普通最小二乘法推导

OLS(普通最小二乘估计)

简单回归模型的参数估计,对于具体的样本数据,假设满足:
y_i=\beta_0+\beta_1x_i+u_i
假设条件的数学表示
\begin{cases} E(u)=0................................................................(i)\\ Cov(x,u)=E(xu)-E(x)E(u)=E(xu)=0........(ii)\\ \end{cases}
对于残差项
u_i=y_i-\beta_0-\beta_1x_i
代入(i),(ii)
\begin{cases} E(y-\beta_0-\beta_1x)=0\\ E[x(y-\beta_0-\beta_1x)]=0\\ \end{cases}
选择估计量\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}解决上述方程的样本问题
\begin{cases} n^{-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x)=0\\ n^{-1}\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\beta_0-\beta_1x)=0\\ \end{cases}
上一式等价于\bar{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\bar{x},则\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x},代回上式,得:
\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-(\bar{y}-\hat{\beta_1\bar{x}})-\hat{\beta_1}x_i)=0
调整后,
\begin{cases} \sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\bar{y})=\hat{\beta_1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})\\ \sum_{i=1}^{n}x_i(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\ \sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\bar{y})=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \end{cases}
因此,只要有\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2>0,估计的斜率为
\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
由此,\beta_0也可以求

OLS回归线

使用估计的斜率参数和截距参数,构建残差的平方和,并使其尽量小 (最小二乘法的由来)

OLS回归线==(样本回归函数SRF)==
\bar{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\bar{x}

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