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一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识
面对日益增长的数据库，人们将如何从这些浩瀚的数据中找出有用的知识？我们如何将所学到的知识去粗取精？什么是对事物的粗线条描述？什么是细线条描述？糙集合论回答了上面的这些问题。
要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做知识？假设有8 个积木构成了一个集合A，我们记：A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8} ，每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1={红，黄，蓝} 三个大类，那么：
- 红颜色的积木构成集合X1={x1,x2,x6}
- 黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4}
- 蓝颜色的积木构成集合X3={x5,x7,x8}
按照颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分( 所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然属于且仅属于一个分类） ，那么我们就说颜色属性就是一种知识。在这个例子中我们不难看到， 一种对集合A 的划分就对应着关于A 中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2={三角, 方块, 圆形} ，大小R3={大, 中, 小} ，这样加上R1属性对A 构成的划分分别为：
* A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}}（颜色分类）
* A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形状分类）
* A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分类）
上面这些所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的{x1,x2,x6} 、大的{x1,x2,x5} 、三角形的{x1,x2} 这样的概念以外，还可以表达例如：
* 大的且是三角形的{x1,x2,x5} ∩ {x1,x2}={x1,x2}
* 大三角{x1,x2,x5} ∩{x1,x2}={x1,x2}
* 蓝色的小的圆形({x5,x7,x8} ∩{x3,x4,x7} ∩{x3,x4,x6,x7}={x7}
* 蓝色的或者中的积木{x5,x7,x8} ∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}
而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红色的三角形。所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识(A/R1,A/R2.A/R3) 一起就构成了一个知识系统记为R=R1∩R2∩R3，它所决定的所有知识是A/R={{x1,x2},{x3,x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}(注意：原文中，x3和x4是分开的，应该是作者手误)以及A/R 中集合的并。
下面考虑近似这个概念。假设给定了一个A上的子集合X={x2,x5,x7} ，那么用我们的知识库中的知识应该怎样描述它呢？红色的三角？ **** 的大圆？都不是，无论是单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识，都不能得到这个新的集合X，于是我们只好用我们已有的知识去近似它。也就是在所有的现有知识里面找出跟他最像的两个一个作为下近似，一个作为上近似。于是我们选择了“蓝色的大方块或者蓝色的小圆形” 这个概念：{x5,x7}作为X的下近似。选择“三角形或者兰色的”{x1,x2,x5,x7} 作为它的上近似，值得注意的是：
- 下近似集是在那些所有的包含于X 的知识库中的集合中求并得到的（包含在X内的最大可定义集）
- 上近似则是将那些包含X的知识库中的集合求并得到的（包含X的最小可定义集）
一般的，我们可以用下面的图来表示上、下近似的概念。
这其中蓝色曲线围的区域是X的区域，紫色曲线围的部分是内部参考消息，是下近似，红色曲线围的内部部分就是上近似集。其中各个小方块可以被看成是论域上的知识系统所构成的所有划分。整个粗集理论的核心就是上面说的有关知识、集合的划分、近似集合等等概念。下面我们讨论一下关于粗糙集在数据库中数据挖掘的应用问题。考虑一个数据库中的二维表如下：
可以看出，这个表就是上面的那个例子的二维表格体现，而最后一列是我们的决策属性，也就是说评价什么样的积木稳定。这个表中的每一行表示了类似这样的信息：红色的大三角积木稳定， **** 的小圆形不稳定等等。我们可以把所有的记录看成是论域A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8} ，任意一个列表示一个属性构成了对论域的元素上的一个划分，在划分的每一个类中都具有相同的属性。而属性可以分成两大类，一类叫做条件属性：颜色、形状、大小都是，另一类叫做决策属性：最后一列的是否稳定？下面我们考虑，对于决策属性来说是否所有的条件属性都是有用的呢？考虑所有决策属性是“稳定”的集合{x1,x2,x5} ，它在知识系统A/R 中的上、下近似都是{x1,x2,x5} 本身，“不稳定”的集合{x3,x4,x6,x7,x8} ，在知识系统A/R 中的上、下近似也都是{x3,x4,x6,x7,x8} 它本身。说明该知识库能够对这个概念进行很好的描述。
下面考虑是否所有的基本知识：颜色、形状、大小都是必要的？如果我们把这个集合在知识系统中去掉颜色这个基本知识，那么知识系统变成
A/(R-R1)={{x1,x2},{x3,x4,x7},{x5},{x6},{x8}} 以及这些子集的并集。如果用这个新的知识系统表达“稳定”概念得到上下近似仍旧都是： {x1,x2,x5} ，“不稳定”概念的上下近似也还是{x3,x4,x6,x7,x8} ，由此看出去掉颜色属性我们表达稳定性的知识不会有变化，所以说颜色属性是多余的可以删除。
如果再考虑是否能去掉大小属性呢？这个时候知识系统就变为：A/(R-R1-R3)=A/R2={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} 。同样考虑“稳定”在知识系统A/R2 中的上下近似分别为：{x1,x2} 和{x1,x2,x5,x8} ，已经和原来知识系统中的上下近似不一样了， 同样考虑“不稳定” 的近似表示也变化了，所以删除属性“大小”是对知识表示有影响的故而不能去掉。同样的讨论对于“形状”属性也一样，它是不能去掉的。
最后我们得到化简后的知识库R2,R3，从而能得到下面的决策规则：大三角-> 稳定，大方块-> 稳定，小圆-> 不稳定，中圆-> 不稳定，中方块-> 不稳定，利用粗集的理论还可以对这些规则进一步化简得到：大-> 稳定，圆-> 不稳定，中方块-> 不稳定。这就是上面这个数据表所包含的真正有用的知识，而这些知识都是从数据库有粗糙集方法自动学习得到的。
因此，粗糙集是数据库中数据挖掘的有效方法。从上面这个例子中我们不难看出，实际上我们只要把这个数据库输入进粗糙集运算系统，而不用提供任何先验的知识，粗糙集算法就能自动学习出知识来，这正是它能够广泛应用的根源所在。而在模糊集、可拓集等集合论中我们还要事先给定隶属函数。目前，粗糙集理论已经广泛的应用于知识发现、数据挖掘、智能决策、电子控制等多个领域。
