假设你是电信的实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计，村庄位置大致如下图，其中v0～v8是村庄，之间连线的数字表示村与村间的可通达的直线距离，比如v0至v1就是10公里（个别如v0与v6，v6与v8，v5与v7未测算距离是因为有高山或湖泊，不予考虑）。你们领导要求你必须用最小的成本完成这次任务。你说怎么办？
显然这是一个带权值的图，即网结构。所谓的最小成本，就是n个顶点，用n-1条边把一个连通图连接起来，并且使得权值的和最小。在这个例子里，每多一公里就多一份成本，所以只要让线路连线的公里数最少，就是最少成本了。
我们在讲图的定义和术语时，曾经提到过，一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆（Prim）算法
为了能讲明白这个算法，我们先构造下图的邻接矩阵，如下图的右图所示。
也就是说，现在我们已经有了一个存储结构为MGragh的G。G有9个顶点，它的arc二维数组如图7-6-3的右图所示。数组中的我们用65535来代表∞。
于是普里姆（Prim）算法代码如下，左侧数字为行号。其中INFINITY为权值极大值，不妨是65535，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree_Prim函数，输入上述的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。
/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
int min, i, j, k;
/* 保存相关顶点下标 */
int adjvex[MAXVEX];
/* 保存相关顶点间边的权值 */
int lowcost[MAXVEX];
/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
/* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
lowcost[0] = 0;
/* 初始化第一个顶点下标为0 */
adjvex[0] = 0;
/* 循环除下标为0外的全部顶点 */
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
{
/* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
lowcost[i] = G.arc[0][i];
/* 初始化都为v0的下标 */
adjvex[i] = 0;
}
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
{
/* 初始化最小权值为∞， */
/* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
min = INFINITY;
j = 1; k = 0;
/* 循环全部顶点 */
while (j < G.numVertexes)
{
/* 如果权值不为0且权值小于min */
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
{
/* 则让当前权值成为最小值 */
min = lowcost[j];
/* 将当前最小值的下标存入k */
k = j;
}
j++;
}
/* 打印当前顶点边中权值最小边 */
printf("(%d,%d)", adjvex[k], k);
/* 将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务 */
lowcost[k] = 0;
/* 循环所有顶点 */
for (j = 1; j < G.numVertexes; j++)
{
/* 若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
{
/* 将较小权值存入lowcost */
lowcost[j] = G.arc[k][j];
/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
adjvex[j] = k;
}
}
}
}
- 程序开始运行，我们由第4～5行，创建了两个一维数组lowcost和adjvex，长度都为顶点个数9。
- 第6～7行我们分别给这两个数组的第一个下标位赋值为0，adjvex[0]=0其实意思就是我们现在从顶点v0开始（事实上，最小生成树从哪个顶点开始计算都无所谓，我们假定从v0开始），lowcost[0]=0就表示v0已经被纳入到最小生成树中，之后凡是lowcost数组中的值被设置为0就是表示此下标的顶点被纳入最小生成树。
- 第8～12行表示我们读取图7-6-3的右图邻接矩阵的第一行数据。将数值赋值给lowcost数组，所以此时lowcost数组值为{0,10,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}，而adjvex则全部为0。此时，我们已经完成了整个初始化的工作，准备开始生成。
- 第13～36行，整个循环过程就是构造最小生成树的过程。
- 第15～16行，将min设置为了一个极大值65535，它的目的是为了之后找到一定范围内的最小权值。j是用来做顶点下标循环的变量，k是用来存储最小权值的顶点下标。
- 第17～25行，循环中不断修改min为当前lowcost数组中最小值，并用k保留此最小值的顶点下标。经过循环后，min=10，k=1。注意19行if判断的lowcost[j]!=0表示已经是生成树的顶点不参与最小权值的查找。
- 第26行，因k=1，adjvex[1]=0，所以打印结果为(0,1)，表示v0至v1边为最小生成树的第一条边。如下图所示。
第27行，此时因k=1我们将lowcost[k]=0就是说顶点v1纳入到最小生成树中。此时lowcost数组值为{0,0,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}。
第28～35行，j循环由1至8，因k=1，查找邻接矩阵的第v1行的各个权值，与low-cost的对应值比较，若更小则修改low-cost值，并将k值存入adjvex数组中。因第v1行有18、16、12均比65535小，所以最终lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,65535,11,16,65535,12}。adjvex数组的值为：{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。这里第30行if判断的lowcost[j]!=0也说明v0和v1已经是生成树的顶点不参与最小权值的比对了。
-
再次循环，由第15行到第26行，此时min=11，k=5，adjvex[5]=0。因此打印结构为(0,5)。表示v0至v5边为最小生成树的第二条边，如下图所示。
image-20200510201940021 -
接下来执行到36行，lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12}。ad-jvex数组的值为：{0,0,1,0,5,0,1,0,1}。12．之后，相信大家也都会自己去模拟了。通过不断的转换，构造的过程如下图中图1～图6所示。
image-20200510202041522
有了这样的讲解，再来介绍普里姆（Prim）算法的实现定义可能就容易理解一些。
假设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始。重复执行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树。
由算法代码中的循环嵌套可得知此算法的时间复杂度为O(n2)。
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
普里姆（Prim）算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。这就像是我们如果去参观某个展会，例如世博会，你从一个入口进去，然后找你所在位置周边的场馆中你最感兴趣的场馆观光，看完后再用同样的办法看下一个。可我们为什么不事先计划好，进园后直接到你最想去的场馆观看呢？事实上，去世博园的观众，绝大多数都是这样做的。
同样的思路，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：
/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
} Edge;
我们将下图的邻接矩阵通过程序转化为下图的右图的边集数组，并且对它们按权值从小到大排序。
于是克鲁斯卡尔（Kruskal）算法代码如下，左侧数字为行号。其中MAXEDGE为边数量的极大值，此处大于等于15即可，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree_Kruskal函数，输入下图右图的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。
/* Kruskal算法生成最小生成树 */
/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i, n, m;
/* 定义边集数组 */
Edge edges[MAXEDGE];
/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
int parent[MAXVEX];
/* 此处省略将邻接矩阵G转化为边集数组edges
并按权由小到大排序的代码 */
for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
/* 初始化数组值为0 */
parent[i] = 0;
/* 循环每一条边 */
for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
{
n = Find(parent, edges[i].begin);
m = Find(parent, edges[i].end);
/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路 */
if (n != m)
{
/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中 */
/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
parent[n] = m;
printf("(%d, %d) %d ", edges[i].begin,
edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
}
/* 查找连线顶点的尾部下标 */
int Find(int *parent, int f)
{
while (parent[f] > 0)
f = parent[f];
return f;
}
1．程序开始运行，第5行之后，我们省略掉颇占篇幅但却很容易实现的将邻接矩阵转换为边集数组，并按权值从小到大排序的代码，也就是说，在第5行开始，我们已经有了结构为edge，数据内容是下图的右图的一维数组edges。
2．第5～7行，我们声明一个数组parent，并将它的值都初始化为0，它的作用我们后面慢慢说。
3．第8～17行，我们开始对边集数组做循环遍历，开始时，i=0。
4．第10行，我们调用了第19～25行的函数Find，传入的参数是数组parent和当前权值最小边(v4,v7)的begin:4。因为parent中全都是0所以传出值使得n=4。
5．第11行，同样作法，传入(v4,v7)的end:7。传出值使得m=7。
6．第12～16行，很显然n与m不相等，因此parent[4]=7。此时parent数组值为{0,0,0,0,7,0,0,0,0}，并且打印得到“(4,7)7”。此时我们已经将边(v4,v7)纳入到最小生成树中，如下图所示。
7．循环返回，执行10～16行，此时i=1，edge[1]得到边(v2,v8)，n=2，m=8，par-ent[2]=8，打印结果为“(2,8)8”，此时parent数组值为{0,0,8,0,7,0,0,0,0}，这也就表示边(v4,v7)和边(v2,v8)已经纳入到最小生成树，如下图所示。
8．再次执行10～16行，此时i=2，edge[2]得到边(v0,v1)，n=0，m=1，parent[0]=1，打印结果为“(0,1)10”，此时parent数组值为{1,0,8,0,7,0,0,0,0}，此时边(v4,v7)、(v2,v8)和(v0,v1)已经纳入到最小生成树，如下图所示。
9．当i=3、4、5、6时，分别将边(v0,v5)、(v1,v8)、(v3,v7)、(v1,v6)纳入到最小生成树中，如下图所示。此时parent数组值为{1,5,8,7,7,8,0,0,6}，怎么去解读这个数组现在这些数字的意义呢？
从下图的右下方的图i=6的粗线连线可以得到，我们其实是有两个连通的边集合A与B中纳入到最小生成树中的，如下图所示。当parent[0]=1，表示v0和v1已经在生成树的边集合A中。此时将parent[0]=1的1改为下标，由par-ent[1]=5，表示v1和v5在边集合A中，par-ent[5]=8表示v5与v8在边集合A中，par-ent[8]=6表示v8与v6在边集合A中，par-ent[6]=0表示集合A暂时到头，此时边集合A有v0、v1、v5、v8、v6。我们查看parent中没有查看的值，parent[2]=8表示v2与v8在一个集合中，因此v2也在边集合A中。再由parent[3]=7、par-ent[4]=7和parent[7]=0可知v3、v4、v7在另一个边集合B中。
10．当i=7时，第10行，调用Find函数，会传入参数edges[7].begin=5。此时第21行，parent[5]=8>0，所以f=8，再循环得par-ent[8]=6。因parent[6]=0所以Find返回后第10行得到n=6。而此时第11行，传入参数edges[7].end=6得到m=6。此时n=m，不再打印，继续下一循环。这就告诉我们，因为边(v5,v6)使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如上图所示。
11．当i=8时，与上面相同，由于边(v1,v2)使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如上图所示。
12．当i=9时，边(v6,v7)，第10行得到n=6，第11行得到m=7，因此parent[6]=7，打印“(6,7)19”。此时parent数组值为{1,5,8,7,7,8,7,0,6}，如下图所示。
13．此后边的循环均造成环路，最终最小生成树即为下图所示。
好了，我们来把克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的实现定义归纳一下结束这一节的讲解。
假设N=(V,{E})是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V,{}}，图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，而外面有一个for循环e次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。
对比两个算法，克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。
