线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积

1. 克拉默法则

这部分我们通过代数方法来求解 $Ax=b$ 。

用 $x$ 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以 $A$ ，我们得到一个第一列为 $b$ 的矩阵，而其余列则是从矩阵 $A$ 中对应列直接拷贝过来的。

利用行列式的乘法法则，我们有

$|A|(x_1)=|B_1|$

如果我们想要求 $x_2$ ，那么将 $x$ 放在单位矩阵的第二列即可。

$|A|(x_2)=|B_2|$

同理，如果 $det A \not = 0$ ，我们可以通过行列式来对 $Ax=b$ 进行求解。

$x_1 = \frac{det \space B_1}{det \space A} \quad x_2 = \frac{det \space B_2}{det \space A} \quad \cdots \quad x_n = \frac{det \space B_n}{det \space A}$

其中 $B_j$ 就是将矩阵 $A$ 的第 $j$ 列替换为向量 $b$ 。

2. 逆矩阵

对于 $n=2$ ，我们通过求解 $AA^{-1}=I$ 来找到 $A^{-1}$ 的每一列。

为了解出 $x$ ，我们需要五个行列式。

后面的四个行列式分别为 $d，-c，-b，a$ ，它们分别是矩阵的代数余子式 $C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}$ 。

对任意大小的矩阵都满足，当右边是单位矩阵的一列时，克拉默法则中矩阵 $B_j$ 的行列式是一个代数余子式。

第一个行列式 $|B_1|$ 是代数余子式 $C_{11}$ ，第二个行列式 $|B_2|$ 是代数余子式 $C_{12}$ ，但是它位于逆矩阵的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我们可以进行一个简单的验证，两边同时乘以 $A$ 。

左边第一行乘以第一列可得

$a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det \space A$

第一行乘以第二列可得

$a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0$

这可以看作是我们将矩阵 $A$ 的第一行复制到第二行得到另外一个矩阵 $A^*$ ，矩阵 $A^*$ 有两行元素相同，其行列式为零。另外，我们注意到矩阵 $A$ 和 $A^*$ 的代数余子式 $C_{21}，C_{22}，C_{23}$ 是相同的，因此上式就是矩阵 $A^*$ 的行列式，其值为零。

3. 体积

任何人都知道一个长方形的面积——底乘以高，而一个三角形的面积为底乘以高的一半。但是，如果我们只知道三角形三个顶点的坐标为 $(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)$ ，这时候面积为多少呢？

三角形的面积就是 $3×3$ 行列式的一半，如果其中一个坐标为原点的话，那么行列式就只有 $2×2$ 了。

由于平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因此从原点开始的平行四边形是一个 $2×2$ 的行列式。

如果我们能证明平行四边形的面积和行列式具有一样的性质，那么面积就等于行列式。

当 $A = I$ 时，平行四边形就变成了单位正方形，面积为 $det I = 1$ 。
当两行进行交换的时候，行列式改变符号，但平行四边形还是原来的平行四边形，其面积的绝对值没有改变。
当某一行乘以 $t$ 后，面积就变为原来的 $t$ 倍。当其中一行不变，而另一行加上 $(x_1', y_1')$ 后，新的平行四边形的面积就为两个平行四边形面积的和。

注意右边的图形是一个平面图形，两个三角形的面积是一样的。我画了一个草图，可能会更直观一点。

$S_{\diamond OCEB} = S_{\diamond OADB}+S_{\diamond ACED} \quad 因为 \quad S_{\triangle BED}=S_{\triangle OCA}$

这个证明虽然不走寻常路，但是它可以很容易扩展到 $n$ 维中去，它们都满足行列式的三个基本性质。在三维中，体积等于行列式的绝对值。

4. 叉积

两个向量的叉积定义为：

叉积得到一个新的向量，这个向量垂直于 $u$ 和 $v$ ，而且有 $v×u = -u×v$ 。

性质 1： $v×u$ 交换了第二行和第三行，因此有 $v×u = -u×v$ 。
性质 2： $v×u$ 垂直于 $u$ 和 $v$ 。

行列式的三行变成了 $u$ 、 $u$ 和 $v$ ，因此其值为零。

性质 3： 向量和自己的叉积是 0。当 $u$ 和 $v$ 平行的时候，它们的叉积也为 0。点积涉及余弦，叉积涉及正弦。

以 $u$ 和 $v$ 为边的平行四边形的面积等于它们叉积的模，其实也就是底乘以高。

叉积遵守右手定则，叉积后向量的方向为右手大拇指指向的方向。

$(u×v)\cdot w$ 是一个数字，代表边为 $u$ 、 $v$ 和 $w$ 的立方体的体积。

如果这个积为零，说明 $u$ 、 $v$ 和 $w$ 位于一个平面内，体积为零，矩阵是不可逆的，行列式为零。

5. 习题

如果 $A$ 是奇异矩阵，那么有

$AC^T=(det A)I \to AC^T = 0$

因此， $C^T$ 的每一列都位于矩阵 $A$ 的零空间，我们可以通过求解矩阵的代数余子式来求解 $Ax=0$ 。

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最后编辑于：2018.11.27 15:23:00

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