这个世界上有太多帮助初学者认识十二平均律的文章和书籍了。十二平均律的原理很简单，一句话就能解释：把一个八度均分12份。不过这样一句话的解释对初学者是有迷惑性的，会让人有一种“把频率差值直接除以12”的错觉。
现有的很多教程都不够“傻瓜”——有的教程过早介绍了“音分”等不适合入门阶段的知识，把学习者搞糊涂了；有的教程太惜字如金，不够“话痨”；有的重点着墨十二平均律的历史文化背景，对于连原理都不懂的读者则暂无益处。今天我也试着写一篇介绍十二平均律的入门教程，尽可能系统、有逻辑、通俗易懂（有中学水平的代数知识就能看懂）且稍微啰嗦；只讲原理，不谈历史，给有需要的人再多一种参考。
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发声体振动产生声波，声波通过介质（如空气）传播至人的听觉系统被感知，人便可听到声音。声波振动越快，声音便越高（想象尖刺的鸟鸣声）；声波振动越慢，声音便越低（想象低沉的男低音）。既然声音有高有低，所以人们用音高一词来描述声音的高低程度。
物理学中，用精确的标量频率来指示音高。频率（符号为f）的含义是单位时间内周期性事件发生的次数，单位是赫兹（简写为Hz）。例如2,000 Hz表示每秒振动2,000次。频率越高，音高越高；反之亦然。
人耳能感知到的频率范围是20 Hz至20,000 Hz。高于20,000 Hz的被称为超声波；低于20 Hz的被称为次声波。
音乐是写给人耳的。所以，从20 Hz到20,000 Hz这个范围内的所有可能的数值，理论上都可以供音乐家随意调用。但传统的音乐理论中不可能也不必使用如此精确的度量。例如，2085 Hz、2086 Hz、2087 Hz、2088 Hz等对于人耳来说几无区别。再例如，一个小提琴家是不会喜欢对着满篇精确的数字来演奏的。经过长期实践，人们决定在无数多个频率数值中按特定规则【注释一】选出最常用的、区分度大的一些频率数值，固定下来，形成体系，供音乐家们长期使用。这就好比从无数多种可能的颜色中选出常用的若干种，做成颜料盒，包装起来卖给画家。其中最著名的一个规则是这样的：指定一个频率S=440 Hz，以其为基准；另指定常数p=2^(1/12)≈1.0594631。用p的n次方（n为整数）分别与S相乘，可得出一系列频率值【注释二】。从低到高排列之后，形成如下无穷等比数列：
代入S与p的值，可精确计算出此数列中每一项的值。
首先是基准值S的左侧——
然后是基准值S的右侧——
仔细观察以上两个表格 。你会发现一个规律，对于该数列中的任何一项，向左数12个格后，数值会减半；向右数12个格后，数值会翻倍。这是非常符合预期的，因为常数p的值恰恰等于2的12次方根。
除此之外，经验证明，对于任一给定频率f，当将其提高或降低到(2^n)*f后（n为非0整数），从主观听觉上来讲，新的音高与原音高相比有 “似曾相识”之感，除了高低不同以外听感上非常雷同。（在n取值较小时尤其如此。）这是人耳对(2^n)*f的敏感性导致的，是人的自然属性。
从数值上和听觉经验上皆证实了：该数列是有一定循环性的，其中每12项为一组（也叫“一个八度”），组与组的位置相同项之间是2^n的倍数关系（n为整数）。
为了将“组”的分界点标准化，人们指定Sp^(-9)至Sp^2各项（含两端）为“第四组”。第四组之后的12项为“第五组”，第四组之前的12项为“第三组”，以此类推。“第〇组”极罕见，编号为负数的组更是不会在实际中出现。“第九组”及以上各组也十分罕见。
为了方便实际使用，每组内的12项也被冠以更方便记忆的名字，它们是（按从低频至高频的顺序）——C , C ♯/D ♭ , D , D ♯/E ♭ , E , F , F ♯/G ♭ , G , G ♯/A ♭ , A , A ♯/B ♭ , B。其中，“♯”读作“升”， “♭”读作“降”。 有的项有别名，因此用斜线隔开。这套使用拉丁字母记录音高的符号叫做音名。
如果想精确定位此规则体系下的音高，不必使用冗长的频率值，只须使用简易的“音名+组号”法，也叫“科学音高标记法”。例如，440 Hz 对应的音高（即前文的基准值S）就是 A4；Sp^(-9)对应C4（由于C4在钢琴上是正中央的一个键，因此C4也俗称“中央C”）等等。如果某频率值没有落在此规则遴选出的频率值集合中，则无法使用科学音高标记法标记。
科学音高标记法在文字描述中非常方便【注释三】，但是在演奏中不够直观。因此音乐家们更倾向于使用科学音高标记法的图表升级版——五线谱。五线谱中可看出音乐的起伏走势，轻重缓急，信息容量巨大，非常方便。
本文所述的“使用基准值S和常数p构造数列，并将每12项分为一组”的思想，正是著名的“十二平均律”。十二平均律亦直接指导了以钢琴为首的当代众多键盘乐器的设计。仔细观察钢琴黑白相间的键盘，你会对十二平均律有更直观的理解。
十二平均律的核心精髓是其构建规则。至于基准值S（即A4）的取值，更多是来自历史遗留习惯、音乐家们的约定俗成、或某种审美倾向。A4= 440 Hz是当代标准。今天，在交响乐队演奏之前，所有乐手都要跟随双簧管将自己乐器上的A4调成440 Hz（如果是室内乐，则一般跟随钢琴）。而在演奏巴洛克复古音乐时，这个基准值常被定为415 Hz以追求复古效果。理论上，基准值甚至可以随意取值。很多当代作曲家都乐于在乐器的调律上做文章以追求新奇效果。
十二平均律、科学音高标记法和五线谱记谱法共同构成了今天西洋严肃音乐理论的事实标准。
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【注释一】这种规则被称为“律制”。研究律制的学科被称为“律学”。
【注释二】通俗地说，就是使用p将S一次又一次“放大”，使用p的倒数将S一次又一次“缩小”。
【注释三】信手拈来一例：“小提琴的最低音是G3”总比“小提琴的最低音是196 Hz”更易读易记。
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本文选用的插图在公有领域中。
