很多人觉得数学又难又枯燥，但又觉得理科学霸好厉害，其实主要还是没体会到理科的有趣之处。我想尝试讲讲科学中有趣的故事，这次就说三个动摇了数学大厦的问题，每个都很简单，也很有趣，说不定你或者你孩子从此爱上理科了呢~

数学世界曾经出现过三次危机，起因只是三个简单的问题，却整疯了一堆数学家。

（是真的疯了，还死了人）

每个问题都明确指出了数学大厦的缺陷，不过每个问题的解决也都开创了新的数学领域和思想，促进了数学的发展。

01

第一个问题：根号二的大小

这个危机爆发在古希腊，当时毕达哥拉斯是数学界的泰斗，他提出了一个观点叫万物皆数，这个数是有理数。整数，没问题。

有限小数，可以写成两个整数相除。0.3=3/10

无限循环小数，也可以写成两个小数相除。0.3333……=1/3

这里有个小技巧，只要把循环的部位，除以对应个数的9就行

0.333……=3/9，0.123123123……=123/999，0.142857142857……=142857/999999

（这个要记下来的，还要我提醒你们吗？学习要自觉自主好像很完美

但是，他的学生西帕索斯发现了一个问题，一个边长为1的等腰直角三角形，它的斜边长度好像不是有理数。

毕达哥拉斯发现自己无法解决这个问题，于是选择解决掉提出问题的人，他把西帕索斯绑上石头，扔到爱琴海里面去了我们知道，这个三角形的斜边长是根号2，是个无理数，也就是无限不循环小数。

这个问题，就催生了无理数的诞生，也把有理数的范围扩大到了实数。

02

第二个问题，芝诺的乌龟

同样古希腊，又有人问了一个神奇的问题。假如人和乌龟赛跑，乌龟在你前面出发。

每次你跑到乌龟的位置时，乌龟又能往前跑一点；你再次跑到乌龟的位置时，乌龟又能往前跑一点……虽然每次差距都会减小，但是你始终追不上乌龟。

这个事情在常理看来完全不可能，但在这个数学逻辑中是正确的，直接导致了第二次数学危机。

这个乌龟和薛定谔的猫，同为科学界四大神兽。这次的危机催生出了极限概念的诞生，最后是靠微积分才解决的。

因为这个追不上的距离虽然看上去无穷无尽，但是总和是存在极限的，追不到的情况不会无限持续下去。

就像1+1/2+1/4+1/8+1/16+……<2，这串无限的数字加下去是有极限的，就是不超过2

这里有个简洁的证明方法，非常有趣

设 S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+……

则2S=2+1+1/2+1/4+1/8+……

你会发现它上下对应，2S比S多了一个2，S比2S多了一个很小的项

那么用2S-S=2+(1-1)+(1/2-1/2)+(1/4-1/4)+……=2-一个很小很小的数<2

得出S<2

是不是感觉很神奇？

同理，人追不上芝诺的乌龟的距离是有极限的，极限位置就是我们按常理看人追上乌龟的那个位置。

多年后，牛顿和布莱尼兹的微积分横空出世，才彻底解决了这个问题。

（积分就是求导的逆运算，掌握最基础的积分是大学必修内容，还是很有趣的）

03

第三个问题：尴尬的理发师

罗素问了这样一个问题，假如有个理发师说，我给且仅给自己不刮胡子的人刮胡子。那有这么一个悖论，这个理发师该不该给自己刮胡子？

如果他刮吧，那他说他只给自己不刮的人刮，矛盾了；不刮吧，他又说他会给不刮的人刮，又矛盾了。从而形成了一个悖论。

罗素问这个问题是想说明，康托尔提出的集合论有缺陷，而集合论是现代数学的基础。

简单来讲，集合就是把一堆被明确描述，且确定的东西，放在一起的篮子。

明确描述好理解，确定的意思是可明确判断。比如汽车，明确描述，也可以被判断。但是帅哥美女，这个就没法被明确判断，因为不同人审美不一样。身高超过一米七，这个可以明确判断。身高很高，这个没法明确判断。

所以汽车和身高超过一米七可以分别形成一个集合，但帅哥美女和身高很高由于不明确，没法形成一个集合。

于是数学家们得出结论，被明确描述的东西，都可以被判断能否放到集合内。给你一个东西，根据它是否为汽车，判断它能否放到集合内；给你一个人，根据他身高是否超过一米七，判断能否放到集合内。

这个就是现代数学的基础，很简单对吧？

但是罗素的这个问题颠覆了集合论，因为那个理发师是被明确描述的，但他无法被放进任何一个集合。

研究了集合论多年的康托尔崩溃了，最后发疯了。

（科学信仰的崩塌，这是一种何等的绝望啊……）

这个问题到目前都没有被完全解决，数学家们提出了很多解决办法，但都不满意。比如有人提出了模糊集合的概念，即帅哥美女和身高很高都可以算作模糊集合，少部分有争议，但整体还是可以判断，比如潘长江不高，姚明很高，宋小宝不帅，但是新垣结衣很美。第三次数学危机一直延续至今，为了解释它，人们又诞生了许多有趣的数学思想，推动着数学的发展。

04

课外拓展

看完这三个问题，是不是感觉数学还是有那么一点意思的？

在正式下课前，我再提几个有趣的问题

其实里面还有很多东西可以讲，比如说，你有没有想过，根号2是怎么被证明是无限不循环的？

要是一直写下去发现不循环，那你怎么判断后面的也不循环呢？（这个证明初中要考的）

微积分除了能算加和，还能用二元积分算不规则的面积，三元积分算不规则的体积。

牛顿和布莱尼兹同时分别独立发明了微积分，为了争夺名誉权，从他们两个人的吵架变成了英法俩好基友的掐架，中间有怎么样的故事？科学界四大神兽的另外两个是什么？他们又有什么奇怪的能力？

这篇文章我先试试，喜欢的话请点个赞，如果反响好，我就接着写这类有趣的内容。

是不是觉得，不需要考试的学习，总是很有趣？