十八世纪的偏微分方程（一）

引言

偏微分方程跟常微分方程一样，是数学家在研究物理问题时发明的，例如把位移看作以时间和距离为变量的函数，就得到了偏微分方程。科学家考察了弦乐在空气中的传播，又处理了号角、管风琴、铃、鼓等声音。用物理术语来说，空气是一种可压缩的流体（液体是不可压缩的流体），流体动力学研究流体的运动规律以及波在流体中的传播，也使用了偏微分方程。

18世纪数学家继续研究不同形状的物体产生万有引力的问题，虽然基本与三重积分有关，但拉普拉斯把它变为偏微分方程的问题。

波动方程

欧拉1734年提出过特殊的偏微分方程，但偏微分方程的价值首次体现在弦振动问题。1746年达朗贝尔（1717-1783）提议证明无穷种曲线的振动。上一章弦振动的弦被看作连接n个等间隔载荷的柔软弹性绳，为了处理连续弦，将载荷视作无穷个，大小和质量都减小，使总质量趋近弦质量，当时取极限存在数学上的问题，不过被大家忽略了。上章中约翰伯努利按离散载荷处理弦振动，得到了第i个载荷的位移。达朗贝尔引入时间t和距离x变量，用Δx代替了l/n，得到了一维波动方程 $\frac{\partial ^2y(t,x)}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial ^2y(t,x)}{\partial x^2}$ 。因为弦两端固定，弦上各点初始速度为0，有边界条件：y(t,0)=0,y(t,l)=0和初始条件：y(0,x)=f(x),t=0时δy(t,x)/δt=0。他首先证明y(t,x)=1/2Φ(at+x)+1/2ψ(at-x)即偏微分方程的解是(at+x)函数与(at-x)函数之和，代入边界、初始、周期性条件，最后得到y(t,x)=1/2Φ(at+x)-1/2Φ(at-x)。

看了达朗贝尔的论文后，欧拉沿用了他的方法研究弦振动，但他认为还可以有其他函数作为初始曲线/偏微分方程的解（比如随手乱画的曲线下方面积，现在认为是有间断导数的连续函数），曲线的定义就是Φ(x+2l)=Φ(x)，在每个2l区间内重复曲线到无穷远。1755年他给函数下了一个新定义：如果某些量依赖于其他量，当后者改变时它发生变化，则称前者为后者的函数。”取代了18世纪的标准看法：函数由单一的解析表达式给出。欧拉认为振动弦不管咋动都是关于时间的周期运动。

欧拉和达朗贝尔的分歧是：他允许一切种类的初始曲线，包括非分析解，而达朗贝尔只接受解析的初始曲线。欧拉引入不连续函数时意识到前面大有可为，写信给达朗贝尔称：考虑不服从连续性（解析性）法则的函数，开辟了一个新的领域。

丹尼尔伯努利（1700-1782）以另一种形式解答弦振动问题，引发了另一场关于可允许解的讨论。丹尼尔伯努利是约翰伯努利的儿子，在圣彼得堡当过数学教授，在巴塞尔教过医学、形而上学和自然哲学。他主攻流体动力学和弹性力学，1760年他还通过实验发现了静电荷的引力规律（即库仑定律）。上章提到丹尼尔研究声音振动模式，从物理上说明基因和高次谐音能同时存在（小谐振共存），他看了达朗贝尔和欧拉的论文后再次断言振动弦的各种模式能同时共存，说这就是欧拉和达朗贝尔抽象理论的实际内容，此外他认为任何初始曲线可表示为 $f(x)=\sum_{n=1}^ \propto a_{n}sin\frac{n\pi x}{l}$ ，即弦上质点的运动是正弦周期的和，但他未从数学上证明。

欧拉反驳说咋会呢，除非正弦级数能表示所有函数，咱这初始曲线不需要连续性，也不需要什么解析式。欧拉还说麦克劳林级数不能表示为任意函数，所以无穷正弦级数也不能表示为任意函数，伯努利说的三角级数是特解，这个他老早求过了。达朗贝尔不同意伯努利也不同意欧拉，他认为函数必须二次可微。仨人吵了十年没统一意见，因为问题实质是能用傅里叶级数表示的函数范围（傅里叶：再等下我马上出生了）。

1759年拉格朗日加入争论，他批评欧拉的方法，但赞同初始曲线是任意的，经过了一系列奇怪的步骤后他成功地错过了发现傅里叶级数，然后得到了跟欧拉、达朗贝尔一致的结论（就是说没啥意义）。欧拉和达朗贝尔批评拉格朗日的数学细节（那不然呢，你们结论不是一致的吗），不过欧拉还是鼓励了拉格朗日的技巧。1779年拉普拉斯加入争论，支持了达朗贝尔。因为大家的论据都不完全正确，所以没啥说服力。

在这个问题上最奇怪的一点是：当时这些人都知道非周期函数在一定周期内能表示成三角级数，克莱罗、欧拉、丹尼尔都发表过求三角级数系数的公式，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日离傅里叶级数就差临门一脚了，不知为啥很自然地绕开了正确答案。

当时还有个问题：对常微分来说如果系数解析，解也是解析的，但对偏微分方程，系数解析能有非解析解。虽然欧拉正确指出具有角点的解是允许的，但很久以后才确定偏微分方程的解可允许的奇性。