乘法是二年级开始学习的。而在未学乘法之前，这孩子已经从数“数的倍数”中认识了乘法，不会乘法口诀但会乘法。比如，7乘以8，他必定是从1个8是8，2个8是16（8+8=16），3个8是24（16+8=24）……7个8是（6个8是48，48+8=56）推出来的。发现了他计算乘法结果的秘密后，我明白了爱和乐老总邱德辉老师极力倡导孩子们“数数”的真正意义所在。原来，孩子的大脑发育被数字大量的重复的刺激后，自己会寻求其中的规律。平时的数字游戏中，有些很绕人的题，这孩子三下两下就做出来了。我常常奇怪他的思维模式，笑称他“大脑里有不为人知的回路”，用我熟知的电工术语是：短路。

  这是他一二年级时的数学状态。数学成绩不用人操心。平时作业我也不操心。数学作业用时量最少。“倍”应该是他会的内容之一，做作业考试没问题。会是会了，懂了么？

  和倍差半的学习暴露了他“只会不懂”的真实状态。这个一点儿也不奇怪。因为会，是照猫画虎来的，一二年级知识很初级，老师怎么教孩子怎么学，作业对，考试会，在一二年级时一点问题也没有。三年级是转折点。二年级就学过的“倍”在和倍差半的问题中，考察的是对“倍”的真正理解。

    倍是什么？倍有个“以谁为标准”的问题。比如，2的3倍是6，那么2就是标准。2的3倍是3个2连加得6。3的2倍是6，那么3就是标准，3的2倍是2个3连加得6。

    说到乘法算式，我们小时候是有区别的：2个3是3x2；3个2是2x3。现在不讲究这个了。而在和倍差半问题中还是有严格区别的。

  除法算式的意义是什么？除法算式的意义是求每份数是多少。这个每份数等同于和倍差半公式中的1倍数。

  对这两个概念的准确把握是解决和倍差半问题的关键。根本不用死记硬背。

    —，和倍问题。圆圆和方方共有图书84本，方方的图书本数是圆圆的3倍，她们两个各有图书多少本？

  解题思路：1，分析两人谁的书少。谁少谁就是标准数。标准数用画一个方块来表示。本题中，圆圆是标准数。画一个方块。方方是圆圆的3倍，画同样大小的三个方块。

  圆圆  口

  方方  口口口         

      2，两人一共有图书84本。从图中看，是84本分成了4等份，每等份是多少？用除法。84÷4=21

      3，圆圆是一份，圆圆有21本书。

            方方是三份，方方有21X3=63本。

      是否很简单？根本不用背公式。熟练后，不用画图，直接用和除以倍数加1就是答案。但在没有真正理解了为什么时，背公式学到的是死的。

      二，和倍问题的升级版。同学们采集植物标本，六年级采集了120件，比五年级的2倍少12件，五年级采集了多少件？

      解题思路：1，确定标准数。少的是标准数。五年级少，五年级画一个方块。

    五年级    口

    六年级    口    口

    2，六年级是120件，比五年级的2倍少12件，那么，比五年级的2倍是  120+12=132

    3，问题来了：132除以3还是除以2，因为题里讲的是六年级120件，所以每等份是  132÷2=62

    4，五年级的采集是：62件。

三，差倍问题。小明家里三月份的电费是水费的3倍，且电费比水费多用18元。求电费水费各是多少？

      解题思路：1，少的是标准数。标准数画一个方块。水费画一个方块。电费画三个方块。

    水费    口

    电费    口    口  口

  2，电费比水费多18元，也就是多出来的两个方块是18元。那每个方块是多少呢？18÷2=9（元）

  3，水费是一个方块：18÷2=9（元）

    电费是三个方块：9x3=27（元）

        可见，和倍差半的关键是求那个等份数 或者是标准数，也就是所谓的1倍数。（用方块代表，而方块其实是未知数的图示。小学时用图示，初中时用字母。代数思维是隐藏在过程中的。）懂了解题的过程后，还用背那些术语名词和干巴巴的公式吗？

    这孩子尝到解题的快乐后，埋怨我没有提前教他。我说，你没有遇到问题我怎么教？再说，没有丁博的课，我也不会呀。这是大实话。当年他一年级时，我就有的题教不了他。今天能在这里写简书讨论数学问题，得益于《说理解数》博士团队。

    会和懂是有距离的。会是背公式，也能做对题，题型稍变就头大；懂是会推导，无论怎么变，知道原理心不慌。

  分享我跟着《说理解数》丁博士学习数理思维启蒙的粗浅体会，希望帮助到有需求的孩子们。