Time: 2019-11-21
Title:第 5 章 连续性和可导性
本章重点：
1.在一点处及在一个区间上连续;
2.连续函数的一些例子;
3.连续函数的介值定理;
4.连续函数的最大值与最小值;
5.位移、平均速度和瞬时速度;
6.切线和导数;
7.二阶导和高阶导;
8.连续性和可导性的关系。
5.1 连 续 性
5.1.1 在一点处连续
如果 函数
在点
处连续
精确描述：
(1) 双侧极限 存在 (并且是有限的);
(2) 函数在点 处有定义, 即 f (a) 存在 (并且是有限的);
(3) 以上两个量相等, 即.
如果在某个点上不连续的话，这个点叫不连续点。函数在出有个不连续点。
5.1.2 在一个区间上连续
如果函数在区间 (a; b) 上的每一点都连续, 那么它在该区间上连续
函数 f 在 [a; b] 上连续,
如果 图 5-2
(1) 函数 f 在 (a; b) 中的每一点都连续;
(2) 函数 f 在点 x = a 处右连续; 即, 存在 (且有限), f (a) 存在, 并且这两个量相等;
(3) 函数 f 在点 x = b 处左连续; 即, 存在 (且有限), f (b) 存在, 并且这两个量相等.
如果函数在其定义域中的所有的点都连续, 我们就说它是连续的.
如果函数的定义域包括一个带有左端点和/或右端点的区间, 那么函数连续在那里还需要函数的单侧连续性.
5.1.3 连续函数的一些例子
当函数连续时，极限就是函数对应的值。
5.1.4 介值定理
介值定理：如果 f 在 [a, b] 上连续, 并且 , 那么在区间
(a, b) 上至少有一点 c, 使得 同样成
立.
5.1.6 连续函数的最大值和最小值
最大值与最小值定理：如果 f 在 [a, b] 上连续, 那么 f 在 [a, b] 上至少有一个
最大值和一个最小值.
开区间则不一定会成立。
5.2 可 导 性
一般在图像中可以画出切线的(非尖锐点)的地方是可导的。
5.2.6 导函数
如果存在极限则有
实际上根本不是一个分数, 它是当
时分数
的极限.
5.2.9 二阶导数和更高阶导数
将二阶导写成 而不是
. 甚至也可能将一阶导写成
而不是
, 因为只取了一次导数, 此外, 还可以用
代替
本身 (没有取导数!). 用这种方式, 任何导数都可以写成
的形式, 其中 n 为整数.
左导数与右导数
如果左导数和右导数存在且相等, 那么实际的导数就是左导数或者右导数的值 。
如果有断点的话，左导数和右导数根本不存在，或者说都是无穷大。
5.2.11 可导性和连续性
如果一个函数 f 在 x 上可导, 那么它在 x 上连续。
可导函数必连续. 不过要记住, 连续函数并不总是可导的!
