机器学习--线性回归

本文参考吴恩达机器学习课程第2章
线性回归公式:
$f(x)=\theta_0 + \theta_1x$
代价公式(误差均值中的2用来抵消求导得来的2):
$J(\theta_0,\theta_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(f_{\theta}(x)^i - y^i)^2$

目标：代价最小化
这里演示单变量线性回归时:
令 $\theta_0=0$ , $f(x)=\theta_1x$
可对 $J(\theta_1)$ 求导,
$J^{'}(\theta_1)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\theta_1x^i - y^i)$
此时 $J^{'}(\theta_1)=0$ 方可求出 $\theta_1$

实际上，由于代价函数经常含有2个及以上参数，目前函数处于三维空间x, y, z分别为 $\theta_0,\theta_1,J(\theta_0,\theta_1)$ ，无法直接求导获得最佳参数组合
所以我们实际上，是不断尝试 $\theta_0,\theta_1$ 不同的值，找到损失结果最小的那组 $(\theta_0,\theta_1)$ 。
我们如何找到合适的尝试方法来找到这组参数呢,目前使用梯度下降法

梯度下降.png

算法特点:从不同的起始值开始，获得的局部最优解是不一样
为了方便，设 $\theta_0=0,\theta_1=0$
$\alpha$ 为学习率(不变)， $\frac{d}{d\theta_i}J(\theta_i)$ 为偏导数，参数更新公式:
$\theta_i:= \theta_i - \alpha\frac{d}{d\theta_i}J(\theta_0,\theta_1)$ ( $i=0,1$ )

具体展开:
$\theta_0:=\theta_0-\alpha\frac{d}{d\theta_0}J(\theta_0,\theta_1)=\theta_0-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\theta_0 + \theta_1x^i-y^i)$
$\theta_1:=\theta_1-\alpha\frac{d}{d\theta_1}J(\theta_0,\theta_1)=\theta_0-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\theta_0 + \theta_1x^i-y^i)*x^i$

达到局部最优解时(图中某一处局部最低点时)，此时导数项为0， $\theta_i:= \theta_i - \alpha*0$ ，参数不再更新,且随着 $J(\theta)$ 接近最低点，导数项也会越来越小，所以暂时学习率可不变。
梯度下降可以用于更新任何可微(因为需要求导)的代价函数J,目前使用的梯度下降用到了 $\sum_{i=1}{m}$ ，意味着每下降一次遍历一整个数据集，也称batch梯度下降算法。

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