本文介绍如何用数学语言对实际中的优化问题进行建模. 通过建立数学模型, 我们利用现成的求解器可以便捷地计算出最优解(或可行解).
运输问题
考虑三个粮食储量分别是100, 200, 300的仓库 (单位:吨, 下文省略). 我们需要把粮食运送给4个客户, 其需求分别是: 120, 60, 270, 150.
仓库到客户的单位运输成本用矩阵描述:
其中行代表仓库, 列代表客户. 矩阵中的每一个值代表对应的仓库到客户的单位运输成本. 我们的目标最小化总的运输成本.
下面我们用数学语言描述该问题.
输入
- 仓库的供给量
,
, 其中
是仓库总数
- 客户的需求量
,
, 其中
是客户总数
- 仓库
到客户
的单位运输成本是
输出
- 需要计算仓库
下面我们写出问题的目标和约束.
目标是最小化总的运输成本, 即
我们需要满足的约束条件有两个:
- 每个仓库的出库量不能超过其供给量:
,
- 每个客户的需求应该被满足:
,
综上所述, 我们可以把运输问题用线性规划(Linear Programming)来表示.
标准实践
为了更加直观地写出数学模型, 我们可以总结一份标准的指南. 它包含四个基本步骤:
指标(Indices)
指标的作用是主要为了简化记号. 以上述运输问题为例, 我们的指标有参数(Parameters)
参数是问题的输入. 以上述运输问题为例, 我们的参数是: 供给量(, 单位运输成本
.
决策变量(Decision Variables)
决策变量是算法的输出.优化目标(Objective)
一般是最小化或最大化一个目标函数. 在某些情况下, 问题只需要找到一个可行解, 因此也可以不指定优化目标.约束(Constraints)
用等式或不等式描述解的限制.
求解规划
常用的商用求解器有Gruobi和CPLEX(可申请教育和学术的lisense). 商用求解器功能强大, 能求解多种类型的规划问题, 例如整数规划, 混合整数规划, 二次规划等. 免费的求解器有Google的ORtools, 它把一些开源的求解器做了集成, 求解速度虽然比不上商用求解器, 实际中也能满足很多业务需求.
求解方式有两种:
第一种是直接用商用求解器提供的IDE. 按照求解器的建模语法把模型写出来, 然后求解. 建模语法的好处是非常贴近公式化的描述, 所见即所得.
第二种是调用求解器提供的API, 初始化参数, 约束, 目标, 然后求解.
本文我们使用开源工具ORtools求解(基本的教程请自行google,需要翻墙)
Python实现
模型
# model.py
from ortools.linear_solver import pywraplp
import numpy as np
class TransportModel(object):
def __init__(self, a, d, C):
"""
:param a: 供给量(m维向量), m代表仓库数量
:param d: 需求量(n维向量), n代表客户数量
:param C: 单位运输成本(m*n维矩阵), C[i][j]代表仓库i到客户j的单位运输成本
"""
self._solver = pywraplp.Solver('TransportModel',
pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)
self._a = a
self._d = d
self._C = C
self._m = len(self._a) # 仓库数量
self._n = len(self._d) # 客户数量
self._x = None # 决策变量
self._solution_x = None # 计算结果
self._obj_val = None # 目标函数值
def _init_decision_variables(self):
self._x = [
# 0 <= x[i][j] <= infinity
[self._solver.NumVar(0, self._solver.infinity(), "x[%d][%d]" % (i, j))
for j in range(self._n)] for i in range(self._m)
]
def _init_constraints(self):
# 每个仓库的出库量不能超过其供给量
# sum(x[i][j]) <= a[i], over j
for i in range(self._m):
ct = self._solver.Constraint(0, self._a[i])
for j in range(self._n):
ct.SetCoefficient(self._x[i][j], 1)
# 每个客户的需求应该被满足
# sum(x[i][j]) == b[j], over i
for j in range(self._n):
ct = self._solver.Constraint(self._d[j], self._d[j])
for i in range(self._m):
ct.SetCoefficient(self._x[i][j], 1)
def _init_objective(self):
obj = self._solver.Objective()
for i in range(self._m):
for j in range(self._n):
obj.SetCoefficient(self._x[i][j], self._C[i][j])
obj.SetMinimization()
def solve(self):
self._init_decision_variables()
self._init_constraints()
self._init_objective()
self._solver.Solve()
# 求解器返回的解
self._solution_x = [
[self._x[i][j].solution_value() for j in range(self._n)]
for i in range(self._m)
]
# sum(C[i][i] * x[i][j]) over i,j
self._obj_val = np.sum(np.array(self._C) * np.array(self._solution_x))
def print_result(self):
print("最优值 = ", self._obj_val)
print("最优解 x = ")
print(np.array(self._solution_x))
主函数
# main.py
from data import a, d, C # 运输问题实例
from model import TransportModel
if __name__ == '__main__':
tm = TransportModel(a, d, C)
tm.solve()
tm.print_result()
数独(Sudoku)
把数字1-9填入下图的空格子中, 且满足如下三个条件:
- 每个区块 (图中灰色方框包含的3
3小格子)包含数字1-9
- 每行包含数字1-9
- 每列包含数字1-9
我们通过数学规划的方式求解该问题.
指标
-
-
-
-
-- 区块中元素的行, 每个区块包含三行, 因此
-
-- 区块中元素的列, 每个区块包含三列
参数
-
-- 考虑第
决策变量
-
-- 考虑第
约束
- 已经存在的值不能修改.
,
- 一个单元格同时只允许填入一个数字.
- 每个区块包含数字1-9.
- 每行包含数字1-9.
- 每列包含数字1-9.
综上所述, 我们的规划可以写成下面的整数规划(Integer Programming). 注意: 无优化目标.
Python实现
模型
# model.py
from ortools.linear_solver import pywraplp
import numpy as np
class SudokuModel(object):
def __init__(self, a):
"""
:param a: Sudoku实例
"""
self._solver = pywraplp.Solver('SudokuModel',
pywraplp.Solver.BOP_INTEGER_PROGRAMMING)
self._a = a
self._x = None # 决策变量
self._solution_x = None # 计算结果
def __init_decision_variables(self):
self._x = np.empty((3, 3, 3, 3, 9)).tolist()
for i in range(3):
for j in range(3):
for p in range(3):
for q in range(3):
for n in range(9):
# 已知数字不允许修改
# x[i][j][p][q][n] >= a[i][j][p][q][n]
self._x[i][j][p][q][n] \
= self._solver.IntVar(self._a[i][j][p][q][n], 1,
'x[%d][%d][%d][%d][%d]' % (i, j, p, q, n))
def __init_constraints(self):
# 一个单元格同时只允许填入一个数字
# sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over n
for i in range(3):
for j in range(3):
for p in range(3):
for q in range(3):
ct = self._solver.Constraint(1, 1)
for n in range(9):
ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
# 每个区块包含数字1-9
# sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over p, q
for i in range(3):
for j in range(3):
for n in range(9):
ct = self._solver.Constraint(1, 1)
for p in range(3):
for q in range(3):
ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
# 每行包含数字1-9
# sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over j, q
for i in range(3):
for p in range(3):
for n in range(9):
ct = self._solver.Constraint(1, 1)
for j in range(3):
for q in range(3):
ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
# 每列包含数字1-9
# sum(x[i][j][p][q][n]) = 1, over i, p
for j in range(3):
for q in range(3):
for n in range(9):
ct = self._solver.Constraint(1, 1)
for i in range(3):
for p in range(3):
ct.SetCoefficient(self._x[i][j][p][q][n], 1)
def solve(self):
self.__init_decision_variables()
self.__init_constraints()
self._solver.Solve()
self._get_solution_x()
def _get_solution_x(self):
self._solution_x = np.empty((3, 3, 3, 3))
for i in range(3):
for j in range(3):
for p in range(3):
for q in range(3):
for n in range(9):
if self._x[i][j][p][q][n].solution_value() == 1:
self._solution_x[i][j][p][q] = n + 1
def print_result(self):
res = np.empty((9, 9))
for i in range(3):
for p in range(3):
for j in range(3):
for q in range(3):
res[i*3+p][j*3+q] = self._solution_x[i][j][p][q]
print(res)
主函数
# main.py
from model import SudokuModel
from data import a
if __name__ == '__main__':
sm = SudokuModel(a)
sm.solve()
sm.print_result()
