关系代数
关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。由于关系定义为属性个数相同的元组的集合，因此集合代数的操作就可以引入到关系代数中。关系代数中的操作可以分为两类：传统的关系操作：并、差、交、笛卡尔积（乘）、笛卡尔积的逆运算（除）；扩充的关系操作：对关系进行垂直分割（投影）、水平分割（选择）、关系的结合（连接、自然连接）等。
注：并、差、交 3个操作需要关系R、S的属性相同才能进行（即R中的属性为A、B、C，S中的属性也为A、B、C才可以）
五个基本的关系代数操作：并、差、笛卡尔积、投影、选择
关系例子如下：
关系R:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
关系S：
| A | B | C |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 |
| 4 | 5 | 6 |
- RUS（并）
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
| 2 | 4 | 6 |
注：无重复元组
- R-S（差）
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 7 | 8 | 9 |
注：在关系R的基础上减去R中存在且S中存在的元组
- R×S（笛卡尔积）
| R.A | R.B | R.C | S.A | S.B | S.C |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 2 | 4 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 5 | 6 | 2 | 4 | 6 |
| 4 | 5 | 6 | 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 | 2 | 4 | 6 |
| 7 | 8 | 9 | 4 | 5 | 6 |
注：关系R与关系S的属性名可以不同
- π C,A(R) （C,A在关系R上的投影）
| C | A |
|---|---|
| 3 | 1 |
| 6 | 4 |
| 9 | 7 |
- σB>'4'(R)（在关系R上选择B大于4的元组）
| A | B | C |
|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
剩余操作：交、除、连接：
- R∩S（R与S的交集）
| A | B | C |
|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 |
-
R_÷S_（除）
关系R_：
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| a | b | c | d |
| a | b | e | f |
| b | c | e | f |
| e | d | c | d |
| e | d | e | f |
| a | b | d | e |
关系S_：
| C | D |
|---|---|
| c | d |
| e | f |
R_÷S_
| A | B |
|---|---|
| a | b |
| e | d |
运算过程：因为C, D是关系S中的两个属性, 因此在R集合对除了C, D的属性, 即A, B两属性进行投影, 得到a, b; b, c; e, d;这三组, 然后用这个结果与关系S进行笛卡尔积运算, 发现b c c d这组在关系R中没有, 其余a, b; e, d; 做的运算在R中存在. 因此最后结果为a, b; e, d;
- 连接
关系R_:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 6 | 8 |
关系S_：
| B | C | D |
|---|---|---|
| 4 | 6 | 8 |
| 5 | 6 | 7 |
| 4 | 6 | 2 |
| 6 | 8 | 5 |
自然连接：只返回两个表中联结字段相等的行
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 8 |
| 2 | 4 | 6 | 2 |
| 4 | 6 | 8 | 5 |
左连接：返回包括左表中的所有记录和右表中联结字段相等的记录，不相等则用null表示。
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 8 |
| 2 | 4 | 6 | 2 |
| 4 | 6 | 8 | 5 |
| 3 | 7 | 5 | null |
右连接：返回包括右表中的所有记录和左表中联结字段相等的记录，不相等则用null表示。
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 8 |
| 2 | 4 | 6 | 2 |
| 4 | 6 | 8 | 5 |
| null | 5 | 6 | 7 |
外连接：左连接+右连接（或者说并）
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 8 |
| 2 | 4 | 6 | 2 |
| 4 | 6 | 8 | 5 |
| 3 | 5 | 7 | null |
| null | 5 | 6 | 7 |
注：R(⋈)S，R与S的先后顺序
