steam上的游戏《Zen trails》（暂译为禅径）是一款充满几何美感的绘图游戏。

其绘图规则为：
由某一点作为起点，给出一个线段。以起点为圆心，线段长度为半径，开始旋转画圆，记录下另一端点的轨迹。
该端点也可以作为新的圆心，随着原图形一起运动。
就像地心说的本轮、均轮一样。
可以自由搭配，调整参数。

这是游戏中自带的实例

游戏中有自带的引导过程，不过都是英文，没有中文版本。不过英语水平不需要太高也能学会操作。不过顺便插一嘴，选中点之后按C可以复制整个子树，复制中可以按R进行90°的旋转，非常有用，而这个操作教程中并没有提及。

要想画出想要的图形，更重要的是创意和一些绘图规律。教程中给出了一些常用的绘图技巧，比如画直线，画花瓣状，但是远远不够。

接下来是我自己整理的一些简单的基础规律。不进行数学证明。

画法不唯一。这里只是进行了一些比较容易掌握的画图技巧。有时候随便设置参数，也能画出相同效果。

首先给出一些概念定义，方便我表达，也方便你理解。

示意图

红框内的是初始的，世界坐标固定不动的原点。原点称为0级节点，其叶子称为1级节点，1级节点的叶子称为2级节点，以此类推。

当我说“速度比为a : b : c : d : ……”时，指的是从1级节点开始，顺次向后的各层级节点的速度比。

规律开始。只考虑使用至多2级节点的情况。

1、绘制同心圆，或实现“包边”效果
将下级节点的速度设置为0即可。即节点不自己转动，完全跟从上级节点运动。
可用于绘制同心圆。
对于极短的下级节点，将速度设为0，可以实现如下的“包边”效果。

包边。速度为0，长度很短，初始位置与上级节点的杆子垂直

2、绘制N边形
使用两个层级节点，速度比置为1 : -N，同时调整两杆长度以达到较好的观感。
此法可以通过调整两杆长度来绘制不同的图形，但其本质是相同的，即顺次向内卷曲绘制。

调整杆长度可以减轻或加重六边形顶点处的卷曲视感

3、绘制椭圆
使用两个层级节点，速度比置为1 : -2，调整两杆长度和初始位置来画不同的椭圆。
此法以椭圆的长轴与短轴确定形状。
椭圆长轴=两杆长之和
椭圆短轴=两杆长之差的绝对值

椭圆

直线段

4、绘制N角星
首先我们来定义一下什么是角星。当然这是我个人定义的，没有采用严格的数学定义（如果有的话）。

角星，星状图形，从某一星尖点开始，向另一星尖点画直线段，能够一笔画完的图形叫做角星。其中，各星尖点共圆，且平分圆周，除去角后可得一个正多边形。参考“五角星”。

相对应的，芒星，星状图形，由多个完全相同的正多边形，中心重叠，顺次旋转一定角度后形成的图形，各星尖点共圆，且平分圆周。参考“六芒星”。

最低角数量的角星为五角星。可以肯定没有六角星，不确定更高数量的角星一定存在。
最低角数量的芒星为六芒星。可以有奇数芒星，如三个五边形构成十五芒星。

N角星绘制方法：以下公式均使用两个层级节点

初级公式：

速度比置为1：-N/2
其中要保证N/2的结果不为整数。因为如果为整数，结果将是N/2边形。

进阶版公式：该公式可以一定程度上调整角星图形，使得大小更容易控制，且使得绘制高数量角星时不会太快而出现不够平滑的现象。

速度比置为1：-N/m
其中m为2的次幂，同样要保证N/m的结果不为整数，且要保证N/m结果大于2。

要注意，当N/m不大于2时，或者说所有速度比为1：k的时候，k不大于2时，会呈现花朵状。也很漂亮。此时花朵多为复瓣，瓣数为N。

高手公式：较为复杂的公式，但是可以更好地调整形状。不够万能，有一定缺陷。为观察归纳的结果，暂时没有试出例外。

速度比置为：Q：-K
Q：取一位小数，数字处于（0，1）的开区间内，且不为0.1。如0.3，0.2，0.7等等。
K：取一位小数，数字处于（1，10）的开区间内，且不为Q的整数倍（这也是为什么Q不能为0.1的原因。K取一位小数的话，必定是0.1的整数倍），否则绘制的将是边形，边数为K/Q（是几倍就画几边形）。

之所以取一位小数，是为了防止速度过大（比如99角星）造成的绘制结果不平滑，于是进行了10倍放缩。只归纳了100角以内的。

要画出N角星，则K取N/10，同时10倍的Q（就是去掉小数点）与10倍的K（也就是N）不可有除1外的公因数。

例如，要画出22角星，则K取2.2，Q不可以取0.2、0.4、0.6、0.8，因为2、4、6、8都与22有除1外的公因数。故Q只能取0.3、0.5、0.7和0.9。其中，Q越大，第二杆就可以适当地更长一点，角就越长，越尖细。

速度比为0.9：-2.2绘制的22角星

比如，绘制22角星，K取2.2，而Q取了0.6，那么结果将等同于K取1.1，Q取0.3（同时除以2），结果将是11角星。

速度比为0.6：-2.2，将会等同于0.3：-1.1，绘制11角星

此外，Q，也就是1级节点的速度对形状有一定影响。

现在已知：

当Q小于K/2时，第一杆长度大于第二杆才能画出尖锐的角尖，否则画出花瓣状。
当Q大于K/2时，第一杆长度则应当小于第二杆，才能画出尖锐角尖，否则为花瓣。

当第一杆长度大于第二杆时，从一个星尖点（或花瓣尖）向另一个星尖点（或花瓣尖），一笔连过去的那条线上，会夹有（10Q-1）个星尖或花瓣。
当第一杆长度小于第二杆时，相应位置则会夹有（10K-10Q-1）个星尖或花瓣。

如下图，10Q=2，那么①和②这两个一笔连过去的线上，存在有1个星尖。
而上图Q取0.3的11角星，相同位置存在3-1=2个星尖；Q取0.9的22角星，对应地存在9-1=8个星尖。

速度比为0.2：-1.1绘制的11角星

如下图，0.8大于1.3/2，要画出尖角则需要第二杆长于第一杆，且一笔连过去的线上，存在有13-8-1=4个星尖

速度比为0.8：-1.3绘制的13角星

5、绘制N芒星
只需绘制数个完全相同的边形即可，同时调整其初始位置。
K个边形则1级节点间夹角（360°/K）即可。
数个2级节点可以公用同一个1级节点，夹角即为数个2级节点间的夹角，度数同上。

由3个四边形组成的12芒星

6、中心放缩相似图形
在只使用两个层级节点时效果最佳。层级越多越混乱。
速度比设置为：A：B：-B：B。此时，速度为B的节点将会绘制相似图形。可以通过调整杆长来调整相似比和弯曲程度。

放缩花朵，速度比为1：5：-5：5

放缩五边形，速度比为1：-5：5：-5

7、绘制两个相同图形，并修改位置

完整的表述应当是这样的：

以一个绝对静止的点，或者由本条定律作用下产生的从动的相对静止点为起点，向后延伸出3个层级的节点。当这3个层级的节点速度比a：b：c，满足a+b+c=0时，第3层级点跟随第2层级点运动，并与第2层级点保持世界视角下的相对静止，也就是第3层级点跟随第2层级点，绘制相同的图形。

如图

例如上图，原点为绝对静止点，由此延伸出①、②、③三个节点，且速度比为1：-2：1，和为0。则②和③保持相对静止，绘制出两个完全一样的椭圆。

③为此法产生的从动的相对静止点，向后延伸出④、⑤、⑥三个节点，速度比为1：-2：1，和为0。则⑤和⑥也保持相对静止，绘出椭圆。

改变

其余均不变，将④、⑤、⑥三个节点，速度比改为-2：1：1，和为0。则⑤和⑥仍然相对静止，绘出两个完全一致的图形。

该效果同步绘制出完全一致的图形，包括方向、大小、形状等都相同，可以用于平移、复制图形。

8、更普适的绘制两个相同图形，并修改位置的方法

完整的表述如下：

以一个绝对静止的点，或者由本条定律作用下产生的从动的相对静止点为起点，向后延伸出n个层级的节点。当这n个层级的节点速度比a：b：c：……，满足：
a+b+c+……=0
时，最末2个层级点保持世界视角下的相对静止，且最末层级点为从动点。
也就是最后两个节点同步地绘制相同的图形。

它具有包含性：在延伸出的n个层级节点中，若前k个层级节点速度比之和为0，则前k个层级点也满足该定律。即第k节点跟随第k-1节点从动，并相对静止。

比如，从原点延伸5个点，速度依次为：1，-2，3，-4，2，和为0。则第5点跟随第4点相对静止移动。

若延伸7个点，速度依次为：1，-2，3，-4，2，2，-2，和为0，前5点速度和也为0。则第5点跟随第4点相对静止移动，第7点跟随第6点相对静止移动。但第6点和第5点无相关关系。

这个技巧很有用。当你调试出一个非常棒的图形，想要它原样复制多份，连方向都不改变时，只需要再添加一个节点，保证这个节点追溯到原点，所经历的所有节点的速度和为0即可。