Picard 存在唯一性定理

我们主要研究一阶规范形式的微分方程组

$\dfrac{\text{d}x_i}{\text{d}t}=f_i(t,x_1,\cdots,x_n)\quad(i=1,2,\cdots,n)\quad(5.1)$

其中 $f_i$ 是 $t,x_1,\cdots,x_n$ 的已知函数. 这并不失一般性，因为在第一章我们已指出任何高阶规范形式的微分方程或微分方程组均可化为形如（5.1）的一阶规范形式的微分方程组. 令

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\\\\vdots\\\\x_n\end{pmatrix},\;\boldsymbol{f}(t,\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}f_1(t,x_1,\cdots,x_n)\\\\\vdots\\\\f_n(t,x_1,\cdots,x _n)\end{pmatrix},$

则微分方程组（5.1）可写成如下形式：

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(t,\boldsymbol{x}),\quad(5.2)$

当 $n=1$ 时，这就是一个一阶微分方程. 本章中我们往往只对 $n=1$ 的情况叙述和证明有关定理. 对一般情况，定理的陈述和证明完全时类似的.

Lipschitz条件

在本节我们考虑微分方程

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=f(t,x)\quad(5.3)$

积相应的初值问题：

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=f(t,x),\;x(t_0)=x_0\quad(5.4)$

其中 $f(t,x)$ 在矩形区域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t-t_0|\leqslant a,\,|x-x_0|\leqslant b\}$

上连续，称 $f(t,x)$ 在 $R$ 上关于 $x$ 满足 Lipschitz条件，如果存在常数 $L$ ，使得对任意的 $(t,x_1)\in\mathbb{R}$ 及 $(t,x_2)\in\mathbb{R}$ ，不等式

$\left|f(t,x_1)-f(t,x_2)\right|\leqslant L|x_1-x_2|$

都成立， $L$ 称为 Lipschitz 常数. 我们有如下的 Picard 存在唯一性定理：

定理 5.1-Picard 存在唯一性定理

若 $f(t,x)$ 在 $R$ 上连续且关于 $x$ 满足 Lipschitz条件,Lipschitz常数为 $L$ ，则初值问题（5.4）在区间 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 上的解存在且唯一. 其中

$h=\min\left\{a,\dfrac{b}{M}\right\},\,M=\max\{|f(t,x)|:(t,x)\in\mathbb{R}\}.$

证明

我们用 Picard 逐次逼近法证明这个定理，为了简单起见，只就区间 $[t_0,t_0+h]$ 来讨论，区间 $[t_0-h,t_0]$ 的讨论完全类似. 证明分五步完成.

第一步

初值问题（5.4）等价于如下的积分方程：
$\displaystyle x(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,x(t))\text{d}\tau\quad(5.5)$

第二步

构造 Picard 迭代序列 $\{\varphi_n(t)\}$ ，其中 $\varphi_0(t)\equiv x_0$ ，且

$\varphi_n(t)=x_0+\displaystyle\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_{n-1}(\tau))\text{d}\tau,\,n=1,2,\cdots\quad(5.6)$

这里 $t\in[t_0,t_0+h]$ . 我们用数学归纳法证明对所有的 $n$ ，函数 $\varphi_n(t)$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上有定义、连续且满足不等式

$|\varphi_n(t)-x_0|\leqslant b$

事实上，当 $n=0$ 时上述结论显然成立. 假设当 $n=k$ 时这一命题成立. 那么当 $n=k+1$ 时，由于 $|\varphi_k(\tau)-x_0|\leqslant b$ ，故 $f(\tau,\varphi_k(\tau))$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上有定义且连续. 从而 $\varphi_{k+1}(t)$ 按（5.6）定义方式在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上有意义且连续. 并且

$\displaystyle|\varphi_{k+1}(t)-x_0|\leqslant\int_{t_0}^t|f(\tau,\varphi_k(\tau))|\text{d}\tau\leqslant M(t-t_0)\leqslant Mh\leqslant b$

故当 $n=k+1$ 时，命题也成立.

第三步

函数序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收敛.

为证明这一点，只需证明级数

$\displaystyle\varphi_0(t)+\sum_{k=1}^{\infty}(\varphi_k(t)-\varphi_{k-1}),\;t\in[t_0,t_0+h]$

在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收敛，因为它的前 $n$ 项之和为 $\varphi_n(t)$ . 类似第三章的存在唯一性定理，用数学归纳法容易证明在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上成立不等式

$|\varphi_t(t)-\varphi_{k-1}(t)|\leqslant\dfrac{ML^{k-1}}{k!}(t-t_0)^k.$

由此，当 $t\in[t_0,t_0+h]$ 时有

$|\varphi_k(t)-\varphi_{k-1}(t)|\leqslant\dfrac{ML^{k-1}}{k!}h^k$

用比值判别法容易知道，数值级数

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{ML^{k-1}}{k!}h^k$

收敛，因此所论函数项级数在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收敛. 从而函数序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收敛.

设

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varphi_n(t)=\varphi(t)$ ,

则 $\varphi(t)$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上有定义，连续且满足不等式

$|\varphi(t)-x_0|\leqslant b.$

第四步

证明 $x(t)=\varphi(t)$ 是积分方程（5.5）的解. 由 Lipschitz 条件得

$|f(t,\varphi_(t))-f(t,\varphi_{n-1}(t))|\leqslant L|\varphi_n(t)-\varphi_{n-1}(t)|.$

再由连续函数序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收敛于连续函数 $\varphi(t)$ 的事实，只连续函数序列 $\{f(t,\varphi_n(t))\}$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收敛与连续函数 $f(t,\varphi(t))$ . 由此得

$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\varphi_n\\=&x_0+\lim_{n\to\infty}\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_{n-1}(\tau))\text{d}\tau\\ =&x_0+\int_{t_0}^t\lim_{n\to\infty}f(\tau,\varphi_{n-1}(\tau))\text{d}\tau \end{aligned}$

即

$\displaystyle\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi(\tau)\text{d}\tau$

因此 $x(t)=\varphi(t)$ 是积分方程（5.5）的连续解，从而也是初值问题（5，4）在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上的连续解.

第五步

证明初值问题（5.4）在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上的解唯一. 设 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 均为初值问题（5.4）在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上的解，则 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上分别满足积分方程

$\displaystyle\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi(\tau))\text{d}\tau,$

$\displaystyle\psi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\psi(\tau))\text{d}\tau.$

两式相减并由 Lipschitz 条件得

$\begin{aligned} |\varphi(t)-\psi(t)|\leqslant&\int_{t_0}^t|f(\tau,\varphi(\tau))-f(\tau,\varphi(\tau))|\text{d}\tau\\ \leqslant&L\int_{t_0}^t|\varphi(\tau)-\psi(\tau)|\text{d}\tau\quad(5.7) \end{aligned}$

令 $v(t)$ 表示不等式（5.7）右端的积分，即

$v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^t|\varphi(\tau)-\psi(\tau)|\text{d}\tau$

则 $v(t)$ 在 $[t_0,t_0+h]$ 上连续可微， $v(t)\geqslant0$ ，并满足不等式 $v'(t)\leqslant Lv(t)$ 或等价地,

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}(e^{-L(t-t_0)}v(t))\leqslant 0.$

故函数 $e^{L(t-t_0)}v(t)$ 在 $[t_0,t_0+h]$ 上单调下降，因此， $\forall \;t\in[t_0,t_0+h],$

$0\leqslant e^{_L(t-t_0)}v(t)\leqslant v(t_0)=0$ ,

从而在 $[t_0,t_0+h]$ 上 $[t_0,t_0+h]$ 上， $v(t)\equiv0$ ，即 $\varphi(t)\equiv\psi(t).$

综合以上五步，我们就完成了对 Picard 存在唯一性的证明.

注 5.1

在实际应用重，Lipschitz 条件往往难以检验. 这是我们常常用 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 在 $R$ 上存在且连续代替. 因为若 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 在 $R$ 上存在连续，则必有解，不妨设

$L=\max\left\{\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|:(t,x)\in\mathbb{R}\right\}$ ,

由 Lagrange 中值定理，对任意的 $(t,x_1)\in\mathbb{R}$ 及 $(t,x_2)\in\mathbb{R}$ ，均存在介于 $x_1$ 及 $x_2$ 之间的数 $\xi$ ，使得

$\left|f(t,x_1)-f(t,x_2)\right|=\left|\dfrac{\partial f(t,\xi)}{\partial x}(x_1-x_2)\right|\leqslant L|x_1-x_2|.$

因此不难看出 $f(t,x)$ 关于 $x$ 满足 Lipschitz 条件.

注 5.2

不难看出对一阶线性方程

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=a(t)x+f(t)\quad(5.8)$

只要 $a(t)$ 和 $f(t)$ 在某区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续， Picard 存在唯一性定理的条件就能满足. 并且这时由初值条件 $x(t_0)=x_0$ 确定的解在整个区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上都有定义.这是因为方程（5.8）右端的函数对 $x$ 没有任何限制，证明中构造的 Picard 迭代序列在整个区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上都有定义且一致连续.

注 5.3

Picard 定理不但肯定了解的存在唯一性，而且证明定理过程中构造的 Picard 迭代序列实际上给出了一种求初值问题（5.4）的近似解的方法，因而有一定实用价值. 设 $x=\varphi(t)$ 是初值问题（5.4）在区间 $[t_0-h,t_0+h]$ 上的连续解，易证第 $n$ 次近似解 $\varphi_n(t)$ 和真正解 $\varphi(t)$ 在区间 $[t_0-h,t_0+h]$ 上有误差估计

$\left|\varphi_n(t)-\varphi(t)\right|\leqslant\dfrac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}\quad(5.9)$

在进行近似计算时，可根据误差要求由这一误差估计确定 $n$ 的值，从而得到所需的逼近函数 $\varphi_n(t)$ .

例 5.1

考虑定义在矩形区域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t|\leqslant1,\,|x|\leqslant1\}$

上的初值问题

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=x+1,\,x(0)=0.$

其右端函数 $f(t,x)=x+1$ 在区域 $R$ 上关于 $x$ 满足 Lipschitz 条件，Lipschitz 条件，Lipschitz 常数 $L=1$ ，其最大值 $M=2,\,h=\min(1,\dfrac12)=\dfrac12$ ，由 Picard 存在唯一性定理，它在区间 $\left[-\dfrac12,\dfrac12\right]$ 上的解存在且唯一. 容易构造出它的 Picard 迭代序列如下：

$\begin{aligned} &\varphi_0(t)=0,\\ &\varphi_1(t)=0+\int_0^t(\varphi_0(\tau)+1)\text{d}\tau=t\\ &\varphi_2(t)=0+\int_0^t(\varphi_1(\tau)+1)\text{d}\tau=t+\dfrac{t^2}{2!},\\ &\varphi_3(t)=0+\int_0^t(\varphi_2(\tau)+1)\text{d}\tau=t+\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^3}{3!}. \end{aligned}$

可归纳求出

$\varphi_n(t)=t+\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^3}{3!}+\cdots+\dfrac{t^n}{n!}.$

显然函数序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在区间 $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 上一致收敛于函数 $\varphi(t)=e^t-1$ . 它与由变量分离法求出的所给初值问题的解完全一样. 由（5.9）我们得逼近函数 $\varphi_n(t)$ 的误差估计：

$|\varphi_n(t)-\varphi(t)|\leqslant\dfrac{1}{2^n(n+1)!}.$

微分方程-Picard 存在唯一性定理