微分方程概要

一、一阶齐次线性微分方程

形如
$\frac{d y}{dx}+P(x)y=0$
其通解为
$y=c e^{-\int P{(x)}dx}$

二、一阶非齐次线性微分方程

形如
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$
其通解为
$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

常数变易法推导过程：

已知一阶非齐次线性微分方程如
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$

将原方程改为一阶齐次线性微分方程，即
$\frac{d y}{d x}+P(x) y=0$
并求出其通解，即
$y=c e^{-\int P{(x)}dx}$

在一阶齐次线性微分方程的通解形式中，将其中的常数 $C$ 变为一个关于 $x$ 的函数即
$y=c(x) e^{-\int P{(x)}dx}$

根据形式，求解 $y$ 的导数，即
$y^{\prime}=C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}$

将函数 $y$ ， $y^{\prime}$ 代入一阶非齐次线性微分方程的形式之中，即
$C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

$C^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

$C^{\prime}(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$

$C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$

将此 $C(x)$ 替代原来一阶齐次线性微分方程 $y=c e^{-\int P{(x)}dx}$ 的 $C$ ，最终就能得到一阶非齐次线性微分方程的通解形式，即

$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

三、可降阶的高阶微分方程

形如 $f(x,y^{\prime},y^{\prime \prime})=0$

例1. 求 $xy^{\prime \prime}+2y^{\prime}=0$ 的通解

解：令 $y^{\prime}=p$ ， $y^{\prime \prime}= \cfrac {dp}{dx}$ ，带入原方程

得 $x \frac{d p}{d x}+2 p=0\Rightarrow \frac{d p}{d x}+\frac{2}{x} p=0$

即其通解为 $p=C_{1} e^{-\int \frac{2}{x} dx}=C_{1} e^{-\ln x^{2}}=C_{1} e^{\ln \frac{1}{x^{2}}}=\frac{C_{1}}{x^{2}}$

即 $y^{\prime}=\frac{C_{1}}{x^{2}}$

故 $y=-\frac{C_{1}}{x}+C_{2}$

形如 $f\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0$

思路：令 $y^{\prime}=p$ ， $y^{\prime \prime}= \cfrac {dp}{dx}$ ，由此可得 $f\left(y, p, \frac{d p}{d x}\right)=0$

再令 $y^{\prime \prime}=\frac{d p}{d x}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d p}{d y}=p \frac{d p}{d y}$ ，带回原方程，可得 $f\left(y, p, p \frac{d p}{d y}\right)=0$

四、线性微分方程的基本结论

首先，我们有如下定义

n阶齐次线性微分方程形如
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=0\tag{$*$}$
n阶非齐次线性微分方程形如
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f(x)\tag{$**$}$
那么，我们有如下结论：

如果 $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ，则 $(**)$ 也能够写成
$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f_{1}(x) \tag{$***$}$

$y^{(n)}+a_{1}(x) y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(a) y^{\prime}+a_{n}(a) y=f_{2}(x)\tag{$****$}$
如果 $\varphi_{1}(x),···,\varphi_{s}(x)$ 为 $(*)$ 的解

则 $y=c_{1}\varphi_{1}(x)+···+c_{s}\varphi_{s}(x)$ 也为 $(*)$ 的解
如果 $\varphi_{1}(x),···,\varphi_{s}(x)$ 为 $(**)$ 的解，那么有如下两个结论：
- $c_{1}\varphi_{1}(x)+\dots+c_{s}\varphi_{s}(x)为(*)的解\Leftrightarrow C_{1}+\dots+C_{s}=0$
- $c_{1}\varphi_{1}(x)+\dots+c_{s}\varphi_{s}(x)为(**)的解\Leftrightarrow C_{1}+\dots+C_{s}=1$
如果 $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ 分别为 $(*),(**)$ 的解，则 $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ 为 $(*)$ 的解
如果 $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ 分别为 $(***),(****)$ 的解，则 $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ 为 $(*)$ 的解

五、可以求解的线性方程

二阶常系数齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$
此时，可以求解其特征方程
$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$
- $\Delta>0\Rightarrow \lambda_{1}\neq \lambda_{2}$
  
  则其通解形式为
  $y=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x}$
- $\Delta=0\Rightarrow \lambda_{1}= \lambda_{2}$
  
  则其通解形式为
  $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x}$
- $\Delta<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\alpha \pm i \beta$
  
  则其通解形式为
  $y=e^{\alpha x} \cdot\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)$
三阶常系数齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime \prime}+p y^{\prime \prime}+q y^{\prime}+r y=0$
此时，可以求解其特称方程
$\lambda^{3}+p \lambda^{2}+q \lambda + r=0$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆为实数单根
  
  则其通解形式为
  $y=C_{1}e^{\lambda_{1} x}+C_{2}e^{\lambda_{2} x}+C_{3}e^{\lambda_{3} x}$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆为实数，但是 $\lambda_{1}=\lambda_{2} \neq \lambda_{3}$
  
  则其通解形式为
  $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x}+C_{3}e^{\lambda_{3} x}$
- $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 皆为实数，且 $\lambda_{1}=\lambda_{2} = \lambda_{3}$
  
  则其通解形式为
  $y=(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2})e^{\lambda_{1}x}$
- $\lambda_{1}\in R,\lambda_{2,3}=\alpha \pm i \beta$
  
  其通解形式为
  $y=C_{1}e^{\lambda_{1} x}+e^{\alpha x} \cdot\left(C_{2} \cos \beta x+C_{3} \sin \beta x\right)$
二阶常系数非齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$
求解思路：
- 求解对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解，即
  $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$
- 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

在已知二阶常系数齐次线性微分方程的通解的情况下，求通解的各阶导数并带回原方程中通过待定系数法求出各非齐次线性方程特解的各系数
非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解

最后编辑于：2019.06.02 11:01:52

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二、一阶非齐次线性微分方程

三、可降阶的高阶微分方程

四、线性微分方程的基本结论

五、可以求解的线性方程

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