高级数据结构和算法4：BST(二叉搜索树)、AVL树(平衡二叉树)

visualgo.net BST AVL

1. 二叉查找树

二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树

1. 特点

任意节点的左子树不空, 则左子树上所有节点的key均小于它的根节点的key
任意节点的右子树不空, 则右子树上所有节点的key均大于它的根节点的key
任意节点的左,右子树也分别为二叉查找树
没有key相等的节点

二叉查找树进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列

BST的中序遍历

2. 结构

二叉搜索树通常使用链式存储孩子表示法。

struct Node {
    int key;
    struct Node* left;
    struct Node* right;
}

3. 操作

3.1 插入

如果二叉查找树为空，则直接插入。
如果插入节点key小于根结点key，则插入到左子树中；大于根结点key，则插入到右子树中。
依次类推，直到找到插入位置。

BST默认插入新的节点是叶子节点。

Node* Insert(Node*& node, int key){
    if(NULL == node) node = new Node(key);
    if (key < node->key) node->left = Insert(node->left, key);
    else if (key > node->key) node->right = Insert(node->right,key);    
    return node;
}

3.2 查找

查找指定key的节点
从根结点开始，若二叉树非空，将给定值与根结点的关键字比较，若相等，则查找成功；若不等，则当给定值小于根结点关键字时，在根结点的左子树中查找，否则在根结点的右子树中查找。
```
Node* Search(Node* node, int key){
    if(NULL == node) return NULL;
    if (key < node->key) return Search(node->left, key);
    else if (key > node->key) return Search(node->right, key);
    return node;
}
```

查找最大/最小key的节点

// 最大键
Node* Maximum(Node* node){
    if (NULL == node) return NULL;
    while (NULL != node->right) node = node->right;
    return node;
}

// 最小键
Node* Minimum(Node* node){
    if (NULL == node) return NULL;
    while (NULL != node->left) node = node->left;
    return node;
}

3.3 删除

二叉查找树的删除操作是相对复杂一点，它要按 3 种情况来处理：

被删除结点是叶子结点，直接删除。
结点只有左子树或只有右子树，则让子树替代；
结点既有左子树，又有右子树，有两种处理方式
替代删除，后继代替删除节点，然后删除后继；或者前驱代替删除节点，然后删除前驱。
合并删除，右子树合并到左子树的最大值的右子树上；或者左子树合并到右子树最小值的左子树上。

合并删除-增加树高.png

Node* Remove(Node* node, int key){
    if(NULL == node) return NULL;
    if (key < node->key) node->left = Remove(node->left, key);
    else if (key > node->key) node->right = Remove(node->right, key);
    else {
        if(NULL != node->right && NULL != node->left){// 有两个子树
            // 最小值删除
            Node* p = Minimum(node->right);
            node->key = p->key;
            node->right = Remove(node->right,p->key);
        } else {// 叶子节点或者只有一个子树
            Node* res = NULL;
            if(NULL != node->right) res = node->right;
            if(NULL != node->left) res = node->left;
            delete node;
            node = NULL;
            return res;
        }
    }
    return node;
}

优缺点

优点

No.	操作	时间复杂度
1	插入	`O(log n)`
2	查找	`O(log n)`
3	插入	`O(log n)`

缺点
二叉搜索树构造顺序影响操作的时间复杂度。

参考代码

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

// 节点
struct Node{
    int key;        ///< 键
    Node *left;     ///< 左子节点
    Node *right;    ///< 右子节点
    Node(int key) 
    :key(key),left(NULL),right(NULL){}
};

// 辅助操作
Node* Maximum(Node* node){
    if (NULL == node) return NULL;
    while (NULL != node->right) node = node->right;
    return node;
}
Node* Minimum(Node* node){
    if (NULL == node) return NULL;
    while (NULL != node->left) node = node->left;
    return node;
}

// 核心操作
Node* Insert(Node*& node, int key){
    if(NULL == node) node = new Node(key);
    if (key < node->key) node->left = Insert(node->left, key);
    else if (key > node->key) node->right = Insert(node->right,key);    
    return node;
}

Node* Search(Node* node, int key){
    if(NULL == node) return NULL;
    if (key < node->key) return Search(node->left, key);
    else if (key > node->key) return Search(node->right, key);
    return node;
}
Node* Remove(Node* node, int key){
    if(NULL == node) return NULL;
    if (key < node->key) node->left = Remove(node->left, key);
    else if (key > node->key) node->right = Remove(node->right, key);
    else {
        if(NULL != node->right && NULL != node->left){// 有两个子树
            // 最小值删除
            Node* p = Minimum(node->right);
            node->key = p->key;
            node->right = Remove(node->right,p->key);
        } else {// 叶子节点或者只有一个子树
            Node* res = NULL;
            if(NULL != node->right) res = node->right;
            if(NULL != node->left) res = node->left;
            delete node;
            node = NULL;
            return res;
        }
    }
    return node;
}

/////////////////////////////////////////////////////////////
ostream& operator<<(ostream& os,const Node root) {
    queue<const Node*> q;
    q.push(&root);
    while(!q.empty()){
        const Node* curr = q.front();
        q.pop();
        if (NULL != curr){
            os << curr->key;
            q.push(curr->left);
            q.push(curr->right);
        } else {
            os << '#';
        }
    }
    return os;        
}
void TestInsert(Node*& root){
    Insert(root,1);
    Insert(root,2);
    Insert(root,3);
    Insert(root,4);
    Insert(root,5);
    cout << *root << endl;
}
void TestSearch(Node* root,int key){
    cout <<"Search " << key << ":" << Search(root,key) << endl;
}
void TestRemove(Node*& root,int key){
    root = Remove(root, key);
    cout <<"Remove " << key << ":" ;
    if(NULL != root) cout << *root << endl;
    else cout << "#" << endl;
}
void TestMax(Node* root){
    Node* maxNode = Maximum(root);
    cout << "Max:"<< maxNode->key <<":"<< maxNode <<endl;
}
void TestMin(Node* root){
    Node* minNode = Minimum(root);
    cout << "Min:"<< minNode->key <<":"<< minNode <<endl;
}

int main(){
    Node* root = NULL;
    TestInsert(root);
    TestSearch(root,1);
    TestSearch(root,2);
    TestSearch(root,3);
    TestSearch(root,4);
    TestSearch(root,5);
    TestSearch(root,6);
    TestSearch(root,7);
    TestSearch(root,8);
    TestMax(root);
    TestMin(root);

    // TestRemove(root, 8);
    // TestRemove(root, 7);
    // TestRemove(root, 6);
    // TestRemove(root, 2);
    // TestRemove(root, 5);
    // TestRemove(root, 4);
    // TestRemove(root, 3);
    // TestRemove(root, 1);
    TestRemove(root,1);
    TestRemove(root,2);
    TestRemove(root,3);
    TestRemove(root,4);
    TestRemove(root,5);
}

98. 验证二叉搜索树

700. 二叉搜索树中的搜索

701. 二叉搜索树中的插入操作

450. 删除二叉搜索树中的节点

2. AVL树(平衡二叉树)

BST树的缺点不平衡

二叉树的平衡.png

平衡二叉树/自平衡二叉查找树(Balanced Binary Tree)：也称为AVL树(名称来自发明人G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis的首字母)，它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

特点

左右子树深度之差的绝对值不超过1(任意节点的两子树的高度最大差别为1).
左右子树仍然为平衡二叉树.

平衡因子BF(Balance Factor)：左树深度减去右树深度的值。平衡因子BF = 左子树深度－右子树深度。
平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。当BF为-1、0、1时，二叉树平衡；反之，不平衡。

树快速查找的关键是高度要低，高度低的关键是平衡。

判断平衡:BF

判断平衡二叉树

/* 节点 */
struct Node{
    char key;       // 键值
    Node* right;    // 右节点
    Node* left;     // 左节点
    int height;     // 节点高度
    Node(char key):key(key),right(NULL),left(NULL),height(0){}
    Node(char key,int height):key(key),right(NULL),left(NULL),height(height){}
};

/*
* 平衡因子:左子树树高-右子树树高
*/
int BalanceFactor(const Node* root){
    if(NULL == root) return 0;
    if(NULL == root->left && NULL == root->right) return 0;
    if(NULL == root->left) return -root->right->height;
    if(NULL == root->right) return root->left->height;
    return root->left->height - root->right->height;
}

ostream& operator<<(ostream& os,const Node root) {
    queue<const Node*> q;
    q.push(&root);
    while(!q.empty()){
        const Node* curr = q.front();
        q.pop();
        if (NULL != curr){
            os << curr->key << "[" << BalanceFactor(curr)<<"]";
            q.push(curr->left);
            q.push(curr->right);
        } else {
            os << '#';
        }
    }
    return os;        
}
int main(){
    {
        //     1
        //    /
        //   2
        //  /
        // 3
        Node a('1',3);
        Node b('2',2);
        Node c('3',1);
        a.left = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
    }
    {
        // 1
        //  \
        //   2
        //    \
        //     3
        Node a('1',3);
        Node b('2',2);
        Node c('3',1);
        a.right = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
    }
    {
        //     1
        //    /
        //   2
        //    \
        //     3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        a.left = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
    }
    {
        // 1
        //  \
        //   2
        //  /
        // 3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        a.right = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
    }
}

LeetCode 110. 平衡二叉树

两种旋转(左旋/右旋)、三个节点(新插入节点/不平衡节点/旋转节点)、四种不平衡(LL/RR/RL/LR)。

操作

AVL树的操作基本和二叉查找树一样，这里我们关注的是两个变化很大的操作：插入和删除！

旋转

旋转条件：当最小不平衡子树根节点BF>1,右旋；BF<-1,左旋。

当P的A、B节点插入新结点，导致Q点不平衡，左重右轻，右旋。
当Q的B、C节点插入新结点，导致P点不平衡，右重左轻，左旋。
旋转点上升，不平衡点向轻的一侧旋转。

旋转步骤：

获取旋转节点
旋转节点的子节点替换父节点的旋转节点
旋转节点父节点做旋转节点子节点
返回旋转节点

依次插入1,2,3

依次插入3,2,1

依次插入2,1,3或2,3,1

依次插入1,3,2

依次插入3,1,2

依次插入4,5

依次插入6,7

旋转1→2→3和3→2→1的情况

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

/* 节点 */
struct Node{
    char key;       // 键值
    Node* right;    // 右节点
    Node* left;     // 左节点
    int height;     // 节点高度
    Node(char key):key(key),right(NULL),left(NULL),height(0){}
};

ostream& operator<<(ostream& os,const Node root) {
    queue<const Node*> q;
    q.push(&root);
    while(!q.empty()){
        const Node* curr = q.front();
        q.pop();
        if (NULL != curr){
            os << curr->key;
            q.push(curr->left);
            q.push(curr->right);
        } else {
            os << '#';
        }
    }
    return os;        
}

/*
 * 右旋
 *       Q                  P 
 *      / \                / \ 
 *     P   C  ------->    A   Q 
 *    / \                /   / \ 
 *   A   B              X'  B   C  
 *
 */
Node* RightRotate(Node* root){
    Node* pivot = root->left;  // 获取旋转节点
    root->left = pivot->right; // 旋转节点的子节点替换父节点的旋转节点
    pivot->right = root;       // 旋转节点父节点做旋转节点子节点
    return pivot;              // 返回旋转节点
}

/*
 * 左旋
 *      P                    Q
 *     / \                  / \ 
 *    A   Q     ----->     P   C 
 *       / \              / \   \ 
 *      B   C            A   B   X'  
 */
Node* LeftRotate(Node* root){
    Node* pivot = root->right; // 获取旋转节点
    root->right = pivot->left; // 旋转节点的子节点替换父节点的旋转节点
    pivot->left = root;        // 旋转节点父节点做旋转节点子节点
    return pivot;              // 返回旋转节点 
}

int main(){
    {
        Node a('1');
        Node b('2');
        Node c('3');
        a.left = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
        cout << *RightRotate(&a) << endl;
    }
    {
        Node a('1');
        Node b('2');
        Node c('3');
        a.right = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
        cout << *LeftRotate(&a) << endl;
    }
    {
        Node q('Q');
        Node p('P');
        Node c('C');
        Node a('A');
        Node b('B');
        q.left = &p;
        q.right = &c;
        p.left = &a;
        p.right = &b;
        cout << q << endl;
        Node* r = RightRotate(&q);
        cout << *r << endl;
        Node *l = LeftRotate(r);
        cout << *l << endl;
    }
}

四种不平衡

不平衡的四种情况：
LL：插入一个新节点到不平衡节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致不平衡节点的平衡因子由1变为2

RR：插入一个新节点到不平衡节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致不平衡节点的平衡因子由-1变为-2

LR：插入一个新节点到不平衡节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致不平衡节点的平衡因子由1变为2

RL：插入一个新节点到不平衡节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致不平衡节点的平衡因子由-1变为-2

判断四种不平衡
1→2→3
3→2→1
1→3→2
3→1→2
依次插入：3,4,5,1,2
依次插入：3,4,5,2,1
依次插入：3,4,5,6,7
依次插入：3,4,5,7,6
依次插入：7,4,1,3,2,8,9,5,6

/*
* 检查是否平衡
*/
void Check(Node* root){
    int nf = BalanceFactor(root);
    if(nf>1){
        int lf = BalanceFactor(root->left);
        if(lf > 0) { // LL
            cout << "LL" << endl;
        } else { // LR
            cout << "LR" << endl;
        }
    }else if(nf < -1){
        int rf = BalanceFactor(root->right);
        if (rf < 0) { // RR
            cout << "RR" << endl;
        } else { // RL
            cout << "RL" << endl;
        }
    }else{// 保持平衡的情况
        cout << "Balance" << endl;
    }
}
int main(){
    {
        //     1
        //    /
        //   2
        //  /
        // 3
        Node a('1',3);
        Node b('2',2);
        Node c('3',1);
        a.left = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        // 1
        //  \
        //   2
        //    \
        //     3
        Node a('1',3);
        Node b('2',2);
        Node c('3',1);
        a.right = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //     1
        //    /
        //   2
        //    \
        //     3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        a.left = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        // 1
        //  \
        //   2
        //  /
        // 3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        a.right = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //     1
        //    / \
        //   2   4
        //  / \
        // 3   5
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //   1
        //  / \
        // 4   2
        //    / \
        //   5   3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        a.right = &b;
        a.left = &d;
        b.right = &c;
        b.left = &e;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //  /
        // 6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 2);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        c.left = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //    \
        //     6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 2);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        c.right = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //      /
        //     6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 2);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        e.left = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //        \
        //         6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 2);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        e.right = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }

    {
        //   1
        //  / \
        // 4   2
        //    / \
        //   5   3
        //  /
        // 6
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        Node f('6', 1);
        a.right = &b;
        a.left = &d;
        b.right = &c;
        b.left = &e;
        e.left = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
    }
}

不平衡处理方法

单向右旋平衡处理LL
单向左旋平衡处理RR
双向旋转（先左后右）平衡处理LR
双向旋转（先右后左）平衡处理RL

image.png

/*
* 平衡
*/
Node* Balance(Node* root){
    Node *res = root;
    int nf = BalanceFactor(root);
    if(nf>1){
        int lf = BalanceFactor(root->left);
        if(lf > 0) { // LL
            cout << "LL" << endl;
            res = RightRotate(root);
        } else { // LR
            cout << "LR" << endl;
            root->left = LeftRotate(root->left);
            res = RightRotate(root);
        }
    }else if(nf <-1){
        int rf = BalanceFactor(root->right);
        if (rf < 0) { // RR
            cout << "RR" << endl;
            res = LeftRotate(root);
        } else { // RL
            cout << "RL" << endl;
            root->right = RightRotate(root->right);
            res = LeftRotate(root);
        }
    }else{
        cout << "Balance" << endl;
        // 保持平衡的情况
    }
    return res;
}
int main(){
    {
        //     1
        //    /
        //   2
        //  /
        // 3
        Node a('1',3);
        Node b('2',2);
        Node c('3',1);
        a.left = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        // 1
        //  \
        //   2
        //    \
        //     3
        Node a('1',3);
        Node b('2',2);
        Node c('3',1);
        a.right = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //     1
        //    /
        //   2
        //    \
        //     3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        a.left = &b;
        b.right = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        // 1
        //  \
        //   2
        //  /
        // 3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        a.right = &b;
        b.left = &c;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //     1
        //    / \
        //   2   4
        //  / \
        // 3   5
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //   1
        //  / \
        // 4   2
        //    / \
        //   5   3
        Node a('1', 3);
        Node b('2', 2);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        a.right = &b;
        a.left = &d;
        b.right = &c;
        b.left = &e;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //  /
        // 6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 2);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        c.left = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //    \
        //     6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 2);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 1);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        c.right = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //      /
        //     6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 2);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        e.left = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }

    {
        //       1
        //      / \
        //     2   4
        //    / \
        //   3   5
        //        \
        //         6
        Node a('1', 4);
        Node b('2', 3);
        Node c('3', 1);
        Node d('4', 1);
        Node e('5', 2);
        Node f('6', 1);
        a.left = &b;
        a.right = &d;
        b.left = &c;
        b.right = &e;
        e.right = &f;
        cout << a << endl;
        Check(&a);
        cout << *Balance(&a) << endl;
        cout << "----------------" << endl;
    }
}

更新树高

/*
* 更新树高
*/
int UpdateHeight(Node* root){
    if(NULL == root) return 0;
    if(NULL == root->left && NULL == root->right) {
        root->height = 1;
    } else if(NULL == root->left) {
        root->height = 1 + UpdateHeight(root->right);
    } else if(NULL == root->right) {
        root->height = 1 + UpdateHeight(root->left);
    } else {
        root->height = 1 + max(UpdateHeight(root->left),UpdateHeight(root->right));
    }
    return root->height;
}

插入

与 BST（二叉搜索树）中类似，先进行一次失败的查找来确定插入的位置，插入节点后根据平衡因子来决定是否需要调整。

二叉树的平衡1-右旋.png

二叉树的平衡2-左旋.png

二叉树的平衡3-左旋.png

二叉树的平衡4-左旋.png

二叉树的平衡5-右旋左旋.png

二叉树的平衡6-右旋左旋.png

/*
* 插入AVL树
*/
bool Insert(Node*& root,char key){
    bool res;
    if (NULL == root){
        root = new Node(key);
        res = true;
    } else if (root->key == key){
        res = false;
    } else if (root->key < key){
        res = Insert(root->right, key);
    } else {
        res = Insert(root->left, key);
    }
    if(res){
        root = Balance(root);
        UpdateHeight(root); // 更新高度
    }
    return res;
}

删除

删除情况分析

删除节点有三种情况

删除叶子节点。
删除只有一棵子树的节点。
删除有两棵子树的节点。

AVL删除与BST删除方式一致，但是AVL删除会导致树高以及平衡因子变化，这时需要沿着被删除结点到根的路径来调整这种变化。

复制删除.png

合并删除.png

合并删除2.png

优点

查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。

缺点

插入和删除旋转比较耗时，适用于插入和删除较少的情况。

参考代码

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

struct Node{
    int key;        ///< 键
    Node *left;     ///< 左子节点
    Node *right;    ///< 右子节点
    int height;     ///< 节点高度
    Node(int key, int height) 
    :key(key),left(NULL),right(NULL),height(height){}
};

// 辅助操作
Node* Maximum(Node* node){
    if (NULL == node) return NULL;
    while (NULL != node->right) node = node->right;
    return node;
}

Node* Minimum(Node* node){
    if (NULL == node) return NULL;
    while (NULL != node->left) node = node->left;
    return node;
}

// 平衡因子:左子树树高-右子树树高
int BalanceFactor(const Node* root){
    if(NULL == root) return 0;
    if(NULL == root->left && NULL == root->right) return 0;
    if(NULL == root->left) return -root->right->height;
    if(NULL == root->right) return root->left->height;
    return root->left->height - root->right->height;
}

/*
 * 右旋
 *       Q                  P 
 *      / \                / \ 
 *     P   C  ------->    A   Q 
 *    / \                /   / \ 
 *   A   B              X'  B   C  
 *
 */
Node* RightRotate(Node* root){
    Node* pivot = root->left;  // 获取旋转节点
    root->left = pivot->right; // 旋转节点的子节点替换父节点的旋转节点
    pivot->right = root;       // 旋转节点父节点做旋转节点子节点
    return pivot;              // 返回旋转节点
}

/*
 * 左旋
 *      P                    Q
 *     / \                  / \ 
 *    A   Q     ----->     P   C 
 *       / \              / \   \ 
 *      B   C            A   B   X'  
 */
Node* LeftRotate(Node* root){
    Node* pivot = root->right; // 获取旋转节点
    root->right = pivot->left; // 旋转节点的子节点替换父节点的旋转节点
    pivot->left = root;        // 旋转节点父节点做旋转节点子节点
    return pivot;              // 返回旋转节点 
}

// 更新树高
int UpdateHeight(Node* root){
    if(NULL == root) return 0;
    if(NULL == root->left && NULL == root->right) {
        root->height = 1;
    } else if(NULL == root->left) {
        root->height = 1 + UpdateHeight(root->right);
    } else if(NULL == root->right) {
        root->height = 1 + UpdateHeight(root->left);
    } else {
        root->height = 1 + max(UpdateHeight(root->left),UpdateHeight(root->right));
    }
    return root->height;
}

// 平衡
Node* Balance(Node* root){
    Node *res = root;
    int nf = BalanceFactor(root);
    if(nf>1){
        int lf = BalanceFactor(root->left);
        if(lf > 0) { // LL
            cout << "LL" << endl;
            res = RightRotate(root);
        } else { // LR
            cout << "LR" << endl;
            root->left = LeftRotate(root->left);
            res = RightRotate(root);
        }
    }else if(nf <-1){
        int rf = BalanceFactor(root->right);
        if (rf < 0) { // RR
            cout << "RR" << endl;
            res = LeftRotate(root);
        } else { // RL
            cout << "RL" << endl;
            root->right = RightRotate(root->right);
            res = LeftRotate(root);
        }
    }else{
        cout << "Balance" << endl;
        // 保持平衡的情况
        // return res;
    }
    UpdateHeight(res);
    return res;
}

// 三个核心操作
Node* Insert(Node* node, int key){
    if(NULL == node) node = new Node(key,1);
    if (key < node->key) node->left = Insert(node->left, key);
    else if (key > node->key) node->right = Insert(node->right,key);
    node = Balance(node); // 平衡
    return node;
}

Node* Search(Node* node, int key){
    if(NULL == node) return NULL;
    if (key < node->key) return Search(node->left, key);
    else if (key > node->key) return Search(node->right, key);
    return node;
}

Node* Remove(Node* node, int key){
    if(NULL == node) return NULL;
    if (key < node->key) node->left = Remove(node->left, key);
    else if (key > node->key) node->right = Remove(node->right, key);
    else {
        if(NULL != node->right && NULL != node->left){// 有两个子树
            // 最小值删除
            Node* p = Minimum(node->right);
            node->key = p->key;
            node->right = Remove(node->right,p->key);
        } else {// 叶子节点或者只有一个子树
            Node* res = NULL;
            if(NULL != node->right) res = node->right;
            if(NULL != node->left) res = node->left;
            delete node;
            node = NULL;
            return res;
        }
    }
    node = Balance(node); // 平衡
    return node;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////
ostream& operator<<(ostream& os,const Node root) {
    queue<const Node*> q;
    q.push(&root);
    while(!q.empty()){
        const Node* curr = q.front();
        q.pop();
        if (NULL != curr){
            os << curr->key << '[' << curr->height <<']';
            q.push(curr->left);
            q.push(curr->right);
        } else {
            os << '#';
        }
    }
    return os;        
}
void TestInsert(Node*& root){
    root = Insert(root,1);
    root = Insert(root,2);
    root = Insert(root,3);
    root = Insert(root,4);
    root = Insert(root,5);
    cout << *root << endl;
}
void TestSearch(Node* root,int key){
    cout <<"Search " << key << ":" << Search(root,key) << endl;
}
void TestRemove(Node*& root,int key){
    root = Remove(root, key);
    cout <<"Remove " << key << ":" ;
    if(NULL != root) cout << *root << endl;
    else cout << "#" << endl;
}
void TestMax(Node* root){
    Node* maxNode = Maximum(root);
    cout << "Max:"<< maxNode->key <<":"<< maxNode <<endl;
}
void TestMin(Node* root){
    Node* minNode = Minimum(root);
    cout << "Min:"<< minNode->key <<":"<< minNode <<endl;
}

int main(){
    Node* root = NULL;
    TestInsert(root);
    TestSearch(root,1);
    TestSearch(root,2);
    TestSearch(root,3);
    TestSearch(root,4);
    TestSearch(root,5);
    TestSearch(root,6);
    TestSearch(root,7);
    TestSearch(root,8);
    TestMax(root);
    TestMin(root);

    // TestRemove(root, 8);
    // TestRemove(root, 7);
    // TestRemove(root, 6);
    TestRemove(root, 2);
    TestRemove(root, 5);
    TestRemove(root, 4);
    TestRemove(root, 3);
    TestRemove(root, 1);
    // TestRemove(root,1);
    // TestRemove(root,2);
    // TestRemove(root,3);
    // TestRemove(root,4);
    // TestRemove(root,5);
}

BST与AVL比较

最后编辑于：2021.07.27 15:38:51

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高级数据结构和算法4：BST(二叉搜索树)、AVL树(平衡二叉树)

1. 二叉查找树

1. 特点

2. 结构

3. 操作

3.1 插入

3.2 查找

3.3 删除

优缺点

参考代码

98. 验证二叉搜索树

700. 二叉搜索树中的搜索

701. 二叉搜索树中的插入操作

450. 删除二叉搜索树中的节点

2. AVL树(平衡二叉树)

特点

操作

旋转

四种不平衡

插入

删除

优点

缺点

参考代码

BST与AVL比较

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