说明
数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如果让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。而时间、空间复杂度分析就是用来衡量算法代码的执行效率。
复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。
为什么需要复杂度分析？
事后统计法：
把代码跑一遍，通过统计、监控得到算法的执行时间和内存大小。
1.测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如，同样一段代码用i9和i3处理器来运行，i9速度肯定是快很多。
2.测试结果受数据规模的影响很大
对同一排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就有有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地发硬算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒比快速排序要快！
所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。那就是时间、空间复杂度分析方法。
大O复杂度表示法
算法的执行效率，粗略的讲，就是算法代码执行的时间。但是，如果在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？
这里有段非常简单的代码，求1,2,3...n的累加和。现在，估算一下这段代码的执行时间。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
从CPU的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？
第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间，第4、5行都运行了n遍，所以需要2n*unit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路，我们再来看这段代码。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。那这段代码的总执行时间T(n)是多少呢？
第2、3、4行代码，每行都需要1个unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了n遍，需要需要2n*unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了n^2遍，所以需要2n^2 *unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n)=(2n^2+2n+3)*unit_time。
尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式。
具体解释一下这个公式。其中，T(n)我们已经讲过了，它表示代码的执行时间；n表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用f(n)来表示。公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。
所以，第一个例子中的T(n)=O(2n+2)，第二个例子中的T(n)=O(2n^2+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
当n很大时，你可把它想象成10000,1000000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚讲的两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n)=O(n);T(n)=O(n^2)。
时间复杂度分析
前面介绍了大O时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下如何分析一段代码的时间复杂度？
1.只关注循环执行次数最多的一段代码
大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。通常我们会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
首先试着分析一段代码，然后往下看分析思路是否一样。
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
这段代码分为三个部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的代码循环了100次，这个一个常量的执行时间，跟n的规模无关。
第二段和第三段代码的时间复杂度是O(n)和O(n^2)
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n^2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)),O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))
3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
话不多说，上代码
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
类比可以发现规律：T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n))
几种常见时间复杂度实例分析
对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略的分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n)和O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫做NP问题。当数据规模越来越大时，非多项式量计算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无线增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1.O(1)
首先明确一个概念，O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1)，而不是O(3)。
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度都记做O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中农不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)。
2.O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见同时也是最难分析的一种时间复杂度。
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，只需要计算出这行代码被执行了多少次，就能知道争端代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2.当大于n时，循环结束。其实这就是一个等比数列，列出来就是这样。
所以，只要知道x值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过2^x =n求解，x=log2^n，所以时间复杂度就是O(log2 ^n)。
我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3^n就等于log3^2 * log2^n， 所以O(log3^n) =O(C*log2^n)，其中 C=log3^2 是一个常量。基于我们前面的理论：在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n))=O(f(n))。所以，O(log2^n) 就等于O(log3^n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)。
3.O(m+n)、O(m*n)
接下里这种时间复杂度由两个数据的规模来决定，上代码。
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候就不能简单的利用加法法则省略掉其中一个。所以，上面代码时间复杂度就是O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，但是乘法法则则继续有效。
空间复杂度分析
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
还是用例子来说明。
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第2行代码中，我们申请了一个空间存储变量i，但是它是常量阶的，跟数据规模n没有关系，所以我们可以忽略。第3行申请了一个大小为n的int类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。
我们常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n^2)，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。
内容总结
复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)。效率高低一般如图：
