4.Information Aggregation and Competitive Markets

研究问题：

①竞争性市场是否信息充分？

②如果市，会发生什么？举例，均衡结果如何影响信息获取行为？

③价格如何传递信息？

4.1 Set-up (Grossman, 1976)

金融市场中存在两种资产：一种风险资产和一种无风险资产，它们在第一期的利率外生给定：无风险资产的净利率 $r$ 为常数，风险资产的回报率 $\tilde{p}_1\sim\mathcal{N}(\overline{p}_1,\sigma^2)$ ；两种资产在第零期的价格由均衡决定

存在 $n$ 种知情交易者，每个人获得关于 $\tilde{p}_1$ 的信息，并决定风险资产和无风险资产持有量

在第零期， $p_1$ 未知，第 $i$ 个交易者观察到 $y_i=p_1+\varepsilon_i$ ，

其中 $p_1$ 是随机变量 $\tilde{p}_1$ 的实现， $\varepsilon_i$ 是正态分布的噪音， $\varepsilon_i\sim\mathcal{N}(0,1)$ ，且与 $\tilde{p}_1$ 独立

给定 $p_1$ ，有 $y_i|p_1\sim\mathcal{N}(p_1,1)$ ；此外， $y_i\sim\mathcal{N}(\overline{p}_1,\sigma^2+1)$

假定 $\varepsilon_1,\varepsilon_2...\varepsilon_n$ 独立同分布，则 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2...\varepsilon_n)^T\sim\mathcal{N}((0,0,...,0)^T,I_{n\times n})$ ，且 $y|p_1=(y_1,y_2,...,y_n)^T|p_1\sim\mathcal{N}((p_1,p_1,...,p_1)^T,I_{n\times n})$

知情交易者 $i$ 的最大化问题为： $\max_{\{x_{fi},x_i\}}\mathbb{E}[u(\tilde{w}_{1i})|I_i]=\mathbb{E}[e^{-a_i\tilde{w}_{1i}}|y_i,p_0]\quad(32)$

其中 $a_i>0$ 为风险态度

满足第零期预算约束 $w_{0i}=x_{fi}+p_0x_i\quad(33)$

还有第一期预算约束 $\tilde{w}_{1i}=(1+r)x_{fi}+\tilde{p}_1x_i\quad(34)$

联立消去 $x_{fi}$ ，得 $\tilde{w}_{1i}=(1+r)w_{0i}+[\tilde{p}_1-(1+r)p_0]x_i\quad(35)$

若给定信息 $I_i=\{y_i,p_0\}$ ， $\tilde{w}_{1i}$ 满足条件正态分布，则

$\mathbb{E}[u(\tilde{w}_{1i})|I_i]=-\exp\{-a_i[\mathbb{E}(\tilde{w}_{1i}|I_i)-\frac{a_i}{2}var(\tilde{w}_{1i}|I_i)]\}\quad(36)$

等价于最大化 $\mathbb{E}(\tilde{w}_{1i}|I_i)-\frac{a_i}{2}var(\tilde{w}_{1i}|I_i)\quad(37)$

由 $(35)$ ，得

$\begin{align*}\mathbb{E}(\tilde{w}_{1i}|I_i)&=(1+r)w_{0i}+[\mathbb{E}(\tilde{p}_1|I_i)-(1+r)p_0]x_i&(38)\\var(\tilde{w}_{1i}|I_i)&=x_i^2var(\tilde{p}_1|I_i)&(39)\end{align*}$

联立 $(37)(38)(39)$ ，得消费者问题为最大化：

$(1+r)w_{0i}+[\mathbb{E}(\tilde{p}_1|I_i)-(1+r)p_0]x_i-\frac{a_i}{2}x_i^2var(\tilde{p}_1|I_i)$

一阶条件为： $x_i=\frac{\mathbb{E}(\tilde{p}_1|y_i,p_0)-(1+r)p_0}{a_ivar(\tilde{p}_1|y_i,p_0)}\quad(40)$

说明风险资产的需求，依赖于价格的期望与方差，以及消费者的风险态度

4.2 Equilibrium

设 $\tilde{x}$ 为风险资产的存量，在第零期有 $\sum_{i=1}^nx_i=\overline{x}$

由 $(40)$ ，得知情交易者 $i$ 对风险资产的需求依赖于他获得的信息，即他观察到的价格 $y_i$ ；因此，风险资产的总需求 $\sum_{i=1}^nx_i$ 依赖于 $y_1,y_2,...,y_n$

令 $y=(y_1.y_2,...,y_n)$ ，则均衡价格是 $y,p_0(y)$ 的函数，即关于资产回报率的不同信息，会导致关于资产价格的不同均衡

因此，对于特定函数， $p_0(y)$ 是我们需要的均衡，即 $\forall y$ 有：

$\sum_{i=1}^n\frac{\mathbb{E}(\tilde{p}_1|y_i,p_0(y))-(1+r)p_0(y)}{a_ivar(\tilde{p}_1|y_i,p_0(y))}=\overline{x}\quad(41)$

知情交易者 $i$ 获得的信息为 $I_i=\{y_i,p_0(y)\}$

Theorem:

在上述关于 $y,p_1$ 的分布假定中，即 $y|p_1\sim\mathcal{N}((p_1,p_1,...,p_1)^T,I_{n\times n})$ ，均衡价格为 $p_0(y)=\alpha_0+\alpha_1\overline{y}\quad(42)$

其中 $\begin{align*}\overline{y}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i\\\alpha_0&=\frac{\overline{p}_1\sum1/a_i-\sigma^2\overline{x}}{(1+r)(1+n\sigma^2)\sum1/a_i}\\\alpha_1&=\frac{n\sigma^2}{(1+r)(1+n\sigma^2)}\end{align*}$

Implications of Theorem:

① $\overline{y}$ 是 $y_i$ 的样本均值，均衡只通过 $\overline{y}$ 呈现依赖于 $y$ 的信息

②每一个观察到均衡价格 $p_0(y)$ 的交易者可以通过 $(42)$ 得到 $\overline{y}$ ，且 $\overline{y}$ 是一个比 $p_1$ 更加精确的估计量

③ $p_0(y)$ 综合反映了知情交易者在最优选择中收集到的信息， $\overline{y}$ 是密度函数族 $f(y|p_1)$ 的充分统计量

为了求解均衡，我们需要计算下列条件矩：

$\begin{align*}\mathbb{E}(\tilde{p}_1|y_i,p_0(y))&=\mathbb{E}(\tilde{p}_1|y_i,\overline{y})\overset{?}{=}\mathbb{E}(\tilde{p}_1|\overline{y})\\var(\tilde{p}_1|y_i,p_0(y))&=var(\tilde{p}_1|y_i,\overline{y})\overset{?}{=}var(\tilde{p}_1|\overline{y})\end{align*}$

Lemma 1：

设 $h_i(y_i,\overline{y}|p_1)$ 为条件 $p_1$ 下 $y_i$ 和 $\overline{y}$ 的联合密度函数，则存在函数 $g_1(\cdot)$ 和 $g_2(\cdot)$ ，使得： $h_i(y_i,\overline{y}|p_1)=g_1(y_i,\overline{y})g_2(\overline{y},p_1)$ ，即 $\overline{y}$ 是 $h_i(y_i,\overline{y}|p_1)$ 的充分统计量

Proof of Lemma 1:

容易得到 $y_i|p_1\sim\mathcal{N}(p_1,1)$ 且 $\overline{y}\sim\mathcal{N}(p_1,\frac{1}{n})$

$\begin{align*}cov(y_i,\overline{y}|p_1)&=cov(p_1+\varepsilon_i,p_1+\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \varepsilon_j|p_1)\\&=\frac{1}{n}cov(\varepsilon_i,\sum_{j=1}^n\varepsilon_j)=\frac{1}{n}\end{align*}$

则有： $(y_i,\overline{y}|p_1)\sim\mathcal{N}\Big(\begin{pmatrix}p_1&p_1\end{pmatrix}^T,\begin{pmatrix}1&\frac{1}{n}\\\frac{1}{n}&\frac{1}{n}\end{pmatrix}\Big)$

记 $\Sigma=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{n}\\\frac{1}{n}&\frac{1}{n}\end{pmatrix}$ ，则 $\Sigma^{-1}=\frac{n}{n-1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&n\end{pmatrix}$

$\begin{align*}h_i(y_i\overline{y}|p_1)&=\frac{1}{2\pi\sqrt{|\Sigma|}}\exp\{-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}y_i-p_1\\\overline{y}-p_1\end{pmatrix}^T\Sigma^{-1}\begin{pmatrix}y_i-p_1\\\overline{y}-p_1\end{pmatrix}\}\\&=\frac{n}{2\pi\sqrt{n-1}}\exp\{-\frac{n}{2(n-1)}[(y_i-p_1)^2+n(\overline{y}-p_1)^2\\&-2(y_i-p_1)(\overline{y}-p_1)]\}\\&=\frac{n}{2\pi\sqrt{n-1}}\exp\{-\frac{n}{2(n-1)}[y_i^2-2y_i\overline{y}]\}\\&\exp\{-\frac{n}{2(n-1)}[2p_1\overline{y}-p_1^2+n(\overline{y}-p_1)^2]\}\\&=g_1(y_i,\overline{y})g_2(\overline{y},p_1)\end{align*}$

Lemma 2:

设 $m(p_1|\overline{y})$ 为条件 $\overline{y}$ 下 $p_1$ 的密度函数， $\hat{m}(p_1|y_i,\overline{y})$ 为条件 $y_i$ 和 $\overline{y}$ 下 $p_1$ 的密度函数

则有 $m(p_1|\overline{y})=\hat{m}(p_1|y_i,\overline{y})$

进而 $\mathbb{E}(p_1|\overline{y})=\mathbb{E}(p_1|y_i,\overline{y})$ ，且 $var(p_1|\overline{y})=var(p_1|y_i,\overline{y})$

Proof of Lemma 2:

由贝叶斯法则，得：

$\begin{align*}\hat{m}(p_1|y_i,\overline{y})&=\frac{h_i(y_i,\overline{y}|p_1)g(p_1)}{\int_{-\infty}^\infty h_i(y_i,\overline{y}|p_1)g(p_1)dp_1}\\&=\frac{g_2(\overline{y},p_1)g(p_1)}{\int_{-\infty}^\infty g_2(\overline{y},p_1)g(p_1)dp_1}\end{align*}\quad(43)$

其中 $g(p_1)$ 是 $p_1$ 的边缘密度

设 $f(\overline{y}|p_1)$ 为条件 $p_1$ 下 $\overline{y}$ 的密度函数，其满足：

$\begin{align*}f(\overline{y}|p_1)&=\int_{-\infty}^\infty h_i(y_i,\overline{y}|p_1)dy_i\\&=g_2(\overline{y},p_1)\int_{-\infty}^\infty g_1(y_i,\overline{y})dy_i\end{align*}$

由贝叶斯法则，得：

$\begin{align*}m(p_1|\overline{y})&=\frac{f(\overline{y}|p_1)g(p_1)}{\int_{-\infty}^\infty f(\overline{y}|p_1)g(p_1)dp_1}\\&=\frac{g_2(\overline{y},p_1)g(p_1)}{\int_{-\infty}^\infty g_2(\overline{y},p_1)g(p_1)dp_1}\end{align*}\quad(44)$

联立 $(43)(44)$ ，得 $\hat{m}(p_1|\overline{y},y_i)=m(p_1|\overline{y})$

Proof of Theorem:

为了求解 $\tilde{p}_1|\overline{y}$ 的条件矩，先求其条件分布 $m(p_1|\overline{y})$

设 $(\tilde{p}_1,\tilde{\overline{y}})$ 的联合密度函数为 $f_{\tilde{p}_1,\tilde{\overline{y}}}(p_1\overline{y})$ ，有：

$\begin{align*}f_{\tilde{p}_1,\tilde{\overline{y}}}(p_1,\overline{y})&=f_{\tilde{\overline{y}}|\tilde{p}_1}(\overline{y}|p_1)g_{\tilde{p}_1}(p_1)\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\frac{1}{n}}}\exp\{-\frac{1}{2\frac{1}{n}}(\overline{y}-p_1)^2\}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{1}{2\sigma^2}(p_1-\overline{p}_1)^2\}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma}{\sqrt{1+n\sigma^2}}}\exp\{-\frac{1}{2(\frac{\sigma}{\sqrt{1+n\sigma^2}})^2}(p_1-\frac{n\overline{y}\sigma^2+\overline{p}_1}{1+n\sigma^2})^2\}\Phi\end{align*}$

其中 $\Phi$ 与 $p_1$ 无关

$\begin{align*}m(p_1|\overline{y})&=\frac{f_{\tilde{p}_1,\tilde{\overline{y}}}(p_1,\overline{y})}{\int_{-\infty}^\infty f_{\tilde{p}_1,\tilde{\overline{y}}}(p_1,\overline{y})dp_1}=\frac{f_{\tilde{p}_1,\tilde{\overline{y}}}(p_1,\overline{y})}{\Phi}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma}{\sqrt{1+n\sigma^2}}}\exp\{-\frac{1}{2(\frac{\sigma}{\sqrt{1+n\sigma^2}})^2}(p_1-\frac{n\overline{y}\sigma^2+\overline{p}_1}{1+n\sigma^2})^2\}\end{align*}$

得 $\mathbb{E}(p_1|\overline{y})=\frac{n\overline{y}\sigma^2+\overline{p}_1}{1+n\sigma^2},var(p_1|\overline{y})=\frac{\sigma^2}{1+n\sigma^2}\quad(45)$

即后验均值的期望，是先验均值与样本均值的加权平均数

将 $(45)$ 代入 $(41)$ ，得：

$\overline{x}=[\frac{\overline{p}_1-(1+r)(1+n\sigma^2)\alpha_0}{\sigma^2}+\frac{n\sigma^2-(1+r)(1+n\sigma^2)\alpha_1}{\sigma^2}\overline{y}]\sum1/a_i$

于是有：

$\begin{align*}\overline{x}&=[\frac{\overline{p}_1-(1+r)(1+n\sigma^2)\alpha_0}{\sigma^2}]\sum1/a_i\\0&=n\sigma^2-(1+r)(1+n\sigma^2)\alpha_1\end{align*}$

进而有：

$\begin{align*}\alpha_0&=\frac{\overline{p}_1\sum1/a_i-\sigma^2\overline{x}}{(1+r)(1+n\sigma^2)\sum1/a_i}\\\alpha_1&=\frac{n\sigma^2}{(1+r)(1+n\sigma^2)}\end{align*}$

4.3 Model Implications

①竞争性市场是过度信息有效的，当前的价格总结了市场中的所有信息，每名交易者发现自己的信息 $y_i$ 是多余的

这对信息投资造成了强大的抑制作用，即每名交易者只需要知道现货价格就可以达成交易，这对于非零信息成本是矛盾的

②如果竞争性市场是过度信息有效的，即竞争性价格揭示了过多的信息，那么交易者可能无法从信息投资上获得回报

如果没有交易者进行信息投资，那么市场中将不存在信息，价格该如何揭示信息？

③ $\overline{y}$ 是充分统计量，造成的另一个矛盾是，交易者的需求函数只是价格的函数，而与其信息无关

如果所有的交易者都忽视信息，那么信息该如何体现在价格里？

④如果需要成本 $C>0$ 以获得信息，那么均衡不存在

交易者 $i$ 停止收集信息，因为价格 $p_0(y)$ 附加信息后，会超过 $y_i$

lecture09 Financial Markets 4

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4.Information Aggregation and Competitive Markets

4.1 Set-up (Grossman, 1976)

4.2 Equilibrium

4.3 Model Implications