转载翻译自https://www.divye.in/2012/07/how-do-you-determine-if-number-n-is.html
作者：Divye
就在昨天，我决定在欧拉计划上解决一些问题.我已经很久没去过这个网站了，但是我很高兴因为我很快解决了Problem 19和Problem 43，可是Problem 44让我暂时停了下来。这个问题是用五边形数来描述的，在研究它的过程中，我得到了一个有趣的结论来和大家分享，关于“怎么有效判断一个数是一个五边形数？”
回顾一下，五边形数是一个可以用公式表示的数 N，其中n一个自然数。当去测试N是不是五边形数时，我们需要做的就是处理这个等式：
这是一个很简单的二次方程，当n是自然数也容易验证N是不是五边形数。当N是很小时，人很容易去计算验证，但是编程语言并不擅长处理二次方程，所以我们需要对二次方做一些预处理。
简化上述方程，我们得到：
它的根是：
让我们分析第一个根：
现在，由于n是一个自然数，1+sqrt(1+24N)应该被6整除。使用更多的数学符号可表示为，
（注：这里我使用的是数学符号mod，而不是CS中的mod。末尾的mod 6作用于方程的两侧)
简单的分析表明，
只要检查上述情况就足以确定数字 N 是否是的非广义的五边形数。但是我们能做得更好吗？
众所周知，模算术有下列性质：
or,
or,
or,
无论 N 为何值，上述性质始终正确。因此，如果一个数字是五边形数，唯一的限制就是1+24 N必须是一个完全平方数。但是，我们已经使用了方程两边平方来把映射到
- 此映射不是 1对1的，因为一个完全平方数可能在 mod 6 空间中有多个根（事实上，
有两个不同的根
和
）。这意味着这个条件实际上是必要不充分的。
1 + 24 N 是一个完全平方数但，上述二次方程是正确的，但它们不是"normal"的五边形数。快速浏览一下就会发现，当二次方程的根代入公式（
应该指的是 ?）时，有
(注意 - 号)的数将始终产生
的值，从而保证 n 的整体值（虽然符号为负）。
换句话说，如果 1+24 N 是一个完全平方数，要么
or
因此，只要1+24 N是一个完全平方数，我们总会得到一个n（不一定有效）。
因此，在所有情况下，一个数字是否是广义的五边形数的充分必要条件是 1+24 N 是一个完全平方数。如果你想检验一个数字是不是非广义的五边形数，还应该代入检验.QED.
注：这篇文章的前一个版本声称，更简单的测试是必要的，足以为非广义的五边形数。分析存在缺陷，帖子已更新，表明更简单的测试仅适用于广义的五边形数。非常感谢戴夫 · 埃文斯通过电子邮件提供了详情。
