归并排序（分治）

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件：
p >= r 不用再继续分解

//伪代码
// 归并排序算法, A 是数组，n 表示数组大小
merge_sort(A, n) {
  merge_sort_c(A, 0, n-1)
}

// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
  // 递归终止条件
  if p >= r  then return

  // 取 p 到 r 之间的中间位置 q
  q = (p+r) / 2
  // 分治递归
  merge_sort(A, p, q)
  merge_sort(A, q+1, r)
  // 将 A[p...q] 和 A[q+1...r] 合并为 A[p...r]
  merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

代码实现

/**
 * 归并排序
 * 分治的方法、从下治上归并以达到有序、分治使用递归实现
 * 
 * 递推公式
 * sort(left,right) = sort(mergeSort(left,middle),mergeSort(middle+1,right))
 * 终止条件
 * left >= right 不用继续分解
 */
public class MergeSort {

    public static int[] temp;

    public static void sort(int[] arr) {
        temp = new int[arr.length];
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
        if (left >= right) {
            return;
        }
        int middle = (left + right) / 2;
        mergeSort(arr, left, middle);
        mergeSort(arr, middle + 1, right);
        merge(arr, left, middle, right);
    }


    private static void merge(int[] arr, int left, int middle, int right) {
        int i = left;
        int j = middle + 1;
        int k = 0;

        while (i <= middle && j <= right) {
            if (arr[i] < arr[j]) {
                temp[k++] = arr[i++];
            } else {
                temp[k++] = arr[j++];
            }
        }
        //剩余元素拷贝到数组中
        while (i <= left) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {
            temp[k++] = arr[j++];
        }
        //将临时数据元素复制回原数组
        for (i = 0; i < k; i++) {
            arr[left + i] = temp[i];
        }
    }
}

性能分析

是稳定算法吗

是稳定算法

时间复杂度

最好、最坏、平均时间复杂度都是O(nlogn)

空间复杂度

空间复杂度为O(n)

快速排序（分治）

递推公式：
quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
终止条件：
p >= r

//伪代码
// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
  
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort(A, p, q-1)
  quick_sort(A, q+1, r)
}

代码实现

    public static void sort2(int[] arr) {
        innerSort2(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private static void innerSort2(int[] arr, int left, int right) {
        if (left >= right) {
            return;
        }
        int partition = partition(arr, left, right);
        innerSort2(arr, left, partition - 1);
        innerSort2(arr, partition + 1, right);
    }

    private static int partition(int[] arr, int left, int right) {
        int i = left;
        int j = right;
        int temp = arr[left];
        while (i != j) {
            if (i < j && arr[i] <= temp) {
                i++;
            }
            if (i < j && arr[j] >= temp) {
                j--;
            }
            if (i < j){
                Utils.exchange(arr,i,j);
            }
        }
        arr[left] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        return i;
    }

性能分析

是稳定算法吗

不稳定算法

时间复杂度

最好O(nlogn)、最坏O(n²)、平均时间复杂度都是O(nlogn)

空间复杂度

O(1)