多元函数微积分学初步

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二元函数

记作 $z = f(x, y)$ ，其中x和y的范围为定义域

例题一

解题： $x-y>0\Rightarrow D =$ { ${(x, y)|x-y>0}$ }

例题二

解题思路：这种题型是由复杂到简单。我们应该用换元或者错位分的方法。

解题：

则有 $f(a, b) = a^2 - 2b$ ,所有就有了 $f(x, y) = x^2- 2y$

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2. 二元函数的几何意义

（1）一元函数y = f(x)在平面中表示一条曲线

（2）二元函数z = f(x, y)在空间中表示一个曲面

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3. 二元函数的极限

若点 $p(x,y)$ 沿任意路径无限接近 $p_{0} (x_{0}, y_{0})$ 时， $f(x, y)$ 总无限接近一个确定的常数A，则称A为二院函数 $f(x, y)$ ，当 $p(x, y)\rightarrow p_{0}(x, y)$ 时的极限记作：

$\lim_{(x, y)\to(x_{0}, y_{0})} f(x, y) = A 或 \lim_{x\to x_{0}, y\to y_{0}} f(x, y) = A$

注：用一元函数求极限的方法去做

等价代换

两个重要极限

0*有界 = 0

根式有理化

没有洛必达

……

例题一

解题思路：这理，我们可以应用到的是等价无穷下代换，把 $sin\ xy$ 变换成xy，原由就是xy = 0，然后再进行计算，得出答案

例题二

解题思路：这里，我们一眼看过去，有根号的，肯定要进行有理化，去根号。化简、代入、得答案

例题三

解题思路：我们首先判断的是，这是一种 $1^∞$ 型，但我们也要注意的是 $\frac{x^2}{x+y}$ ,这里我们用抓大头的方法，直接算出是等于 $x$ 的即是 $∞$

例题四

解题思路：这里是0 * 有界 = 0、所以……

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4. 二元函数的连续

$\lim_{(x, y)\to(x_{0}, y_{0})} f(x, y) = f(x_{0}, y_{0})$ ,则称二元函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{o})$ 处连续

例题一

解题思路：我们先代入(0, 0)，换成极限。然后我们就可以判断出，这是0*有界函数，即是0。极限值跟函数值都是等于0，所以有连续性。

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偏导数(这一小节的d□全指的是偏导的符号)

（1）定义

对x求偏导： $f_{x}(x_{0}, y_{0}) = \lim_{x\to x_{0}|y\to y_{0}} \frac{f(x, y_{0})- f(x_{0}, y_{0})}{x-x_{0}}$ ；y是常数，x是变量

对y求偏导： $f_{y}(x_{0}, y_{0}) = \lim_{x\to x_{0}|y\to y_{0}} \frac{f(x_{0}, y_)- f(x_{0}, y_{0})}{y-y_{0}}$ ；x是常数， y是变量

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（2）记作形式

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（3）求偏导方法

二阶混合偏导，连续时相等

1、简单的初等函数求偏导

解题思路：可以看出要求分别为：对x的偏导、对y的偏导、对x的二阶偏导、对y的二阶偏导、对xy的二阶混合偏导|、yx的二阶混合偏导。

$\frac{dz}{dx} = 2xy + 2x\Leftrightarrow \frac{dz}{dy} = x^2+3$

$\frac{d^2z}{d^2x} = 2y+2\Leftrightarrow \frac{d^2z}{d^2y} = 0$

$\frac{d^2z}{dxdy} = 2x\Leftrightarrow \frac{d^2z}{dydx} = 2x$

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2、具体的复合函数求偏导

例题一

解题思路，这是一个复合函数求偏导，按照公式即可。

$\frac{dz}{dx} = cos(xy)*y = ycos(xy)$

$\frac{dz}{dy} = cos(xy)*x = xcons(xy)$

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3、抽象复合函数求偏导

例题一

解析，这是一个抽象复合函数。所以用链式法则。

$z_{x} = f_{1}’*1 + f_{2}’*y = f_{1}’ + yf_{2}’$

$z_{y} = f_{1}’*1 + f_{2}’*x = f_{1}’ + xf_{2}$

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4、隐函数求偏导

注意：由方程…………确定，那么隐函数求导

例题一

演示步骤：

$①令F(x, y, z) = xz- yz- x+y = 0$

$②、F_{x} = z-1；F_{y} = -z+1;F_{z} = x-y$

$③\frac{dz}{dx} = -\frac{F_{x}}{F_{z}} = \frac{1-z}{x-y}$ ; $\frac{dz}{dy} = -\frac{F_{y}}{F_{z}} = -\frac{-z+1}{x-y} = \frac{z-1}{x-y}$

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全微分

1、全微分的计算

（1）全微分公式：

例题一：全微分

解题

例题二：隐函数求偏导类型求全微分

解题

例题三：抽象的复合函数求偏导再计算全微分

解题：

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多元函数微积分学

多元函数微积分学初步

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二元函数

例题一

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2. 二元函数的几何意义

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3. 二元函数的极限

例题一

例题二

例题三

例题四

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4. 二元函数的连续

例题一

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偏导数(这一小节的d□全指的是偏导的符号)

（1）定义

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（2）记作形式

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（3）求偏导方法

1、简单的初等函数求偏导

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2、具体的复合函数求偏导

例题一

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3、抽象复合函数求偏导

例题一

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4、隐函数求偏导

例题一

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全微分

1、全微分的计算

（1）全微分公式：

例题一 ：全微分

解题

例题二： 隐函数求偏导类型求全微分

例题三：抽象的复合函数求偏导再计算全微分

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例题一：全微分

例题二：隐函数求偏导类型求全微分