交流电机Clark变换中的功率不变约束与幅值不变约束

对符号进行说明如下：

$\omega$ —— 相电流角频率
$P_1, P_2$ —— 变换前后的功率
$N_2, N_3$ —— 分别为两相和三相相绕组等效匝数
$i_a, i_b, i_c$ —— 电机三相相电流，设为正弦量，且时间相位上互差120°；
$u_a, u_b, u_c$ —— 电机三相相电压
$u_\alpha, i_\alpha, u_\beta, i_\beta$ —— 两相静止坐标系下的电压和电流矢量

明确点

首先明确无论采用何种变换，必须保证电机气隙内磁动势相同，也即变换前后磁动势必须等效，根据下图可知，利用几何关系有：

三相坐标系与两相坐标系

$\begin{cases} N_3i_a - \frac{1}{2}N_3i_b - \frac{1}{2}N_3i_c = N_2i_\alpha \\ \frac{\sqrt{3}}{2}N_3i_b - \frac{\sqrt{3}}{2}N_3i_c = N_2i_\beta\\ \end{cases} \tag{1-1}$
$\implies \left[ \begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix} \right] = \frac{ N_3 }{ N_2 } \left[\begin{matrix} 1 & -\frac{ 1 }{ 2 } & -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & -\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c\end{matrix} \right] \tag{1-2}$
设 $k=\frac{N_3 }{ N_2 }$ ，根据不同的约束可以推导出不同 $k$ 值。

恒幅值约束

恒幅值约束在于变量在变换前后的幅值不变，因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
$\begin{cases} i_a = I cos( \omega t ) \\ i_b = I cos( \omega t + 120 ) \\ i_c = I cos( \omega t - 120 ) \\ \end{cases} \tag{2-1}$
将式(2-1)带入式(1-2)，且 $i_a + i_b + i_c = 0$ ，可以得到：
$i_\alpha = k(i_a - \frac{1}{2}i_b - \frac{1}{2}i_c) = \frac{3}{2}ki_a = \frac{3}{2}kIcos(\omega t) \\ i_\beta = \frac{ \sqrt{3} }{2}k(i_b-i_c) = \frac{ \sqrt{3} }{2}kI[cos(\omega t + 120) - cos(\omega t - 120)] = -\frac{3}{2}kIsin(\omega t) \tag{2-2}$
由式(2-2)可知，要想保证变换前后幅值不变，则有：
$\begin{cases} | \frac{ 3}{2}kI | = I \\ | -\frac{3}{2}kI | = I \\ \end{cases} \tag{2-3}$
求解式(2-3)即得 $k = \frac{ 2 }{ 3 }$ 。

恒功率约束

恒功率约束在于变换前后通入的功率保持不变，即输入三相功率等于变换后的两相功率。变换前的功率比较容易，三相电压电流瞬时值相乘即可：
$P_1 = u_a i_a + u_b i_b + u_c i_c \tag{3-1}$
如果取与电流变换相同的变换阵，则有：
$u_\alpha = k(u_a - \frac{1}{2}u_b - \frac{1}{2}u_c) \\ u_\beta = \frac{3}{2}k(u_b - u_c) \tag{3-2}$
变换后的功率与变换前的功率计算式类似，有：
$P_2 = u_\alpha i_\alpha + u_\beta i_\beta \tag{3-3}$
将式(2-2)与式(3-2)带入式(3-3)可知：
$P_2 = \frac{ 3}{2}k^2(u_a - \frac{1}{2}u_b - \frac{1}{2}u_c)i_a + \frac{3}{4}k^2(u_b - u_c)(i_b - i_c) \\ = \frac{3}{4}k^2u_ai_a + \frac{3}{4}k^2u_bi_b + \frac{3}{4}k^2u_ci_c + \\ \frac{3}{4}k^2u_ai_a - \frac{3}{4}k^2u_bi_a - \frac{3}{4}k^2u_ci_a - \frac{3}{4}k^2u_ci_b - \frac{3}{4}k^2u_bi_c \\ = \frac{3}{4}k^2P_1 + \frac{3}{4}k^2(u_ai_a - u_bi_a - u_ci_a - u_ci_b - u_bi_c) \tag{3-4}$
利用 $-i_a = i_b + i_c$ 带入式(3-4)中的 $- u_bi_a - u_ci_a$ 部分，则可继续展开得到：
$P_2 = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2(u_ai_a + u_bi_b + u_bi_c + u_ci_b + u_ci_c - u_ci_b - u_bi_c) \\ = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2(u_ai_a + u_bi_b + u_ci_c) \\ = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 \\ = \frac{ 3 }{ 2 }k^2P_1 \tag{3-5}$
为了保证功率不变，则需要 $P_2 = P_1$ ，有：
$P_2 = \frac{ 3 }{ 2 }k^2P_1 = P_1 \tag{3-6}$
显然，此使 $k = \sqrt{\frac{ 2 }{ 3 } }$ 。

Note

注意到，采用恒幅值变化后，功率发生了变化：
$P_2 = \frac{3}{2}k^2P_1 = \frac{2}{3}P_1$
因此导致最终推导电机转矩计算式时会产生差异。

最后编辑于：2020.05.07 22:18:10