切比雪夫不等式怎么来的？

一种证法是用马尔可夫不等式
命题1（马尔可夫不等式）：设X为只取非负值的随机变量，则对任意实数a>0, 有
P\{X \geq a\} \leq \dfrac{E[X]}{a}
下面首先介绍一下示性函数
对于非负取整数值的随机变量X，如果对每个i\geq1，我们定义
X_i = \begin{cases} 1 & X \geq i \\ 0 & X \leq i \end{cases}
then

\displaystyle\sum_{i=1}^\infty X_i=\displaystyle\sum_{i=1}^X X_i + \displaystyle\sum_{i=X+1}^\infty X_i =\displaystyle\sum_{i=1}^X 1 + \displaystyle\sum_{i=X+1}^\infty 0 = X
由于X_i都是非负的，因此

E[X] = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty E(X_i)= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty P\{X \geq i\}
上述的每个X_i都是示性函数，有下面几个较好的性质

对于示性函数I:
I = \begin{cases} 1 & X \geq a ， a为任意实数\\ 0 & else \end{cases}
E[I] = P\{X \geq a\} I \leq \dfrac{X}{a}
所以
E[I] \leq \dfrac{E[X]}{a} P\{X \geq a\} \leq \dfrac{E[X]}{a}
得证




命题2（切比雪夫不等式）：设X为随机变量，具有有限均值\mu和方差\sigma^2，则对任意值k>0，

P\{|X-\mu|\geq k\} \leq \dfrac{\sigma^2}{k^2}
证：(X-\mu)^2是非负随机变量，故由Markov不等式，令a = k^2，得

P\{(X-\mu)^2 \geq k^2\} \leq \dfrac{E[(X - \mu)^2]}{k^2}
\because (X-\mu)^2 \geq k^2 \iff |X-\mu| \geq k
\therefore P\{|X-\mu| \geq k\} \leq \dfrac{E[(X - \mu)^2]}{k^2} = \dfrac{\sigma^2}{k^2}

证毕

通过这两个不等式，我们可以仅通过随机变量概率分布的均值，或者均值和方差，得到概率的界。一般地，切比雪夫不等式相对于马尔可夫不等式可以更加逼近真实的上界。

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 人面猴
    序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
    沈念sama阅读 204,053评论 6赞 478
  • 死咒
    序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
    沈念sama阅读 85,527评论 2赞 381
  • 救了他两次的神仙让他今天三更去死
    文/潘晓璐 我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
    开封第一讲书人阅读 150,779评论 0赞 337
  • 道士缉凶录：失踪的卖姜人
    文/不坏的土叔 我叫张陵，是天一观的道长。 经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？ 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 54,685评论 1赞 276
  • 港岛之恋（遗憾婚礼）
    正文 为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
    茶点故事阅读 63,699评论 5赞 366
  • 恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
    文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着，像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上，一...
    开封第一讲书人阅读 48,609评论 1赞 281
  • 城市分裂传说
    那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。 笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播，决...
    沈念sama阅读 37,989评论 3赞 396
  • 双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
    文/苍兰香墨 我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
    开封第一讲书人阅读 36,654评论 0赞 258
  • 万荣杀人案实录
    序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
    沈念sama阅读 40,890评论 1赞 298
  • 护林员之死
    正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 35,634评论 2赞 321
  • 白月光启示录
    正文 我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 37,716评论 1赞 330
  • 活死人
    序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
    沈念sama阅读 33,394评论 4赞 319
  • 日本核电站爆炸内幕
    正文 年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
    茶点故事阅读 38,976评论 3赞 307
  • 男人毒药：我在死后第九天来索命
    文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 29,950评论 0赞 19
  • 一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
    文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 31,191评论 1赞 260
  • 情欲美人皮
    我被黑心中介骗来泰国打工， 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 44,849评论 2赞 349
  • 代替公主和亲
    正文 我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 42,458评论 2赞 342