前言：最近在看python计算机视觉，看到了ROF降噪模型，但教程中没有详细解释ROF的原理，所以打算将自己的心得写下来，分享一下，也请大家指出问题，一起学习，因为水平有限，可能会有错误，欢迎指正
1.ROF简介
ROF模型在92年由Rudin,Osher,Fatemi提出，他们提出“ 最小化 ‘全变差’ ” 可以有更好的去除图像中噪声的效果。
2.ROF降噪原理
1.规定一些符号
2.什么是全变差
这里介绍了什么是全变差
在原论文中，全变差是图像差分的L1范数，即
3.将问题转化为数学问题
原论文中还有如下约束，
将问题描述为，在上式的约束下，使TV(U)最小。
作者在论文中用到了欧拉-拉格朗日方程，由于我目前还没有学过泛函数分析，所以采用了梯度下降法（Gradient Descent）
下面先解释一下什么是梯度下降法：
迭代公式为：
如果我们想求最大值，只需将迭代公式中的减号变为加号
对梯度下降法比较直观的解释是：想象你站在一座山的山腰处，你想要最快的下山，一种方法就是沿着坡度最大的方向走（如果实在太陡了，走不了，那你就飞吧。。。），通过这个例子，我们能发现一个问题，那就是梯度下降法可能陷入局部最优（陷入某一个山谷中），但作者在论文中提到，这种局部最优更接近于图像的处理过程（可以理解为这种局部最优是距离噪声图像最近的一个最优解，如果全局最优的话，可能会丧失掉太多的图像信息）
4.如何求（迭代）出清晰图像
首先，我们要先定义一个函数，这个函数能将优化问题和约束条件结合起来，我们称这个函数为损失函数
通过上边的讲解，我们知道只要求出Loss(U)对于U的导数（更准确地说，应是差分，因为图像不是连续的函数），就能通过梯度下降法，迭 代出清晰图像!
3.代码实现
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Oct 17 21:33:43 2017
@author: ningminghao
"""
from numpy import *
from pylab import *
from PIL import Image
def denoise(im,U_init,tau=0.5,tv_weight=30,max_iteration=10):
#im,U_init为含噪音的图像,tau与步长有关，tv_weight为全变差所占的权重λ，max_iteration为最大的迭代次数
m,n = im.shape
U = U_init
Px = im
Py = im
count = 0
while(count<max_iteration):
Uold = U
GradUx = roll(U,-1,axis=1)-U #这里就是差分ux，如果对axis的选取有疑惑，本文后边提供了一个链接
GradUy = roll(U,1,axis = 0)-U #这里就是差分uy
#roll()函数，其实就相当于将矩阵移动，类似于无界模式的贪吃蛇，在最边缘位置的数会移动到对面
NormNew = maximum(1,sqrt(GradUx**2+GradUy**2))#为了防止出现分母为0
Px = GradUx/NormNew
Py = GradUy/NormNew
RxPx = roll(Px,-1,axis=1)
RyPy = roll(Py,-1,axis=0)
DivP = (RxPx-Px)+(RyPy-Py)
step = tau*(exp(-count*2/(max_iteration))+0.1)#有点模拟退火的意思
U = Uold - step*((Uold-im)+tv_weight*DivP) #梯度下降
error = linalg.norm(U-Uold)/sqrt(n*m)
if (count%10==0):
print('step:',step)
print('error:',error)
count+=1
return U,U-U_init
from numpy import random
from scipy.ndimage import filters
im = zeros((500,500)) #建立一个图形，外黑，中灰，内白
im[100:400,100:400] = 128
im[200:300,200:300] = 255
noise = 30 *random.standard_normal((500,500)) #噪声
im = im + noise
U,T = denoise(im,im,max_iteration=10,tau=0.5)
gray()
subplot(121)
imshow(im)
subplot(122)
imshow(U)
print(corrcoef(T.flatten(),noise.flatten()))#相关度检验
以上代码完全按照上面的公式推导来的，如果哪里不懂就再看看公式推导
建议手动敲一下上面的代码，相信你会更好的理解
4.总结一下
简单的介绍了ROF的数学原理，及迭代公式的推导，介绍了梯度下降，在步长的处理上进行了类似于模拟退火的处理方式（使得前期步长较大，后期步长较小），其实还有一种加入“动量因子”的技术，可以使得梯度下降收敛的更快且更容易接近最优点，有兴趣的可以自己搜索一下
由于这是本人第一篇手打的文章，对于一些排版还不是很熟悉，所以上边的代码不能直接复制（手动卖萌）
最后的最后，由于接触计算机视觉时间并不长，希望大家以批判的眼光看待这篇文章，欢迎指正与讨论
