我们知道总体标准差（σ）是按照下面的公式来计算的：

但是在真实世界中，找到一个总体的标准差是不现实的。大多数情况下，我们都是通过计算样本标准差（s）来估计总体标准差（σ）的。但是s的计算公式是这样的：

分母为什么要（n-1）呢，而不是n？

维基百科给出的解释有点费解：

看过很多统计学的教程和问答，一个比较利于理解的通俗的解释是：__
分母为n的话算出来的s会低估总体标准差（σ）。__

下面用MATLAB编程来证明这一点。大体是，我们随机生成1000个整数作为总体，然后从这个总体里抽取100个数，作为1个sample，共抽取1000个sample。然后我们用两种方式计算一下这个sample的标准差，即分母为n-1或者n，然后我们数一下这两种计算方式得到的s低于总体标准差（σ）的个数，这
里我们统计1000次的结果，代码在最后面。结果如下图，果不其然，分母为n的时候会较多的低估总体标准差（1000个sample平均有550个低估了总体标准差），而分母为（n-1）的时候基本大差不差（1000个sample基本有一半低估，一半高估）。

代码如下,可直接copy运行：

%% 总体（1000个1-100之间的整数）,总体均值和总体标准差
population = [1:1000]
mean_population = mean(population);
sigma_population =sqrt(sum((population-mean_population).^2)/1000);

%% 统计1000次结果，每次1000个sample，看有多少次标准差低估总体标准差的
No_underestimate = [];
No_underestimate_real = [];
for m = 1:1000
    
    sigma_sample = [];
    real_sigma_sample = [];
    %随机取1000次sample
    for i = 1:1000

        %从population里随机选取100个数作为sample

        idx_sample = randi(1000,100,1);
        sample = population(idx_sample);

        
        %样本的均值和“标准差（分母不减一）”
        mean_sample = mean(sample);
        sigma_sample = [sigma_sample sqrt(sum((sample-mean_sample).^2)/length(sample))];

        %样本的标准差，分母减一
        real_sigma_sample = [real_sigma_sample sqrt(sum((sample-mean_sample).^2)/(length(sample)-1))];

    end
      %分母不减一求样本标准差时候低估总体标准差的个数
      No_underestimate =[No_underestimate length(sigma_sample(sigma_sample<= sigma_population))];
      %分母减一求样本标准差时候低估总体标准差的个数
      No_underestimate_real = [No_underestimate_real length(real_sigma_sample(real_sigma_sample<= sigma_population))];
end
%绘图
figure(1)
plot(No_underestimate)
title('分母不减一求样本标准差')
figure(2)
plot(No_underestimate_real)
title('实际求样本标准差（分母减一）')