声子数<产生、湮灭算符>__Primer Example (on One dimensional Harmonic Oscillators)

声子数产生、湮灭算符（Creation and Annihilation Operators）的雏形，于 Paul Adrien Maurice Dirac 以及 Werner Karl Heisenberg 两人为代表的 “态矢空间+代数矩阵” 版本的量子力学中首次作为理论的一部分被提出，那时它们被称为 “升降算符（Ladder Operators）” ，比起其实际的物理意义，更多地作为一类数学工具为以计算方便为目的被使用着。

P.A.M Dirac & Heisenberg from https://www.physics.mcmaster.ca/phys3mm3/page3.html

下面是一些自我反思式的学习总结，针对其性质进行一些初阶描述，知识范围将限制在一次量子化阶段(oﾟvﾟ)ノ。

One dimensional Harmonic Oscillators——升降算符的引入

伊始时，升降算符作为一维量子谐振子 Schrödinger 方程的一种较为直观，解释性强的矩阵解法被广泛接受。

一维谐振子可以简述作 “质量为 $\mu$ 的粒子(经典量子力学范畴)+弹性力场的影响” 。这一量子系统的总能量算符 $\hat{\mathscr{H}} =\frac{\hat{p}^2}{2\mu}+\frac{1}{2}\mu \omega^2\hat{x}^2$ ，其中，能量本征值 $E_{n}$ 为要求的物理量， $|n\rangle$ 为能量表象的基矢(也即正交归一本征态)， $n=0$ 为基态，本征方程作为已知满足的条件给出 $\hat{\mathscr{H}}|n\rangle=E_{n}|n\rangle$ .

为简化计算，引入两个无量纲算符 $\begin{matrix}\hat{Q}=\sqrt{\frac{\mu\omega}{\hbar}}\hat{x}\\\hat{P}=\sqrt{\frac{1}{\mu\omega\hbar}}\hat{p}\end{matrix}$ ，

并定义升降算符 $\begin{matrix}\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}+i\hat{P})\\\hat{a}^ {\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}-i\hat{P})\end{matrix}$ ，有时它们还可以被记作 $\hat{a}_{+}$ 、 $\hat{a}_{-}$ 。

可以得到二者的对易关系 $[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]\equiv\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}= 1$ ，以及升降算符的时间导数 $\begin{matrix}\frac{d\hat{a}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{a},\hat{\mathscr{H}}]=-i\omega\hat{a}\\\frac{d\hat{a}^{\dagger}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{a}^{\dagger},\hat{\mathscr{H}}]=i\omega\hat{a}^{\dagger}\end{matrix}$ ,

此时 Hamilton 算符可以写作 $\hat{\mathscr{H}}=(a^\dagger a+\frac{1}{2})\hbar\omega$ ，同时也可由升降算符时间导数中的对易关系得到 Hamilton 算符本征值的另一表示形式 $\color{green}{\hat{\mathscr{H}}\sim E_{n}-\hbar\omega}$ ，如下图所示

Hamilton 算符的两类不同表示法的 Comparison——Made by optic_css. jianshu

通过两式的相似处可得升降算符组合的本质为 “整数”，又由于 $E_{n}$ 的正性，可得 $a^\dagger a \to positive\ integer$ ,

这一结论暗示出此算符的本征值取值为正整数域，正如粒子的数目一样，在二次量子化中， $a^\dagger a$ 充当声子数算符，下面我们即将通过其成分在一维谐振子的计算中产生的效果看出一些端倪，换句话说，我们会发现它们是如何发挥 “代表声子的产生与湮灭” 这一作用的。

Ladder Operator——产生湮灭算符——效果

由上述绿色式子可以得到，升降算符还满足 $\begin{matrix}\hat{\mathscr{H}}\hat{a}|n\rangle=(E_{n}-\frac{1}{2})\hbar\omega\hat{a}|n\rangle\\\hat{\mathscr{H}}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle=(E_{n}+\frac{1}{2})\hbar\omega\hat{a}^{\dagger}|n\rangle\end{matrix}$ ，这说明了两种算符对于能量本征态的作用结果分别是使得其本征值(或能级)升/降 $\hbar\omega$ ，我们可以用下面这幅图来加强对于这一概念的理解，其中 $\hat{a}_{+}$ 、 $\hat{a}_{-}$ 分别代表 $\hat{a}^{\dagger}$ 、 $\hat{a}$ ，如前所述，前者作用在于使 “标定能量的猫爪” 向上移一层，后者的作用则使得其下移一层(oﾟvﾟ)ノ

"Cat and ladder operators" from Griffith

因此，升降算符是说它们的存在会使得量子本征态 “升” 或 “降” 各一个声子数，物理直觉好的人更应看出，作为最小能量量子化单位的 $\hbar\omega$ 就是平时所说的 “光子”，二次量子化中，将以此为起点开始对于电磁场量子化的一系列讨论，“升” 就代表处于该能态的光子增加数量为 “1”，或说产生了一个光子，相应的，“降” 说明处于该能态的光子数减少 “1”，即湮灭。

根据一维谐振子的均匀能谱 $E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ 可以进一步求出声子产生、湮灭算符的本征值 $\begin{matrix}\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\\\hat{a}^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\end{matrix}$ ，从而得出两算符的矩阵元为

$\begin{matrix}\langle m|\hat{a}|n\rangle =\sqrt{n}\delta_{n-1,n}\\\langle m|\hat{a}^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1} \delta_{n+1,n}\end{matrix}$ ,

声子数产生算符的显式表示，示意如下，

$\hat{a}^{\dagger}=\begin{bmatrix}0&0&0&0&\cdots\\ \sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\ 0& \sqrt{2}&0&0&\cdots\\0&0& \sqrt{3}&0&\cdots\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\end{bmatrix}$ ，

More??

到此为止，可以凭借上述讨论对于 “产生，湮灭算符” 有一定的理解，然而上述讨论中存在的一丝缺憾：我们并没未考虑到 “基态” 的问题，由于能量的本征值是不能为负的，必然存在一个本征态在湮灭算符的作用下得到一个本征值为零的态，把它写作 $\hat{a}|0\rangle=0$ ，利用 Schrödinger 方程以及分部积分法，得到

$\psi _{0}=|0\rangle=(\frac{\mu\omega}{\pi\hbar})^{1/4}e^{-(\frac{\mu\omega}{2\hbar})x^2}$ ,

逐层迭代得正交归一波函数为：

$\psi _{n}=|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\hat{a}^{\dagger n}|0\rangle$ ,

下面通过盗图的方式来观察一下一维谐振子的概率辐 $|\psi _{n}|^2$ 在取得不同粒子数 $n$ 时的表现情况，

Harmonic oscillators' performance in different n

再插一张经典谐振子与量子谐振子之间关系的对照图，

Comparison of classical and quantum situation

综上所述，可知 $n$ 越大，量子谐振子的包络线与经典情形中的谐振子拟合得越好，这为证明上述 “产生湮灭算符方法” 过渡到经典情形的正确性提供了重要依据。