题/抽象问题，我们可以使用一个或多个更简单的类似的具体问题或特殊问题，通过实验和研究这些简单问题或特殊问题，从这些简单的实验样本中得到启发、感性经验和规律，总结出推测出一些猜想。归纳是以退为进，退是为了更快的前进，类似体育课跳远时，我们先后退再起跑。在数学解题过程中，先退，退到足够简单足够具体的问题上，研究清楚了简单问题，得到感性经验和启发或理性认识，再进，再把这些(经验、启发、规律)应用到原来的问题中或一般性问题中。例如有道题是蜗牛爬井，井深100米，它白天爬4米，晚上又掉下来2米，问多久能爬上来。100米可能太复杂，如果我们继续简化，例如把100米减少到4米及以下，也可理解为把题目变一变把已知条件变一变，就明白它白天一下子就直接爬上来了，不会再掉下来，这就是在简单题目中获得的启发和经验，这些启发就是洞见。我们继续用5米、6米、7米、8米继续试一下。综合这些简单情况，启发我们原题中蜗牛白天爬上来的最后一段要尽可能接近4米，所以最后4米是一下子爬上来，开始的96米是每天爬两米(4米-2米=2米)，当然可把题目中的100米换成自然数n米，这样更能说明归纳的作用，我们可归纳得出当n为大于2的整数情况下，如果n为奇数，白天爬的最后一段为3米，为偶数，最后一段为4米；如果n米情况下的最后一段的长度用f(n)表示，在n>4时存在f(n)=f(n-2)的递归关系。f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=4,f(5)=f(3)=3,f(6)=f(4)=4。

归纳就是总结提炼多种具体问题中的共性，排除过滤掉单个特殊问题中的个性因素导致的噪声或干扰。归纳简化时的注意事项，如前所述，抽象时要求去伪存真，要保证抽象之后不失真，与此类似，简化时也要注意简化后的问题和原问题要有一定的质的相似性，不要有太多失真，失真就变味了，导致从简化问题中得出的规律/启发/认识和解题突破口/解题方法不一定能适用于原问题。

第三种是综合(组合)上面的两种解题策略，向下归纳简化结合向上抽象，先向下简化，从简化问题中得到启发、经验之后，再进行向上抽象，得到抽象问题的解决方案。之后把解决方案应用到这个复杂的具体中，解决这个具体问题。

这个1*4的例子可能不贴切，下面的解题思维中有更贴切的例子。

如果碰到抽象的问题或复杂的问题，难以找到解题思路，此时抽象不行就具体，以退为进，先简化，先用具体的简单问题来练手找感觉来解决，进行归纳，总结共性，从中得到经验窍门、启发、规律，得到感性认识，再回到抽象上，也就是抽象->具体->抽象，否定之否定。

数学思想方法也可认为是高层次的套路和思维模式。对套路和模式，运用时思维不要僵化不要局限不要有思维定势。运用之妙，存乎一心，没有一种万能的数学思想方法。例如对抽象或复杂的问题，不一定是用归纳这种数学思想方法进行简化，也可能是把抽象问题或复杂问题转化成另一种熟悉的或已知的问题，或用其他数学思想方法。我们一般是根据问题的实际情况，综合&灵活运用多种数学思想方法，例如使用转化、归纳、数形结合/形象思维等等数学思想方法中的一种或多种，并结合已有的经验教训和知识来探索解题方法，来调整思路。

 感性认识和理性认识，前面已经提到感性认识，我们一般是通过简单具体的问题，通过具体问题的实践来得到感性认识，找感觉找体验，得到经验、启发、规律。这些感性认识再结合自己已有的知识，联想已有的知识，升华到理性认识。如果没有理性认识，那就先去找感性认识，再回到理性认识，否定之否定。如果一直停留在感性认识，那境界和层次就不高。如果一直停留在理性认识，那就不容易获得具体的经验。这个也是理论和实践的关系。

一般(普通)和特殊，举个例子，假设一个公式记不住，只有模糊的印象，此时用一个特殊情况，把公式明晰化。例如小孩记不住立体几何中多面体的欧拉公式，但至少知道这个公式中有加减运算和2这个数，这个欧拉公式是一般的，普适的。此时只要用一个特殊情况：4棱锥来进行验证和排除，这个特殊的也是具体的，就能把公式重新完整还原出来。

再比如，记不住三角函数sina(a+b)、cos(a+b）公式，只有模糊印象，也是类似方法,用两个特殊的角度：30度和60度代进去就知道正确的公式了。一些数学题，我们用一些特殊值具体值代进去就很快知道答案或获得启发。

抽象-具体、一般-特殊、理性认识-感性认识、复杂-简单之间的关系如下图：抽象、一般、理性认识在同一极，也就是说，抽象的通常是一般的，理性认识多一些的，它们通常是复杂的(也不绝对是这样,先前说过抽象的简洁、简单性);具体、特殊、感性认识在同一极，具体的通常是特殊的，感性认识多些的，通常是简单的（也不绝对就简单）。

矛盾观中的一分为二并不总是机械地分为二个方面两个部分，有的要一分为三，或一分为n。另外在制定解题策略时，我们并不局限于只是用矛盾观来做指导，而是具体问题具体分析，根据实际情况来灵活制定解题策略。

 主要(关键、重点)矛盾和次要矛盾，矛盾的主要方面和次要方面。问题中的变量/元素对象/参数分主次，这个也和分类思想、比较思想有联系。例如在问题中有份量的、数值大的或小的、权重大的、特殊的、起决定作用主导作用的变量或参数就是关键元素或主要矛盾。敏锐地观察、比较、归类，发现问题中的关键元素或主要矛盾，意识到/识别出问题的关键元素，提纲挈领，抓住关键，利用好这些关键。从关键元素入手就几乎找到了问题的突破口，攻破了难关。突破口就像是在混沌的铁板一块的问题中打开了一道缝隙，可隐约窥见解决问题的曙光，从这缝隙深入进去，用思想方法激发的思维之光照进去，逐渐扩大思路，就很可能会探索出解题方法。有了突破口再结合次要因素和知识点就能解决问题。擒贼先擒王，打七寸，这些抓主要矛盾的策略在日常生活中是经常用到的，在数学中也是这样，所以说道在日用，在日常生活中。分类思想，除了按情况分类讨论，有时把问题中的多个元素对象/参数/变量按某个标准进行分类或按特征进行分类，具有类似特征的元素归在一起，类似合并同类项，例如在等式中把相同特征的元素移到等式左边，具有另一特征的元素移到等式右边，这个是在实践中悟出的一个小技巧。抓主要矛盾来解决问题来找问题突破口，是一个很有用的思想策略，在数学解题过程中深有体会，有空再补充实际的运用。

直接和间接，有的问题，直接不行就间接，迂回解决，在数学中这也是一种解题策略。

所以正确数学思想方法驱动/指导下的思维要灵活地结合运用辩证法来指导我们的解题策略：要灵活地相互变化或相互转化，找关系并利用关系来进行变化，或识别出关键元素或主要矛盾，从关键元素或主要矛盾入手来探索解题突破口。把题目变一变(有时把原来的题目变一变，例如把条件变一下，产生一个新的题目/新问题。研究这个新问题得到启发，通过原问题和新问题之间的联系，把启发运用到原问题，或把原问题转化成新问题)，把解题思路变一变，甚至把使用的数学思想方法变一变或增加一些。抽象不行就具体，具体不行就抽象。除了运用抽象-具体、一般-特殊、直接-间接、主要-次要来指导和产生解题策略之外，我们也要注意灵活运用好体现矛盾对立统一关系的其它的一些具体实例，例如现象-本质、原因-结果，内容-形式、数-形、本-末、运动(动态)-静止(静态)、简单-复杂、定性-定量、分析-综合、归纳-演绎、质变-量变、结构-功能、感性认识-理性认识、扬-弃（排除）、体-用、成-败，真-假、得-失、优-劣、正-反等，不限于这些实例，它们都是可以用来指导我们制定解题策略的候选项，也是可以用来帮助我们获得解题操作解题方法的源泉，我们总结的较全面的辩证关系词汇表在第一篇文章中有介绍。如何运用这些对立统一的实例，运用哪些？要根据具体的数学题来定，也就是具体问题具体分析，例如下面的数学思想方法揭秘-3-3第7题，我们通过观察图形和联想，从多面体的封闭想到了开放，虽然是相反联想，也可理解成是运用了封闭-开放的对立统一关系指引下做出的解题操作，就是开放，拆开多面体。

没有真懂辩证法，没有在数学解题和学习中体会到辩证法的威力，不可能在数学学科悟道，活学活用，在数学中要灵活运用辩证法来指导我们制定解题策略，提高我们对数学思想方法的深入理解。矛盾论和矛盾分析法在很多数学学习和数学解题中都有它们的身影，上面讲述的抽象和具体、特殊和一般、直接和间接等都是矛盾论和矛盾分析法的体现，在第9题中还另外用求函数最值为例来介绍了矛盾分析法。

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