计算机中的计算

我们都知道计算机由软件和硬件组成。而真正参与运算的核心硬件是处理器，即CPU。简单来说，CPU实际上就是一堆复杂的逻辑电路组成。那什么是逻辑，什么又是电路，什么又是逻辑电路呢？

逻辑电路

逻辑一词来自于古希腊，有一门专门研究逻辑的学科称为逻辑学。在这里，我们对逻辑可以简单理解为数学上的逻辑，即表示当一定的条件成立时，某个命题的真与假。在逻辑运算中，最基本的3种运算是与、或、非。大家在高中数学中已经学过了所谓的或且非真值表，且也就是我们所谓的与运算。

逻辑电路

那电路呢？通常电子部件组成的导电回路，称为电路。而在数字电路中，只取0和1，0代表低电平，1代表高电平。数字的1和0对应了逻辑上的真与假，因此这种电路叫做逻辑电路。

大的电路也都是由小的电路模块组成，因此在CPU中需要设计很多基础的逻辑电路，例如比较器、加法器、编码器等等

比较器

比较器的输入是A、B的两个32位的二进制数，粗箭头表示多根线，细线代表一根线，每根线的电平为高或者低，代表1或0。A和B各代表32根线，每一根线代表1位。输出则有3根线，如果A>B，则第1根线呈高电平，其余两根线呈低电平，如果A＝B，则第2根线呈高电平，其余两根线呈低电平，如果A<B，则第3根线呈高电平，其余两根线呈低电平

编程中的if、else语句就会用到比较器：

比较强

加法器

加法器是数字电路中最重要的模块，它是所有运算的基础。实际上加、减、乘、除四则运算都可以使用加法器实现。在数学中，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。例如加法是a+b，则减法可写为a+(-b)，乘法是a*b，则除法为a*(1/b)，另外，a*b又可解释为有b个a相加，a+a+a+...，因此仅使用一个加法器就可以构建出加、减、乘、除四种运算，而这样做可以降低CPU设计的复杂度。

编码器

当我们在键盘上敲一个键时，计算机怎么知道我们敲的是哪个键呢？

实际上是因为每个键都连到一个编码器上，假如按了数字3这个键，相应的连线变成高电平，编码器就输出这个键的编码。如果有16个按键，那么输出可以用4根线表示，按键0用0000表示，按键1用0001表示……计算机只需根据编码器输出的编码就知道了我们按的是什么键，从而进行相应的处理。

解码器

有了编码器，那自然会有解码器，不然怎么知道每个编码代表什么意思呢？解码器将每个编码解析之后输出到显示屏上面显示出来。

二进制的运算：

二进制表

加法

为了简单，现在假设我们只有一个4位的加法器，则5 + 3的运算如下

将十进制数转为二进制

将各个位上的数字相加，满二进位

加法运算’

再来算一下8 + 9的结果

做加法

可以看到，由于我们只有四位，溢出的部分将被丢弃，黄色数字被丢弃，因此使用四位加法器计算8 + 9的结果是1

减法

有了加法，还需要算减法，那我们如何才能使用加法器来计算减法呢？要解决这个问题，首先要引入补数的概念。

在日常生活中，时钟的时针转一圈为12小时，假如现在时钟的时针指示到六点，想要它指向三点，我们可以按顺时针方向将它拨九格，也可以逆时针方向转三格，结果是一致的。如果我们规定顺时针方向为正，逆时针方向为负，那么-3和9的效果是等价的，这时候就可以说-3和9是以12为模的补数。

补数的一些概念：

一个正数和一个负数互为补数时，两数的绝对值之和称为模

一个负数可用它的正补数来代替，而这个正补数可以用模加上负数本身来得到

正数的补数为其自身

我们知道4位二进制最多只能表示16个数字，这就像时钟上一圈只能表示12个小时一样，因此直观的就能感知到4位二进制中互为补数的模一定是16。

有了补数的概念，就可以将一个负数转换为它的正补数，例如要计算8 - 3可以写成8 + (-3)，将-3转为它的补数13，那么最后只需要计算8 + 13的值就可以计算出8 - 3的值，如果大家不信，我们就来算一算

加法运算

将8和13的二进制相加，结果为10101，因为我们是四位处理器，结果溢出，必须丢弃最高位的数字，最终结果为0101，它的十进制结果正好是5，怎么样，神奇吗？

引入负数

补数实际上是一种处理带符号数的方法，用于变换数字的符号。这在计算机中被称为补码。我们之前算补数，需要借助模，实际上在计算机中，求补码有一套简单的办法，口诀就是取反加一

例如求13的二进制补码，那么就先将它的二进制取反，即对1101的每一位取反，我们前面说过，1表示真，0表示假，取反就是逻辑非运算，对1取反自然就变成0了，所以取反后的二进制为0010，然后对取反后的结果加上1，最终结果就是0011，它的十进制就是3，正好与13互为补数。

计算机二进制补码求法你学会了吗？

咱们之前计算的都是正数的加减运算，有同学肯定会疑问了，那如果引入负数会如何呢？

首先要明确一点，如果想表示负数，那肯定需要有一位来表示符号，因此4位二进制中，就只剩下三位有效位了，表示的正整数范围肯定会变小了。假设我们让4位二进制的最高位表示符号位，0表示正数，1表示负数，那么正数的范围只能是1~7，负数的范围是-8~-1

进位

在计算机中，负数的二进制使用它的补码表示，而补码的求法就是取反加一。例如-1的补码就是1的二进制取反加一，当有符号位时，符号位是不参与取反的，因此就是001取反加一得111

好了，学了这么多概念，赶紧来计算一下4 - 6的结果吧

加法计算