前言

在很久（好像也没多久，4个月）之前，我曾经写了一篇和主业无关的有点意思的小文章《基数估计探秘：Linear Counting与Flajolet-Martin算法》。但是这篇文章讲的两个算法都已经老掉牙了，实际应用最广泛的基数估计算法是HyperLogLog（HLL）算法。

最近笔者基于Flink搞了些从超大行为数据集计算UV的工作，用到了Redis的HyperLogLog，感觉是时候写个续篇了。在读本文之前，强烈建议看官先读之前的那篇，就算不深挖细节，也能够获得一些基数估计方面的背景知识。

LogLog Counting（LLC）算法

等等，不是叫HyperLogLog么，怎么这里变LogLog了？很简单，HLL是基于LLC的改进，所以我们有必要了解LLC。该算法由M. Durand、P. Flajolet在2003年的论文《Loglog Counting of Large Cardinalities》中首次提出。下面看看这个算法是怎么操作的。

首先我们得有一个哈希函数H(x)，并且满足如下条件：

• 哈希结果尽量服从均匀分布；
• 碰撞概率尽量小；
• 结果是长度固定为L的二进制串。

然后定义符号ρ(y)，它代表将数y表示成二进制串后，从左向右读遇到的第一个“1”的位置下标（下标从1开始，忽略全0的情况），也就是前导0的个数+1。

LogLog Counting算法的流程如下：

1. 对每个待测集合中的元素x，计算它的哈希值y=H(x)。
2. 将哈希值y通过它们的前k=logm个比特分组（即分桶），作为桶的编号，即一共有m个桶。
3. 将y的后L - k个比特作为真正参与基数估计的串s，计算并记录下所有桶内的ρ(s)。
4. 令M[k]表示第k个桶内所有元素中最大的那个ρ值，那么该集合基数的估计量为：

Ñ = α_m · m · 2^{ΣM[i] / m}

其中α_m是修正参数。有没有觉得这个算法流程有点似曾相识的意思？

实际上，它与前面说过的Flajolet-Martin算法的PCSA变种非常相似，也采用了分桶平均的思想，只不过在精确度方面又做了一些其他工作。因此与它相关的细节（比如为什么ρ_max可以作为估计量）可以参考上一篇文章。

那么α是怎么来的呢？这个过程极其复杂，直接说结论吧。根据之前对伯努利实验的分析，可以知道：

P_n{X=k} = (1 - 1/2^k)ⁿ - (1 - 1/2^k-1)ⁿ

它是一个无穷递推数列，采用指数生成函数和泊松化的方法处理，得到估计量的泊松期望和方差如下：

进而推出算法流程第4步的估计量。这是一个渐进无偏估计量，其中：

这是LLC比F-M算法更精细的地方之一。

LLC的空间复杂度是多少呢？不难得知，在F-M算法中，我们可以用logN个比特来存储哈希值，而LLC算法只存储下标（即ρ值）就够用了，所以可以降低为log(logN)个比特。再加上分桶数为m，亦即它的空间复杂度是：

O[m · log(logN)]

这也就是LogLog Counting这个名字的由来。

根据论文中给出的数据，LLC的误差在m不算太小（大于64）时，大概是：

StdError ≈ 1.30 / √m

虽然LLC的误差常数比F-M算法的还大（F-M是0.78），但是由于空间复杂度从log级别降低到了loglog级别，所以相同误差下实际的空间开销要更小。

分桶数m完全由可接受的精确度决定。但这个误差的前提是实际基数N要远远大于分桶数m（因为Ñ是渐近无偏的），所以在集合比较小时，LLC算法的效果要打折扣，这点与F-M-PCSA是相同的。

LLC算法本质上不是个新的算法，并且也从未大规模地使用过。它的主要意义有三：

• 与F-M算法相比，经过了非常完备的实验分析与验证；
• 在精确度和空间占用之间取得了更好的平衡；
• 作为后续HyperLogLog算法产生的基础。

HyperLogLog（HLL）算法

HLL由四位大佬P. Flajolet、É. Fusy、O. Gandouet、F. Meunier（全是法语名字）在2007年的论文《HyperLogLog: the analysis of a near-optimal cardinality estimation algorithm》中提出。从论文题目可以得知，这个算法已经相当优化了。实际上它的算法流程与LLC仍然几乎相同，那么它到底“hyper”在哪里呢？

一是分桶平均的时候，采用调和平均数。我们知道，调和平均数的定义是：

n / [1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_n] = n / [Σ 1/x_i]

在LLC算法中，采用的是ρ_max的算术平均数，并且它是作为2的指数，所以本质上是几何平均数。但是几何平均数受离群值（即偏离均值很大的值）的影响非常大，分桶的空桶越多，LLC的估计值就越不准确。调和平均数就不太有这种困扰，所以集合基数的估计量就会变成：

Ñ = α_m · m² / Σ 2^-M[i]

修正参数是：

为了实际应用起来方便，一般采用如下的近似值：

二是根据基数估计值的大小，采用不同的估计方法进行修正。论文中给出了在常见情况——即被估集合的基数在亿级别以下，m取值在2^{[4, 16]}区间——下的修正的算法，如下图所示。

翻译成人话：

• 在估计值Ñ ≤ 5m/2时，使用前面讲过的Linear Counting算法估计，因为它在基数较小时偏差也较小；
• 5m/2 < Ñ ≤ 2³²/30时，直接使用HLL的结果；
• Ñ > 2³²/30时，结果为-2³²log(1 - Ñ / 2³²)。

HLL算法的空间复杂度与LLC相同，而标准差为：

StdError ≈ 1.04 / √m

可见，HLL算法的精度确实比LLC更高。根据论文中的描述，估计亿级别集合的基数，在偏差大约2%的情况下，只需要耗费大约1.5kB内存。

HLL算法在很多框架中都有实现，其中尤以Redis的实现方法最为有名，但它的代码量极大，如果写在文章里的话会特别冗长，所以只是简单说说吧。

Redis使用了2¹⁴=16384个桶，按照上面的标准差，误差为0.81%，精度相当高。Redis使用一个long型哈希值的前14个比特用来确定桶编号，剩下的50个比特用来做基数估计。而2⁶=64，所以只需要用6个比特表示下标值，在一般情况下，一个HLL数据结构占用内存的大小为16384 * 6 / 8 = 12kB，Redis将这种情况称为密集（dense）存储。

既然有了密集存储，自然就会有稀疏（sparse）存储。当多数桶的值为全0时，为了节省空间，Redis会将连续的全0桶压缩成0桶计数值。该计数值可以用单字节或双字节表示，高2bit为标志位，因此可以分别表示连续64个全0桶和连续16384个全0桶。

Redis在HLL稀疏存储中用ZERO宏表示单字节全0桶，XZERO宏表示双字节全0桶，VAL表示中途的少数非0桶。举个例子，假设只有第10001个桶和第10047个桶的值为1，其余都为0，那么整个存储布局就是：

XZERO (10000) | VAL (1) | ZERO (45) | VAL (1) | XZERO (6337)

只需要5字节就能存储了。当稀疏存储的总大小超过hll_sparse_max_bytes参数指定的大小（默认为3kB）时，就会自动转换成密集存储。Redis还会在HLL数据结构的头部信息中缓存上一次计算出来的基数估计值，这样可以避免不必要的重算，提高效率。

除了插入元素的PFADD指令之外，Redis提供的计数指令PFCOUNT和合并指令PFMERGE都支持将多个HLL合并起来。由于HLL的桶只存储下标值，因此合并时只需要按桶取最大值就可以了。Redis的HLL算法在上述标准算法的基础上做了一点改进，比如预打表计算2^-M[i]的值，以及用多项式回归修正结果等。

最后推荐一个国外大佬做的HLL算法的动态Demo，简单直观，有助于理解，下面给出截图以及网页地址。

http://content.research.neustar.biz/blog/hll.html

The End

晚安晚安。