我们先来观察一组勾股数：
a、b、c
3、4、5
5、12、13
7、24、25
9、40、41
11、60、61
13、84、85
15、110、111
可以找到什么样的规律呢？
先看第一列数a，我们会发现，全部都是奇数（3、5、7、9、11、13、15），而且还全是连续的奇数，全是以+2、+2、+2的方式往下推进，那么我们假设n为自然数（n≠0），那么第一列数a就可以表示为2n+1（任意偶数+1都为奇数）。再来看第二列数b和第三列数c，发现b全为偶数，c全为奇数，并且c=b+1。之后我们再一组一组地观察，勾股定理就不用再次重申了，但是我们会发现a²=b+c。依靠以上我们整理出的几点，我们可以推算出一个公式，利用这个公式我们可以快速找出与a相匹配的勾股数。
∵a²=b+c，c=b+1
∴a²=b+b+1，即a²=2b+1
那我们如何用这个公式快速找到与之匹配的勾股数呢？
我们以17为例，当a=17时，等式加载为17²=2b+1
17²=2b+1
289=2b+1
288=2b
b =144
∴c=144+1=145
最后验证一下
17²=289
144²=20736
145²=21025
21025-20736=289
∴验证成功！
于是这个公式似乎成为了一个寻找勾股数组的快捷方式，可以说是一个勾股数软件中的快捷键。
可是，为什么会有这样的规律呢？这个规律可靠吗？我们还要继续探索。再观察这些勾股数，我又发现了一个规律：
勾股数3、4、5有3²=9=4+5，而4=2*1*（1+1）
勾股数5、12、13有5²=25=12+13，而12=2*2*（2+1）
勾股数7、24、25有7²=49=24+25，而24=2*3*（3+1）
勾股数9、40、41有9²=81=40+41，而40=2*4*（4+1）
……
接下来我们再观察一组勾股数：
6、8、10
8、15、17
10、24、26
12、35、37
14、48、50
16、63、65
18、80、82
第一列数a全是偶数，且还全是连续的偶数，全是以+2、+2、+2的方式往下推进，用n来表示，即为2n（n≥3）。再看后面两列，发现相同一行后两数都只相差2，所以可以推导出c=b+2，并且通过一组一组地观察，我们发现a²=2(b+c)，那么接下来我们开始去往结果星球的航道上：
∵a²=2（b+c），c=b+2
∴a²=2（b+b+2），即a²=2（2b+2）
再∴a²=4b+4
那么我们再次来验证一下推导出的快捷公式：
∵a²=4b+4
∴当a=32时，等式为32²=4b+4
32²=4b+4
1024=4b+4
1020=4b
b=255
∴c=255+2=257
验证一下：
32²=1024
255²=65025
257²=66049
66049-65025=1024
我们似乎又找到了一个a为大于等于6的偶数时，找到其匹配勾股数的快捷方式：当a=2n（n≥3），a²=4b+4，c=b+2时，a、b、c是一组一组勾股数。可是，为什么会有这样的规律呢？
让我们继续观察数字：
勾股数6、8、10有6²=36=2*（8+10），而8=3²-1，10=3²+1
勾股数8、15、17有8²=64=2*（15+17），而15=4²-1，17=4²+1
勾股数10、24、26有10²=100=2*（24+26），而24=5²-1，26=5²+1
……
当然，也并不是所有的勾股数都包含其中，也有一些特例，如下：
12、16、20
15、20、25
18、24、30
21、28、35
……
这一些的规律和之前的不同，这一些的规律是a=3n、b=4n、c=5n为一组勾股数（n≥1）。
还有一些，如下：
20、21、29
20、99、101
48、55、73
60、91、109
虽然大部分勾股数我们都可以用以上的3种规律寻找到，但有一些特例我们依然只能用a²+b²=c²来验证是不是勾股数组。
