功--by-费世煌

可能用到的符号

$30^{\circ}$ , $\int_{0}^{10}(4+2x)dx$

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知识点

功的定义与作用
- $W=\int^B_A \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int^B_A F\cdot \cos \theta (s) \cdot ds$
恒力的功
变力的功
- 直接积分法
- 动能定理法
- 建模积分法
  - 1. 指明一个元过程
    2. 写出元功表达式，其中力 $F$ 和角度 $\theta$ 可能都是位置的函数
    3. 对元功进行积分

例题

例1. 恒力与位移同向
某物体，收到沿着 $x$ 轴的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $w=F\cdot\Delta x=10\times 5=50J$

则该力做的功为50 $J$

例2. 恒力与位移同向有固定夹角
某物体，收到沿着 $x$ 轴向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $w=F\cos \theta \cdot\Delta x=10 \times 5\times \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$

则该力做的功为 $25\sqrt{3}\;J$

例3. 变力：大小不变，夹角 $\theta$ 随位移变化
某物体，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它与 $x$ 轴的夹角 $\theta(x)=x$ 。在该力作用下，物体从坐标原点沿着 $x$ 轴正向移动到 $x=1$ ，则该力做功为( )

解答： $W=\int^1_0 10\cdot\cos \theta_{x} dx=10\cdot \sin\theta\mid^1_0=10\sin 1$

在微小的过程中 $\theta$ 可以被视作不变，从 $x$ 运动到 $dx$ 的过程

例4. 变力：方向不变，大小 $F$ 随位移变化
某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $x=0$ 移动到 $x=10$ 的过程中，力所做的功为( )

解答： $dW=\int^{10}_0 Fdx=\int^{10}_0(4+2x)dx=(4x+2x^2)|^{10}_0=240J$

例5. 变力：初末状态知道，用动能定理
质量为 $m$ 的质点在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $v=0$ 移动到 $v=10$ 的过程中，合外力所做的功为( ).

解答：

$W=\frac{1}{2}mv_{末态}^2-\frac{1}{2}mv_{初态}^2=\frac{1}{2}\times m\times 100-0=50m$

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量为 $m=2$ 的质点，在 $Oxy$ 坐标平面内运动，其运动方程为 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，从 $t=2$ 到 $t=4$ 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答：

从 $x$ 轴上看： $v_{x}=x^\prime=5$

从 $y$ 轴上看： $v_{y}=y^\prime=2t$

从 $x$ 角度分析，则质点在 $x$ 方向上做匀速直线运动。

从 $y$ 角度分析，则质点在 $y$ 方向上做匀加速直线运动。

$v_{y(末)}=2t=8\;m/s,v_{y(初)}=2t=4\;m/s$

$W=\frac{1}{2}mv_{y(末)}^2-\frac{1}{2}mv_{y(初)}^2=8^2-4^2=64-16=48J$

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量 $m=1$ 的质点在力 $F=2t\ \vec{i}$ 的作用下，从静止出发沿 $x$ 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。

解答：

根据动量定理、以及冲量定理： $I=F\cdot t,P=m\cdot v$ ,且 $I=P$

$I=\int^3_0 F\;dt=\int^3_0 2t\;dt=t^2|^3_0=9\;N/s$

$v=\frac{F\cdot t}{m}=9\;m/s$

$W=\frac{1}{2}mv^2=\frac{81}{2}J$

作业
质量 $m=2$ 的物体沿 $x$ 轴作直线运动，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 处时速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求该物体运动到 $x=4$ 处时速度的大小( )。

解答：

$\Delta W=F\cdot x=\int^4_0 F dx=\int^4_0 (1+2x) dx=(x+x^2)|^4_0=20\;J$

$W_{末}=W_{初}+\Delta W=\frac{1}{2}mv_0^2+F\cdot x=5+20=25\;J$

$W_末=\frac{1}{2}mv_末^2 \Longleftrightarrow v_末=\sqrt{\frac{2W_末}{m}}=5\;m/s$

例6. 建模积分法
一人从深度为 $H$ 的井中提水，起始时桶中装有质量为 $M$ 的水，桶的质量为 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去质量为 $a$ 的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于 $x$ 位置时
(2) 当水桶从 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 应表达为
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx$
以上正确的是( )

解答：（2）（3）（5）

作业
一链条总长为 $l$ ，质量为 $m$ ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为 $a$ .设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 $\mu$ 。令链条由静止开始运动，则到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

以桌面边缘为原点，以向下为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有

...下垂了 $\Delta a$ ，则上方质量变化了 $\frac{l-a}{l}\cdot m$

第二步，摩擦力的元功 $f(x)dx$ 应表达为

...则摩擦力为 $dw=f\cdot dy$

第三步，定积分的写法为

$W=\int^l_a u\frac{l-y}{l}\cdot mg\;dy$

最后编辑于：2019.03.10 22:02:40

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