1.什么是命题
什么是命题
数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是命题。因而命题是推理的基本单位
具有确切真值的陈述句称为命题(proposition)。该命题可以取一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，分别用“T”(或“1”) 和“F”(或“0”)表示
非命题
一切没有判断内容的句子，如命令句 (或祈使句)、感叹句、疑问句、二义性的陈述句等都不能作为命题。
复合命题 (如何产生新命题)
原子命题 (简单命题)：不能再分解为更为简单命题的命题。
复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果......则......”、“当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而成。
2.命题联结词
否定联结词
设 P 是任意一个命题，复合命题“非 P”(或 “P 的否定”)称为 P 的否定式(negation)，记作¬P，“¬” 为否定联结词。P 为真当且仅当 ¬P 为假。
合取联结词
设 P、Q 是任意两个命题，复合命题“P 并且 Q”(或 “P 和 Q”)称为 P 与 Q 的合取式(conjunction)，记作P ∧ Q，“∧” 为合取联结词。P ∧ Q 为真当且仅当 P，Q 同为真。
“∧” 是自然语言中的 “并且”、“既…又…”、“但”、“和”、“与”、“不仅…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…, 一面…” 等的逻辑抽象；但不是所有的“和”，“与”都要使用合取联结词表示，要根据句子的语义进行分析。
2 和 3 的最小公倍数是 6；
2 点 a 位于点 b 与点 c 之间。
这两个命题都是简单命题，不能再分。
析取联结词
设 P、Q 是任意两个命题，复合命题“P 或 Q”称为 P 与 Q 的析取式(disjunction)，记作P ∨ Q，“∨” 为析取联结词。P ∨ Q 为真当且仅当 P，Q 至少有一个为真。
联结词 “∨” 是自然语言中的 “或”、“或者” 等的逻辑抽象。自然语言中的 “或” 有 “可兼
或”(或称为同或)、“不可兼或”(即异或) 两种。严格来讲，析取联结词实际上代表的是可兼或，异或有时会使用单独的异或联结词 “⊕” 或 “∨¯” 来表示。
命题：张红生于 1982 年或 1983 年，令
1 P: 张红生于 1982 年；
2 Q: 张红生于 1983 年。
P 与 Q 不能同时为真，即为“不可兼或”
蕴涵联结词
设 P、Q 是任两个命题，复合命题“如果 P，则 Q”称为 P 与 Q 的蕴涵式(implication)，记作P → Q，“→” 为蕴涵联结词。P → Q 为假当且仅当 P 为真且 Q 为假。一般把蕴涵式 P → Q中的 P 称为该蕴涵式的前件，Q 称为蕴涵式的后件。
在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义，往往无法判断。但对于数理逻辑中的蕴涵联结词来说，当前件 P 为假时，不管 Q 的真假如何，则 P → Q 都为真。此时称为 “善意推定”。
等价联结词
设 P、Q 是任两个命题，复合命题“P 当且仅当 Q”称为 P 与 Q 的等价(equivalence)，记作P ↔ Q，“↔” 为等价联结词(也称作双条件联结词)。P ↔ Q 为真当且仅当 P、Q 同为真假。
3.命题符号化及应用
联结词是两个命题真值之间的联结，而不是命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值，而与它们的内容无关，与二者之间是否有关系无关。
- 命题联结词的优先级
- 复合命题符号化
- 命题联接词与开关电路
- 命题联接词与逻辑电路
- 命题联接词与位运算
4.命题公式和真值表
命题变元
一个特定的命题是一个常值命题，它不是具有值 “T”(“1”)，就是具有值 “F”(“0”)。
一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称它为命题变量 (或命题变元)(propositional variable)，该命题变量无具体的真值，它的变域是集合{T, F}(或 {0, 1})。
命题公式
- 原子命题变元是最简单的合式公式，称为原子合式公式，简称原子公式；
- 命题公式没有真值，只有对其命题变元进行真值指派后，方可确定命题公式的真值；
- 整个公式的最外层括号可以省略；公式中不影响运算次序的括号也可以省略。
- 在实际应用中，为了便于存储和运算，命题公式常用二元树的方式来表达。
真值表
由公式 G 在其所有可能的解释下所取真值构成的表，称为 G 的真值表(truth table)。
5.公式的分类和逻辑等价
命题公式分类
- 公式 G 称为永真公式(重言式,tautology)，如果在它的所有解释之下其真值都为“真”。
- 公式 G 称为永假公式(矛盾式,contradiction)，如果在它的所有解释之下其真值都为“假”。
有时也称永假公式为不可满足公式。 - 公式 G 称为可满足公式(satisfiable)，如果它不是永假的。
G 是永真的当且仅当 ¬G 是永假的；
G 是可满足的当且仅当至少有一个解释 I，使 G 在 I 下为真。
若 G 是永真式，则 G 一定是可满足式，但反之可满足公式不一定是永真式；
公式等价的充分必要条件
必要性：假定 G = H，则 G，H 在其任意解释 I 下或同为真或同为假，于是由 “↔” 的意义知，公式 G ↔ H 在其任何的解释 I 下，其真值为“真”，即 G ↔ H 为永真公式。
充分性：假定公式 G ↔ H 是永真公式，I 是它的任意解释，在 I 下，G ↔ H 为真，因此，G，H 或同为真，或同为假，由于 I 的任意性，故有 G = H。
6.基本等价关系及其应用
基本等价关系
