《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量机，优化SMO

薄雾浓云愁永昼，瑞脑销金兽。

愁的很，上次不是更新了一篇关于支持向量机的文章嘛，《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量机，单手狂撕线性SVM。虽然效果还算不错，数据集基本都能够分类正确，模型训练效率的话也还说的过去，但这是基于我们训练样本数据集比较少、迭代次数比较少的前提下。

假如说我们数据集比较大，而且还需要迭代不少次数的话，上一篇文章中使用到的SMO算法的效率可就不敢恭维了，训练的速度可堪比龟龟。月黑风高夜，杀人放火天。不对不对，月黑风高夜，疯狂肝文时。既然一般的SMO算法的效率低下，那怎么说也得进一步优化才行呐。

就在前几天还听见收音机上说，国内外有许多如雷贯耳的大佬都在不断研究新算法来进一步提高SMO算法的训练效率。闻此一言，Taoye心中大喜："如果我能蹦跶出一个新的优化算法，哥哥我声名远扬的大好机会就来了啊，雄霸天下的抱负就指日可待了啊！哈哈哈哈！！！"想法虽好，可是该怎么优化呢？在这薄雾浓云、月黑风高之夜，Taoye的思绪漫天飞，愁的很。

<img>

有心栽花花不开，无心插柳柳成荫。

明明已经知道SMO算法待优化的地方太多了，可是就是不知如何下手，想了老半天，脑阔疼的厉害。此刻实验室空无一人，Taoye转着座椅，双目望向窗外，皎洁的月光总是给人无限遐想。

罢了罢了，与其木讷在这有心栽花花不开，倒不如出去转悠转悠，说不定能捕获个意想不到的收获，给我来了无心插柳柳成荫呢？说走咱就走哇（调调有点不对劲~~），关上空调，披件外套，锁上室门，双手插袋朝外走去。

或许是空调吹太久了，亦或实验室呆太久了，出来的瞬间一股神清气爽的感觉涌上心头，五音不全的我此时还真想高歌一曲。顷之，微凉，好在出门前披了件外套。活动活动筋骨，朝湖边走去。走着走着，不知不觉来到了步行桥，风平浪静的湖面，没有一丝波纹荡起。左转，低头看着湖面中胡子拉碴且憔悴的自己，此时我的眼角又再一次。。。┭┮﹏┭┮ 。。抬头看着湖边零星几对小情侣，或有说有笑、或呢喃窃语、或打情骂俏，滋滋滋，有点儿意思，只有我只身一人还在想着如何优化SMO算法。

等会儿。。。小情侣？？？优化SMO？？？

我记得在前面那篇文章中写到的SMO算法的核心思想里，正是不断迭代成双成对的 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ ，只不过那个时候的这对“小情侣”是随意配对，所以导致的排列组合的可能性太多，从而拉低了整个模型训练的效率。假如说，我那个时候选取这对“小情侣”的时候并不是无意的，而是有意识、有条件的去选取，不就可以避开大量没必要的可能性计算么，这样一来不就可以大大提高模型的训练效率了么？？？

握了一棵草，乖乖，我真是个天才，这都被我想到了？？？心头灵光一闪，犹如饥渴春笋听到的第一声惊雷，屁颠屁颠的朝实验室跑去，而一对对小情侣异样且诧异的眼神朝我看来。。。

上述内容部分虚构，仅做引出下文之用。

在这之前，我们先静下心来分析一下上篇文章中SMO的核心算法：

image

上图是我们在讲解手撕线性SVM中所写到的linear_smo方法，详细请看：《Machine Learning in Action》—— 剖析支持向量机，单手狂撕线性SVM。其中Taoye圈出了三个代码块来给大家介绍下：

第一个代码块，我们可以发现代码行为for i in range(m):，想必大家都知道这是一个循环语句，在这个方法中它具体表达的意思是根据样本数量一次选取索引 $i$ ，然后通过这个索引来确定 $\alpha_i$ 的选择，所以它最终会把所有的样本都“走一遍”。

第二个代码块，是根据 $i$ 的值重新在 $m$ 中选取一个不与 $i$ 相同的 $j$ ，然后根据这个 $j$ 来修改对应的 $\alpha_j$

第三个就是我们大量的矩阵、向量进行计算的代码块了，我们可以发现，无论前两个 $i、j$ 的选取是怎样的，第三个代码块都会去执行、计算，然而有些计算完全是没必要的，这样就大大拉跨了整个SMO算法的效率，这可不是我们想要的。

综上，我们需要在 $\alpha$ 的选取上做点文章，使其在一定的跳过第三个代码块的计算。

第一个 $\alpha_i$ 的选取

在上一篇文章中，我们也有提到，大多数样本对于决策面的确定都是无用的，只有少数部分的样本点才能确定具体的决策面。而 $\alpha$ 与样本之间满足如下关系：

$\left\{ \begin{array}{c} \alpha_i=0 \quad <=> \quad y_i(w^T+b)\geq1\\ \alpha_i=C \quad <=> \quad y_i(w^T+b)\leq1\\ 0\leq\alpha_i\leq C \quad <=> \quad y_i(w^T+b)=1\\ \end{array} \right.$

对于第一个 $\alpha_i$ 的选取，初始化的 $\alpha$ 向量为0，所以第一次迭代是对所有的样本点进行。待第一次迭代完成之后，此时的 $\alpha$ 向量已经更新完成了，在之后的迭代过程中，我们就不需要对所有的样本进行遍历了，而是选取在 $(0, C)$ 区间的 $\alpha_i$ 值即可，因为其他的 $\alpha$ 值对于最终决策面的确定没有什么影响。

对于第一个 $\alpha_i$ 的选取，核心代码思想如下所示，也就是我们的外层循环。其中data_struct是一个数据结构，其内部保存了一些公有地的属性，这个我们后面会讲：

"""
    Author：Taoye
    微信公众号：玩世不恭的Coder
    Explain：外层循环，选取第一个合适alpha
    Parameters：
        x_data: 样本属性特征矩阵
        y_label: 属性特征对应的标签
        C：惩罚参数
        toler：容错率
        max_iter：迭代次数
    Return:
        b: 决策面的参数b
        alphas：获取决策面参数w所需要的alphas
"""
def outer_smo(self, data_struct, x_data, y_label, C, toler, max_iter):
    iter_num, ergodic_flag, alpha_optimization_num = 0, True, 0
    while (iter_num < max_iter) and ((alpha_optimization_num > 0) or (ergodic_flag)):
        alpha_optimization_num = 0
        if ergodic_flag:
            for i in range(data_struct.m):
                alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
                print("遍历所有样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
            iter_num += 1
        else:
            no_zero_index = np.nonzero((data_struct.alphas.A > 0) * (data_struct.alphas.A < C))[0]
            for i in no_zero_index:
                alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
                print("非边界遍历样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
            iter_num += 1
        if ergodic_flag: ergodic_flag = False
        elif alpha_optimization_num == 0: ergodic_flag = True
        print("迭代次数：%d" % iter_num)
    return data_struct.b, data_struct.alphas

第二个 $\alpha_j$ 的选取

对于第二个 $\alpha_j$ ，我们不妨先分析一下前篇文章中SMO算法最终优化之后的 $\alpha_2^{new}$ ：

$\alpha_2^{new}=\frac{y_2(E_1-E_2)}{\eta}+\alpha_2^{old}$

我们可以发现 $\alpha_2$ 主要是靠更新迭代来进行优化，而 $\alpha_2^{old}$ 是已知的，我们没有选择的权利，但是 $\frac{y_2(E_1-E_2)}{\eta}$ 这一部分的值我们是可控的，也就是说我们要选择合适的 $\alpha_j$ 来使得后一部分的值尽可能的大，从而达到快速修改 $\alpha$ 向量的目的，才能更快速的实现训练饱和。

简单来说就是 $\alpha_2^{new}$ 的变化依赖于 $|E_1-E_2|$ ，当该绝对值越大， $\alpha_2$ 的变化也就越大。也就是说， $E_1$ 为正的时候，我们的要选择尽可能小的 $E_2$ ， $E_1$ 为负的时候，我们要选择尽可能大的 $E_2$ 。根据这个思想我们就能让这对“小情侣”完美的配对了，美滋滋~~

对于第一个 $\alpha_i$ 的选取，核心代码思想如下所示，也就是我们的内层循环的所需要选取 $\alpha_j$ 内容：

def select_appropriate_j(self, i, data_struct, E_i):
    max_k, max_delta_E, E_j = -1, 0, 0
    data_struct.E_cache[i] = [1, E_i]
    valid_E_cache_list = np.nonzero(data_struct.E_cache[:, 0].A)[0]
    if (len(valid_E_cache_list) > 1):
        for k in valid_E_cache_list:
            if k == i: continue
            E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)
            delta_E = abs(E_i - E_k)
            if (delta_E > max_delta_E): max_k, max_delta_E, E_j = k, delta_E, E_k
        return max_k, E_j
    else: 
        j = self.random_select_alpha_j(i, data_struct.m)
        E_j = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, j)
    return j, E_j

为了方便我们使用有关数据集和模型的一些公共资源，以及方便对它们进行操作，我们需要单独封装一个数据结构（当然了，不封装也没什么问题），该数据结构有关属性解释如下：

x_data：etablish_data随机生成数据集中的属性矩阵
y_label：etablish_data随机生成数据集中的标签
C：惩罚参数
toler：容错率
m：数据样本数
alphas：SMO算法所需要训练的 $\alpha$ 向量
b：SMO算法所需要训练的 $b$ 参数
E_cache：用于保存误差，第一列为有效标志位，第二列为样本索引对应的误差E

此外，为了提高代码的扩展性和灵活性，还单独抽离了一个方法update_E_k，主要用于更新data_struct对象中的E_cache属性：

def update_E_k(self, data_struct, k):
    E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)                                        #计算Ek
    data_struct.E_cache[k] = [1,E_k]

完整代码：

import numpy as np
import pylab as pl
from matplotlib import pyplot as plt

class DataStruct:
    def __init__(self, x_data, y_label, C, toler):
        self.x_data = x_data
        self.y_label = y_label
        self.C = C
        self.toler = toler
        self.m = x_data.shape[0]
        self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m, 1)))
        self.b = 0
        self.E_cache = np.mat(np.zeros((self.m, 2)))

class OptimizeLinearSVM:
    def __init__(self):
        pass

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 用于生成训练数据集
        Parameters:
            data_number: 样本数据数目
        Return:
            x_data: 数据样本的属性矩阵
            y_label: 样本属性所对应的标签
    """
    def etablish_data(self, data_number):
        np.random.seed(38)
        x_data = np.concatenate((np.add(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3]),       
                                 np.subtract(np.random.randn(data_number, 2), [3, 3])),
                                 axis = 0)      # random随机生成数据，+ -3达到不同类别数据分隔的目的 
        temp_data = np.zeros([data_number])
        temp_data.fill(-1)
        y_label = np.concatenate((temp_data, np.ones([data_number])), axis = 0)
        return x_data, y_label

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 随机选取alpha_j
        Parameters:
            alpha_i_index: 第一个alpha的索引
            alpha_number: alpha总数目
        Return:
            alpha_j_index: 第二个alpha的索引
    """
    def random_select_alpha_j(self, alpha_i_index, alpha_number):
        alpha_j_index = alpha_i_index
        while alpha_j_index == alpha_i_index:
            alpha_j_index = np.random.randint(0, alpha_number)
        return alpha_j_index

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 使得alpha_j在[L, R]区间之内
        Parameters:
            alpha_j: 原始alpha_j
            L: 左边界值
            R: 右边界值
        Return:
            L,R,alpha_j: 修改之后的alpha_j
    """
    def modify_alpha(self, alpha_j, L, R):
        if alpha_j < L: return L
        if alpha_j > R: return R
        return alpha_j

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 计算误差并返回
    """
    def calc_E(self, alphas, y_label, x_data, b, i):
        f_x_i = float(np.dot(np.multiply(alphas, y_label).T, x_data * x_data[i, :].T)) + b
        return f_x_i - float(y_label[i])

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 计算eta并返回
    """
    def calc_eta(self, x_data, i, j):
        eta = 2.0 * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
                - x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
                - x_data[j, :] * x_data[j,:].T
        return eta

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 计算b1, b2并返回
    """
    def calc_b(self, b, x_data, y_label, alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j):
        b1 = b - E_i \
             - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[i, :].T \
             - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T
        b2 = b - E_j \
             - y_label[i] * (alphas[i] - alpha_i_old) * x_data[i, :] * x_data[j, :].T \
             - y_label[j] * (alphas[j] - alpha_j_old) * x_data[j, :] * x_data[j, :].T
        return b1, b2

    def select_appropriate_j(self, i, data_struct, E_i):
        max_k, max_delta_E, E_j = -1, 0, 0
        data_struct.E_cache[i] = [1, E_i]
        valid_E_cache_list = np.nonzero(data_struct.E_cache[:, 0].A)[0]
        if (len(valid_E_cache_list) > 1):
            for k in valid_E_cache_list:
                if k == i: continue
                E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)
                delta_E = abs(E_i - E_k)
                if (delta_E > max_delta_E): max_k, max_delta_E, E_j = k, delta_E, E_k
            return max_k, E_j
        else: 
            j = self.random_select_alpha_j(i, data_struct.m)
            E_j = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, j)
        return j, E_j

    def update_E_k(self, data_struct, k):
        E_k = self.calc_E(data_struct.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, k)                                        #计算Ek
        data_struct.E_cache[k] = [1,E_k]
    
    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: smo内层
    """
    def inner_smo(self, i, data_strcut):
        E_i = self.calc_E(data_strcut.alphas, data_struct.y_label, data_struct.x_data, data_struct.b, i)      # 调用calc_E方法计算样本i的误差
        if ((data_struct.y_label[i] * E_i < -data_struct.toler) and (data_struct.alphas[i] < data_struct.C)) or ((data_struct.y_label[i] * E_i > data_struct.toler) and (data_struct.alphas[i] > 0)):
            j, E_j = self.select_appropriate_j(i, data_strcut, E_i)              # 选取一个恰当的j
            alpha_i_old, alpha_j_old = data_struct.alphas[i].copy(), data_struct.alphas[j].copy()
            if (data_struct.y_label[i] != data_struct.y_label[j]):               # 确保alphas在[L, R]区间内
                L, R = max(0, data_struct.alphas[j] - data_struct.alphas[i]), min(data_struct.C, data_struct.C + data_struct.alphas[j] - data_struct.alphas[i])
            else:
                L, R = max(0, data_struct.alphas[j] + data_struct.alphas[i] - data_struct.C), min(data_struct.C, data_struct.alphas[j] + data_struct.alphas[i])
            if L == R: print("L==R"); return 0          # L==R时选取下一个样本
            eta = self.calc_eta(data_struct.x_data, i, j)                  # 计算eta值
            if eta >= 0: print("eta>=0"); return 0
            data_struct.alphas[j] -= data_struct.y_label[j] * (E_i - E_j) / eta
            data_struct.alphas[j] = self.modify_alpha(data_struct.alphas[j], L, R)     # 修改alpha[j]
            self.update_E_k(data_strcut, j)
            if (abs(data_strcut.alphas[j] - alpha_j_old) < 0.000001): print("alpha_j修改太小了"); return 0
            data_struct.alphas[i] += data_strcut.y_label[j] * data_strcut.y_label[i] * (alpha_j_old - data_strcut.alphas[j])
            self.update_E_k(data_strcut, i)
            b1, b2= self.calc_b(data_struct.b, data_struct.x_data, data_struct.y_label, data_struct.alphas, alpha_i_old, alpha_j_old, E_i, E_j, i, j)    # 计算b值
            if (0 < data_struct.alphas[i]) and (data_struct.C > data_struct.alphas[i]): data_struct.b = b1
            elif (0 < data_struct.alphas[j]) and (data_struct.C > data_struct.alphas[j]): data_struct.b = b2
            else: data_struct.b = (b1 + b2)/2.0
            return 1
        else: return 0

    """
        Author：Taoye
        微信公众号：玩世不恭的Coder
        Explain：外层循环，选取第一个合适alpha
        Parameters：
            x_data: 样本属性特征矩阵
            y_label: 属性特征对应的标签
            C：惩罚参数
            toler：容错率
            max_iter：迭代次数
        Return:
            b: 决策面的参数b
            alphas：获取决策面参数w所需要的alphas
    """
    def outer_smo(self, data_struct, x_data, y_label, C, toler, max_iter):
        iter_num, ergodic_flag, alpha_optimization_num = 0, True, 0
        while (iter_num < max_iter) and ((alpha_optimization_num > 0) or (ergodic_flag)):
            alpha_optimization_num = 0
            if ergodic_flag:
                for i in range(data_struct.m):
                    alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
                    print("遍历所有样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
                iter_num += 1
            else:
                no_zero_index = np.nonzero((data_struct.alphas.A > 0) * (data_struct.alphas.A < C))[0]
                for i in no_zero_index:
                    alpha_optimization_num += self.inner_smo(i, data_struct)
                    print("非边界遍历样本数据：第%d次迭代，样本为：%d，alpha优化的次数：%d" % (iter_num, i, alpha_optimization_num))
                iter_num += 1
            if ergodic_flag: ergodic_flag = False
            elif alpha_optimization_num == 0: ergodic_flag = True
            print("迭代次数：%d" % iter_num)
        return data_struct.b, data_struct.alphas

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 根据公式计算出w权值向量
        Parameters:
            x_data: 样本属性特征矩阵
            y_label: 属性特征对应的标签
            alphas：linear_smo方法所返回的alphas向量
        Return:
            w: 决策面的参数w
    """
    def calc_w(self, x_data, y_label, alphas):
        x_data, y_label, alphas = np.array(x_data), np.array(y_label), np.array(alphas)
        return np.dot((np.tile(y_label.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * x_data).T, alphas).tolist()

    """
        Author: Taoye
        微信公众号: 玩世不恭的Coder
        Explain: 绘制出分类结果
        Parameters:
            x_data: 样本属性特征矩阵
            y_label: 属性特征对应的标签
            w：决策面的w参数
            b：决策面的参数b
    """
    def plot_result(self, x_data, y_label, w, b):
        data_number, _ = x_data.shape; middle = int(data_number / 2)
        plt.scatter(x_data[:, 0], x_data[:, 1], c = y_label, cmap = pl.cm.Paired)
        x1, x2 = np.max(x_data), np.min(x_data)
        w1, w2 = w[0][0], w[1][0]
        y1, y2 = (-b - w1 * x1) / w2, (-b - w1 * x2) / w2
        plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1), float(y2)])    # 绘制决策面
        for index, alpha in enumerate(alphas):
            if alpha > 0:
                b_temp = - w1 * x_data[index][0] - w2 * x_data[index][1]
                y1_temp, y2_temp = (-b_temp - w1 * x1) / w2, (-b_temp - w1 * x2) / w2
                plt.plot([float(x1), float(x2)], [float(y1_temp), float(y2_temp)], "k--")    # 绘制支持向量
                plt.scatter(x_data[index][0], x_data[index][1], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=2, edgecolor='red')   # 圈出支持向量
        plt.show()

if __name__ == '__main__':
    optimize_linear_svm = OptimizeLinearSVM()
    x_data, y_label = optimize_linear_svm.etablish_data(50)
    data_struct = DataStruct(np.mat(x_data), np.mat(y_label).T, 0.8, 0.00001)
    b, alphas = optimize_linear_svm.outer_smo(data_struct, x_data, y_label, data_struct.C, data_struct.toler, 10)
    w = optimize_linear_svm.calc_w(x_data, y_label, alphas)
    optimize_linear_svm.plot_result(x_data, y_label, w, b)

优化后的分类结果：

image

这期的内容没那么多，主要是优化了一下上期内容中的SMO算法，从而在一定程度上提高模型的训练效率，由于是手动实现该线性SVM算法，所以模型可能达不到那些框架内置的性能，有兴趣的读者可自行慢慢优化。

关于线性SVM应该就暂时写到这里了，后期的话应该会更新非线性相关的内容。

我是Taoye，爱专研，爱分享，热衷于各种技术，学习之余喜欢下象棋、听音乐、聊动漫，希望借此一亩三分地记录自己的成长过程以及生活点滴，也希望能结实更多志同道合的圈内朋友，更多内容欢迎来访微信公主号：玩世不恭的Coder

参考资料：

<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[1] 《机器学习实战》：Peter Harrington 人民邮电出版社</font>
<font style="font-size:13px;opacity:0.7">[2] 《统计学习方法》：李航第二版清华大学出版社</font>

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