这应该是学ML依赖推导过的最痛苦的算法了，所以我想先用直观的语言描述什么是Factor analysis。
因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖 关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几 个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。
由于存在隐变量，同时不能由MLE得到close form，因此很自然的想到了之前提到的EM算法。本文主要用EM算法推到因子分析的参数估计过程。
问题
之前我们考虑的训练数据中样例x (𝑖) 的个数 m 都远远大于其特征个数 n，这样不管是 行回归、聚类等都没有太大的问题。然而当训练样例个数 m 太小，甚至 m<<n 的时候，使 用梯度下降法进行回归时，如果初值不同，得到的参数结果会有很大偏差（因为方程数小于 参数个数）。另外，如果使用多元高斯分布(Multivariate Gaussian distribution)对数据进行拟合 时，也会有问题。
例如，多元高斯分布的参数估计如下：
分别是求 mean 和协方差的公式，x 是 n 维向量，是 n*n 协方差矩阵。
当 m<<n 时，我们会发现是奇异阵（ |
| = 0），也就是说
不存在，没办法拟合出多元高斯分布了，确切的说是我们估计不出来
。
因此，我们可以对进行限制，从而使得其可逆。最简单的想法就是使得
变为对角矩阵，但这样有很大的坏处
：这样的假设意味着特征间相互独立，表示在图上就是contour的各个维度与坐标轴平行。
Preliminary
首先不加证明的给出几个结论
设
，
，其中
。
-
求条件概率
Factor analysis model
思想
因子分析的实质是认为 m 个 n 维特征的训练样例的产生过程：
-
首先在一个k维空间中按照多元高斯分布生成m个
的k维向量，即：
-
然后定义一个变换矩阵
，将z映射到n维空间中，即：
-
然后将
加上一个均值
，即：
对应的意义是将变换后的
（n 维向量）移动到样本的中心点
。
-
最后再加入一个噪声
，从而得到：
这个过程的直观解释是：在低维空间中的随机变量，通过一个仿射变换映射到样本的高维空间，然后再加入随机误差生成。因此，高维数据可以使用低维数据表示。
联合分布
我们可以通过之前的结论得到隐变量和目标变量的联合分布：
不难求得：
因此MLE为：
很显然，直接求解这个式子是困难的，因此我们可以使用EM算法。
EM估计
求解过程相当繁琐，大家可以自行参考CS229的官方notes。这里只给出参数估计：
实际上，我们对这个仿射变换的矩阵的估计，很类似于最小二乘的结果：
这是因为，我们希望通过这个矩阵得到z和x的线性关系，因此直观的可以认为其想法类似。
同时可求得其他的参数：
思考
因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有 非常明确的实际意义；
主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。
主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；
因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。
Reference
- An Introduction to Probabilistic Graphical Models by Jordan Chapter 14
- CS229
