--对数学思维智慧的阐释(解构与解读)

  本文先前首发在许兴华老师的微信公众号，作了一些修订后重发在简书。

微信公众号文章

文章内容如下：

  “知变化之道者,其知神之所为乎?”  --《周易•系辞上》

  “易，穷则变，变则通，通则久。是以自天佑之，吉无不利”。--《周易•系辞下》

  ”道之委也，虚化神，神化气，气化形，形生而万物所以塞也。道之用也，形化气，气化神，神化虚，虚明而万物所以通也。”  --《谭子化书》

  ”夫兵形象水，水之形，避高而趋下；兵之形，避实而击虚；水因地而制流，兵因敌而制胜。故兵无常势，水无常形，能因敌变化而制胜者，谓之神。”  --《孙子兵法·虚实篇》

  “对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”。”不断地变换你的问题"。"解题的过程就是不断地变更问题的过程，如果不变更问题，我们几乎就没有任何进展。”。”我们必须一再地变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到有用的东西为止”。 -- 数学家波利亚

“取势、明道、定法、优术、成器”

“善弈者谋势，不善弈者谋子。识势者生，顺势者为，乘势者赢，造势者智。”

正文

    动则生变，辩证法的运动发展观，运动变化是绝对的普遍的，世事无常，变动不居。不仅仅是物质的运动变化，思维活动也是运动变化，数学解题的每一步本质上也都是变化。思维是统帅是灵魂，数学解题的每一步变化(纸面上的)都是由(数学)思维的运动变化(大脑中的)而驱动主导的。

  事事洞明皆学问，道隐无名，都隐藏有道理，数学思维的运行变化更是有大道。那数学思维运动变化的大道是什么？也就是本质规律是什么？

数学思维运动变化的三个方面(维度)与四个层次

三个方面

  运动变化包括心、行、物三方面。

  心就是思维主体(主观)的心意识；行就是外界可见的外显的行动，行为操作、加工处理；物就是客体，就是我们需要变化改变的客观事物(对象)和问题。心物一元，心与物辩证统一，相互联系/相互转化/相互影响，主观与客观辩证统一，风动幡动，归根结底是心动，正所谓”人人自有定盘针，万化根源总在心”。

  万化由心，宇宙在手，从思维主体(人)出发，由内(主体)到外(客体)，驱动变化：从心动到行动(心动驱动&决定行动)，再到事物的变化或对事物在认识、反映、刻画方面的变化。

  ”夫万事万物之理，不外于吾心。夫学贵得之于心。” 学习数学和数学教育，思维为王为主，也就是应该以思维为中心，真正做到给学生传授思维心法，让学生领悟思维心法，而我们几十年的数学教育无论怎么改革，实际上一直以数学知识为中心，即便学校、各种数学思维培训、数学思维书籍喊着锻炼学生思维能力的旗号，挂羊头卖狗肉，打左灯向右转，对数学思维的锻炼熏陶传授有名无实，实际做的不到位。

  1.心动，起心动念就是心的变化，就是思维的运动变化：作为灵性智慧生灵，心第一才是真正正确的，心外无物，心能转物，心生万物，心生万法。心动，(主体的)心意识(思维)的变化，思维念头的生灭，具体就是思维目标(对象)、思维方向、思维视角、思维起点、思维形式、思维内容、思维品质(思维广度、思维深度、严谨性、灵活性、批判性、创造性、系统性)、思维过程的变化。运用之妙，存乎一心，风动幡动，归根结底是心动，这才是本质才是关键，不在于是否存在风和幡动(现象)，不在于是否存在幡(物)，如果知道虚拟现实技术(VR)就明白风、幡、幡动都是可以虚拟出来的幻觉幻象，遑论特异手段。感官感知的不一定为实，眼见不一定为实。另外缘起性空，风动幡动都是因缘暂时和合而产生，不是恒常的。心解放自由，升华悟道融汇贯通，心结打开了，才能心生万法，灵动自然。

  心法就是思维的规律，运心自如之道，“变化大法”运用之妙，存乎一心：穷则思变，知机善变，避重就轻，顺应同化。变中求机，随机应变，按需而变，顺势而为。

  2.行动，解题行动在操作处理上的变化：做什么/变什么、怎么做/变化手段是什么。例如要对代数式进行怎样的变形，要变代数式的哪一部分。

  3.物动，事物的变化：心与行的变动，最终体现在(客体)事物&数学问题的变化(变更)上面，对事物认识的升华上。

  在数学学习和数学解题中，"心动"，大脑内在的思维活动，它是相对无形的，属阴，而行动和物动是外在的变化，一般是可见的，属阳。 ”阴先动，阳后随”，就是要先动脑，先思考，用心动驱动和指挥行动，而不是先贸然行动和物动。

  如气功修炼中的三调(调形、调息、调心)，数学思维活动中与此类似，也有三调，也就是从三大方面进行变化调节:

  1）调形/变形，调节/改变问题外在的形式。

  2）调结构/模式，调节问题的(内在)结构,包括调节各种顺序。

  3）调心，对心意识/思维进行调节/调控。主要是调控思维形式、思维内容、思维方向、思维起点、思维视角/思想观点/眼光、思维品质等。

    思维方法偏重调控思维形式，例如应用联想思维，那思维的形式就变成联想思维由此及彼的形式，而应用类比思维，就变成类比的形式。

    而思想方法偏重思维内容的调节，例如运用方程思想，那大脑的思维内容就变成方程相关的内容，运用其他的思想方法/思想观点，思维内容就相应地变为该思想方法对应的内容。道在日用，例如我们在日常生活中，对同一个事物，改变(变化)你内心看待这个事物的观点，对这个事物的看法可能马上就不一样了，有可能是峰回路转，180度的改变，与此类似，在数学思维中，改变你的思想观点/思想方法，新的解题思路、解题突破口、解题方法可能就在向你招手，就容易被发现，就容易想到它们，就容易有所创新。

    三调中重在调心，以德(思维的品德素养)为本。

  注：这里不从心理学上区分心意识与思维的区别，而是把它们看成相同。

四个层次

  我们要精通变化，领悟掌握变化之道法术器，道、法、术、器是4个层次。

层次结构

  1.变化之道：形而上者谓之道。万化由心，大化无方，唯变所适，随机应变，辩证变通，灵动自然。思维运动变化之道(运动变化模式)契合道德经“反者道之动，弱者道之用”与太极的循环往复、进退互化、以柔克刚(柔弱胜刚强)、圆融无碍之道。

图1

  2.变化之法：变化时遵循的蕴含的法则、原则、规律、过程、模式、高观点。变化的心法(思维心法)，易经三易:变易、简易、不易(变中有不变)，还包括：

    a)思维策略。例如进退互化等策略，而熟知的“正难则反”策略是进退互化的一种具体策略。

    b)数学意识。数学意识的层次高于数学思想，数学意识是低层次数学思想的升华，例如方程意识是方程思想的升华。相对数学思想而言，数学意识具有自觉性、选择倾向性、潜藏性、主观性、高阶性/高层次。

    随风潜入夜，润物细无声。低层次数学思想升华变成数学意识，所以数学意识的作用主要是在下意识层面潜移默化地影响你的数学思维和决策，使你自觉地/自动地、潜藏地做出某些选择和决策，这就是数学意识的自觉性、选择倾向性、潜藏性。

  按其范围大小可以分为专有的和普适性的数学意识。

  专有的如方程意识等，它是数学领域特有的。

  普适性的数学意识不限于数学领域，主要有：目标意识、符号意识、分析意识、简约/简化意识、转化/化归意识、抽象意识、归纳意识、推理意识、合情设想/合情想象猜想意识、模型/模式意识、结构意识、辩证意识、审美(美感)意识、矛盾意识、和谐与统一意识、比较意识、分类意识、整体意识、分解与组合意识、联系(关联、联结、关系)意识、运动变化意识、模式识别意识、观察意识、见微知著意识、创新意识等。

  碰到有些难度的数学问题，为什么容易出现思维障碍？例如为什么”想到不”这个数学解法，或想不到这一点？或不知道如何想、不知道想什么。在掌握相关数学知识的情况下，很可能是没有领悟到足够通透系统的数学思维方法论。例如没有掌握一些相关的数学思想和意识，就好比一个日常生活中缺乏居安思危意识的人，他在平常的生活中是不容易想到可能会突发一些危险情况的，而一个缺乏方程思想方程意识的学生，他是不容易想到用方程的知识来解题的，虽然他掌握了方程知识。而一个有方程意识的人，会比较自然地自觉地想到运用方程来解题，不需要提示。

      c)思维原则。如化繁为简原则/简化原则、辩证思考原则、信息用足用好用活原则、多想少算原则、系统性思考原则等。

      d)元认知。对思维活动的监控与调节。

  3.变化之术：以术辅道，变化之术主要是数学思维方法论中的各种数学思维方法与数学思想。思维方法主要指引思维形式上怎么变(怎么想)，而思想方法主要指引思维内容上怎么变(想什么，要做什么)，最终引导我们产生“变化”方案：变化的步骤顺序、变化的方向与意图(变化的需求，想要变成什么，随需而变)、变化的目标对象(变哪些对象，改变事物的哪一部分)、变化的时机、变化遵循的模式与进行变化的具体行动操作(变化的手段)、变化的成本代价与需要的资源。

  以上统下，以道御术，变化之道与变化之法对变化之术有诱发、产生、引导、护持、调控的作用，对思维形式、思维内容、思维方向、思维视角、思维起点、思维特性品质的变化切换起到直接的诱发、引导、调控作用。

  4.变化之器：形而下者谓之器，器就是器物、工具。变化之器就是帮助我们进行具体的行动操作(变化、改造)的工具，也就是变化的手段。变化之器在数学中就是各种数学知识，包括数学概念、定理、数学方法，例如配方、因式分解、平方、开方、加减乘除、分类、分组、组合、分拆、割补。动作动词思维加发散思维，多想想动作、动词，多问问自己还能怎样变化。道在日用，多想想日常生活中的各种具体的行动操作及其概念，把它们迁移到其他领域的问题解决中，例如数学解题中。

    变化之道、法、术对变化之器也就是对数学知识具有激活、组织、编排、筛选、解释、创造等作用。

    整个数学思维方法论其实是研究变化的技术与艺术，研究数学中的变化之道法术。数学思维方法论包括各种思维方法和各种思想方法、思想意识、思维策略、原则、元认知、高观点。在实践运用中，它们的主要作用就是在一定程度上帮助我们消除思维障碍(不知道怎么想，不知道想什么，想不到，等等都属于思维障碍)，可以把它们看成一套思维话术&自我思维引导术，用来启发指导我们心(心意识)与行(行动、解题操作)上的变化，它们能够循循善诱地让我们比较容易地、比较自然地、自觉地想到如何变化，想到变化方案。碰到思维障碍时，通过思维发散、反思、辩证、监控、调节，反问自己：“变什么？怎么变(变化的手段是什么)？”还能怎么变？”

    前面讲的”数学思维运动变化的三个方面(维度)与四个层次”和下面的内容都是数学思维方法论中的内容。

通透系统的数学思维体系

  在<对陈省身教授”不要考一百分”的辩证解读>一文中，曾讲到：

  ”思维比知识重要，思维是本是灵魂是渔，是知识之母，知识是末是鱼是子，这是共识。不知母，焉知子？所以要多研究思维学，多研究学科思维方法论，多研究思想方法。

    我们的初高中数学教育几十年来一直存在致命的问题，就是一直喊着锻炼学生数学思维能力的口号，实际上却心有余而力不足，打左灯向右转，一直以数学知识为中心，而不是真正以数学思维为中心，舍本逐末，买椟还珠，挂羊头卖狗肉。其他学科也类似，都是以学科知识为主，灌输学科知识，缺少真正到位的学科思维熏陶锻炼，学科思维锻炼落地效果是极其不理想的，连差强人意都算不上。

    本人在IT软件开发领域，从业余人士的视角谈谈上述问题的根源：

    第一，人的问题，我们的数学教育界和学术界不缺名师，但几乎没有真正的数学思维明师，数学名师非数学思维明师。

    做老师的，自身智商和学习成绩应该都一般，算不上拔尖，初高中数学老师也不例外。我们的大学数学教授研究水平也普遍一般，不是数学研究强国，所以广大吃瓜群众不要过度迷信初高中数学老师与数学教授的数学思维能力，可以学习他们的书籍和文章，但不能迷信这些。他们在数学领域经过多年的浸淫，刷题多，见识多，看书学习多，掌握了丰富的数学知识，具有较丰富的解题经验，但“无它，唯手熟尔”，刷题刷出了感觉，手熟而已，解题手熟和发表的一些文章书籍能忽悠和误导不懂数学思维的广大家长和学生，掩盖了老师教授们数学思维能力一般的真相。在数学思维方面，无论是学校和培训机构，几乎没有领悟通透系统的数学思维之道的数学老师数学教授，几乎都是有术无道。以其昏昏，使人昭昭，指望他们给学生传授思维之道，让学生思维开窍，非常渺茫。他们对数学思维之道的传授心有余而力不足，虽然很多打着锻炼数学思维的旗号，但在实际执行上，只能是给学生灌输数学知识，结合题海战术来提高考试成绩，从而掩盖在课堂上缺乏数学思维的真相。

  数学思维方法论领域还有较多发展创新空间，还有较多数学思想尚待提炼挖掘，还有内涵需要更深入地理解和更透彻地阐述。而国内数学教育界&学术界在数学思维方法论研究方面习惯拾人牙慧，缺乏创新能力，几乎都是止步于数学家波利亚的解题理论与思想，对他的东西做些阐释与应用，而自身缺乏真正的创新开拓，思想僵化，固步自封。几十年过去了，我们连个像样些的数学思维方法论体系框架都没有，遑论足够通透系统的数学思维方法论。

  虽然上面这些话有些人不爱听，绝大多数吃瓜家长和学生不知道数学教育真正的问题，但这是实话和真相。

  这也是本人在简书和头条上写数学思维系列文章的原因，试图阐述足够通透系统的数学思维方法论。

  这个系列文章，简书文章前言(https://www.jianshu.com/p/2aeb7084113d )标题为”自从一读本系列，始觉从前错用心”，就是说我们几十年来接受的都是错误的数学教育，主要是灌输数学知识，以知识为中心而不是以思维为中心。通过灌输知识，海量刷题，看较多数学参考书籍，即便有些学生掌握丰富的数学知识和解题技巧，短期应付数学考试和数学竞赛成绩不错，但普遍没有得到真正到位的数学思维熏陶训练，长远看来是买椟还珠，贻害无穷，误人子弟，我们是数学竞赛强国但不是数学研究强国，就是长远结果的体现。

  第二，还是人的问题，广大吃瓜家长和学生不明上面的真相，不知道数学教育皇帝新装，目光短浅，饮鸩止渴追求短期利益：能升学，能考上理想的大学，能竞赛获奖能保送。在没有到位的思维熏陶训练的情况下，学校和培训机构采取的补救补拙的措施就是：严格的时间管理，抓紧时间，对学生进行海量刷题、大量培训和看书学习，事倍功半，从而获得家长学生需要的短期利益，学校、老师、培训机构也名利双收。

  在一定程度上，这其实是忽悠不明白数学教育没有思维真相的吃瓜家长和学生。对数学竞赛，还要花费不菲的家庭财力去进行校内校外培训，牺牲综合学科，但即便获奖，长远看有多大效果？缺乏到位的思维方法思想方法熏陶的教育，拼命灌输知识进行喂养，有术无道，雕虫小技不是大道，靠海量刷题培养出来的学生，思想底蕴不足，思维固化，在创新研究方面一般注定是后继乏力，昙花一现，走不远的，我们不是数学研究强国，数学研究水平很一般，虽然国家投的研究费用不少。

  广大吃瓜群众普遍不懂数学竞赛与数学研究的区别，另外我们是专业搞奥数竞赛，而其他国家是业余性质，我们的奥数成绩是花费远远多于其他国家选手的时间、刷题数量和金钱才取得的，所以我们的奥数成绩好是虚假的，具有欺骗性，没有可比性。误人子弟的数学教育通过题海战术和专业系统的奥数培训，可以培养出数学竞赛机器，但培养不出数学研究大神(数学大师)，真正的数学大师不容易被误人子弟的数学教育误导，但我们本土几十年还没有看到这样的数学大师。

    题外话。有人说，”有影响力的数学研究人员(数学大师)都是玩奥数出身”。这是偷换概念，他很可能在转移话题忽悠广大吃瓜群众。照他的说法，可以说有影响力的数学大师都是靠吃饭，因为都要吃才能生存。初等教育，对数学有兴趣的或数学成绩比较好的人很多参加过奥数学过奥数，这自然包括后来成为数学大师的一些人。他可能在转移这样的话题：”为何我们本土玩奥数的那么多的学生，几十年没有一个成为数学大师?”。这样转移话题的人，一般都是奥数利益的获益者，例如靠编写奥数教材或奥数培训等获取名利。

    肯定不能反对数学教育，不反对奥数，反对的是以数学知识为中心，玩题海战术，没有多少数学思维熏陶训练的数学教育和奥数。

本人设想的数学思维体系

  在<关于构建通透系统的数学思维体系的畅想>中给出了本人理解的数学思维体系框架与架构，也就是数学思维体系这个“大厦”应该是怎样的。一个是静态的功能框架，一个是动态的运行时框架(运行时run-time，运行时框架就是思考数学问题时的框架，就是解题实战时所用的思维方法论总体框架)，如下。

(原创) 功能框架 图2

(原创) 运行时框架 图3

  从图3可以看出，从问题域到解决方案域之间是有鸿沟的，需要我们架设”桥梁”。而架设和支撑这座”桥梁”，需要各种资源、知识、经验技巧，更重要的需要思维智慧，也就是掌握领悟思维方法论。

  把这个框架的具体内容按层次逐渐丰富难度不大，例如对其中的“思维方法”和“思想方法”，可以进一步详细讲述联想、类比等各种思维方法以及各种数学思想方法。一些主要内容在本人简书和头条中已有草稿，丰富之后就是比较通透系统的数学思维方法论。

解题举例

  数学变化之术和变化之器很多，远超孙悟空的72变，可以说不计其数，例如变化之术：重构、重组、重表达、多元表征切换、语义转译与引申、转化、转换、变换、代换、变形、配凑、割补、组合、分解等。

  重表达就是换另一种方式把事物重新表达&重新描述&重新刻画。例如解析几何的出现，可以理解为运用了"变基"思想，以点的位置(坐标)为基础而不是以长度等为基础来重新对几何对象进行表示与描述。重表达往往肇始于不同的观点与眼光，不同的场景需求，不同的something。

    这里讲下语义转译在数学解题中的应用，转译就像中英文翻译一样，把题目的意思换一种说法或推理引申一下。

    本人简书和头条内容中的解法都是原创，作为数学业余人士，对研究如何思维感兴趣，对数学知识没兴趣，因为数学知识不难学，难在如何思维。本人业余时间不多，没时间也没兴趣学数学知识，没时间看数学书和数学参考资料，在简书和今日头条上写的数学思维方面的文章主要是自己初高中自学数学时的感悟。

    通过这一节的解题学习，体会下在思维层面和解题操作层面如何变化。

  第一题

  如图4。

图4

解：

    第一问，符合要求的集合可为：｛1,2,3,5,8｝

    构造这个集合时，选择集合元素的策略就是递归使用a+b=c和a+b=c+d模式中的a、b、c，排除d。可见这是运用与a+b=c+d模式相反相悖的反模式。

    第二问，根据题目描述，“兴奋”就是“a+b不等于c+d”。“a+b不等于c+d”，这句话从表面理解，似乎没有什么有助于我们解题的信息，显然这句话不是废话，不能轻易放过它，要想法利用它来解题，但要利用上这个条件信息，还需要对这句话做些深加工处理，如IT系统中的数据挖掘一样，要深入挖掘它蕴含的内在深意。

    研几入微，如果换一种形式的说法(转译)或稍微深入推理引申一下，就是:两个数的“和”均不相同(不相等)。既然“和”均不相等，就可用组合计数得到(不同)“和”的个数，由“和”的个数可以估算最大和的范围(最小值)，故得到第二问的如下证明。

  第二问的证明有数学公式，在手机上阅读存在问题，故改为图片，如下。

图5

第二题

题目如图6。

图6

原创方法如图7。

图7

  “反(返)者道之动”、“曲则全,枉则直“，这道题，思维运动变化，辩证思维，从具体到抽象，从特殊到一般，从整体到个体，从直接到间接。在抽象、一般、个体层面研究清楚之后，再从抽象返回到具体，一般到特殊，个体(上升)到整体。螺旋式循环往复，进退互化。契合辩证法的对立统一，相互联系，相互转化，否定之否定。

    “弱者道之用”，万物负阴抱阳，有无相生，不能只看到阳的(明显的、可视的、容易感知的、刚强的)一面，“有”的一面，还要看到阴的(无形的、隐藏的等难以感知的对象、本质、规律、玄机、柔弱的)一面，“无”的一面，例如几何辅助线就是隐藏的，属阴。以柔克刚，柔弱胜刚强，研几入微，寻隐觅无，从柔弱、柔软、微妙、(辩证法)矛盾、无形、隐藏处入手，从特征丰富处入手，寻找问题突破口进行变化，化隐为显，化解矛盾，变中求机(玄机)。对这道题，直接对整体求和比较困难，看不清整体，所以先切换思维视角，以退为进，退转到研究个体|aj-ai|及其在所有排列中出现的次数，对个体的相关研究相对容易些。从这题先从具体退转变化到抽象，从特殊转到一般，因为对这题，感觉从抽象、一般情况入手反而简洁一些。

    在这道题的思维过程中，对思维视角的变化再补充一些阐述，如下图8。

图8

  第三题

这题改编自北大强基题。

求。

解

这道题，先直觉猜想找突破口，就是”用弱”。再换元，构造一元二次方程，这些都是在不停地变化。

第四题

图9

解法如下图。

图10

  数学思维，需要直觉，也需要感觉。首先观察图形，感觉和识别问题中的痛点、矛盾、不和谐、不美的地方。可以感觉到三角形ADE、BCE形状、位置都不便于解题，看图，根据图形直观，容易从ADE想到ADC，从BCE想到ABC，想到这些，在心理上应该有预感或预见这样合情变化会比较靠谱。面积相减为7，这样相减之后，得到的关系就有美感，根据三角形面积的定义最终得出线段乘积关系。

  这道题的解法，涉及到几何对象的等量代换，代数式的等量代换比较单纯纯粹，就是数量上的代换，而几何对象的等量代换除了数量上的代换，还涉及几何对象的位置移动转移、关系的传递与转移。从DP代换为QA，AC代换为AB，AB代换为BT可以看出，DP转移到QA位置，AC转为AB，AB转为BT。位置转移之后，产生了新的几何意义：新的几何模型(结构)和几何关系。

  就像我们居家要注意风水，包括家具的位置摆放。风水存在，辩证地看，常人能理解的那一部分就是环境科学，超出环境科学的那一部分也是有的，但真正懂这一部分的人极少，几乎都是忽悠吃瓜群众。几何题或者说数学题也有“风水”，在几何图形图形中，几何对象的方位(位置、方向)及其结构很重要，同一个角度、线段、图形，放在不同的位置，就有不同的结构和关系。要注意感觉几何问题中几何对象结构包括方向、位置的不和谐不理想之处或痛点，再进行结构调整改造，包括转移移动改变几何对象的方向、位置(方位)，调整位置的手段较多，例如各种几何变换(平移、旋转、对称、...)，平行(移动转移角的位置)、构造全等、造相似、造相等关系、…。

  在先前的《几何结构位置关系的和谐化分析与调整 》一文中，对几何中的“位置”(方位)”调整曾作过一些阐释。

  物理世界中的位置(方位)调整，是物体自身的调整，例如把桌子移动到新位置后，旧位置就没有这张桌子了，而几何对象的位置调整，是针对几何对象的拷贝(复制、镜像或孪生、替身），是通过等量关系的传递来进行的。例如把AB线段移动到新位置，是在新位置创造了一条与AB线段长度相等的新线段(这个新线段就是AB的替身，它们俩具有长度相等的等量关系)或有一定长度关系(例如二分之一)的新线段，AB线段还在旧位置。

  学过生物和化学后，我们对“结构决定功能和性质”这句话有深刻的理解，应该不会陌生，“结构决定功能和性质”，这是调结构变位置的底层逻辑，也就是说，我们如果需要某些功能或性质，就要有对应的结构。没有条件时要创造条件，条件不适宜时要改造条件、转化条件，如果在没有对应结构的情况下，按需而变，就要改造调整旧结构产生与需要的功能或性质对应的新结构。

  不只是在几何问题中，位置与结构在代数中也是需要多加关注和研究的。

第5题

  如下图，正方形ABCD边长为1，以C为圆心，CB为半径作四分之一圆。M为弧BD上的动点。线段AM绕点M逆时针旋转90度后得到线段MN。求三角形CMN面积的最大值。

图11

解法如下图。

图12

  思维过程：求三角形CMN面积的最大值，由于CM=1，故转化为求CM对应高的最大值。作高NP，求其最大值。但现实情况是NP的两个端点N、P都是动点，导致不好求最大值，如果有一个定点就好了(美好的理想)，且NP和周边的线段之间不存在便于我们求最大值的结构，也就是NP的位置、结构不好，不和谐。NP的两个端点都是动点，NP的位置、结构不好，这些都是痛点，都是让人感觉不爽的(辩证法)矛盾，理想与现实的矛盾(差异)，已知条件与所求(结论)的矛盾。

  正是这些痛点和矛盾导致题目有难度，如何转化、化解、改造矛盾？也就是如何变化？

  上面用矛盾分析法得到了矛盾的所在，得到了矛盾的具体内容和特点：N、P都是动点、NP位置结构不好。如何变化？那就要进行调整改造，想法产生一个定点，想法改变NP的位置、结构。

  如何实现我们的这些想法(需求)和意图(目标)？

  还是"用弱"：矛盾分析，特征驱动，按需而变，顺势而为。观察图形，两个角NPM、AMN均为90度，这就是特征，根据特征相似联想模式识别，敏锐地发现图中存在一线三等角模型，这就是见微知著，小中见大，见微知著，”微”是局部是征兆是蛛丝马迹，也是趋势的缩影，”著”是整体是大趋势。这里，两个直角NPM、AMN是微，是蛛丝马迹，是局部，从局部相似联想，想到著，想到整体：一线三等角模型。大脑中心中想到整体之后，但纸面上的题目中还没有整体，和整体比较一下，纸面上还少一个直角，那就作AQ垂直于CM产生第三个直角AQM，完形补美，把整体补全把模型补全，缩小与整体(此处的一线三等角模型就是整体)的差异。

  构造产生完整的一线三等角模型后，出现全等或相似模式，此题是全等。这就把NP调整到QM，可以理解为通过全等构造，把NP移动搬家到QM位置。直观感觉，也就是眼睛一看就感觉QM位置比NP位置好，因为QM与CM结合(组合)后产生的结构模型CQ中，C是定点(有定点就比较便于求最值)，Q是动点，CM是定值1，故求QM的最大值就转化为求CQ的最大值，而CQ的最大值容易求。角AQC为直角，QC都在以AC为直径的圆上，圆上两点距离最大为直径，故CQ最大为AC。这些都是变化，变化之功的神妙。

  此处提一下本人在简书文章<数学思想方法揭秘-1(续)>(https://www.jianshu.com/p/f41096a705f5 )中的”功能思想”。学习知识，包括学习数学知识，要注意领会知识的作用(用处)和功能，例如全等模式有调整、转移&移动几何对象(线段、角度)方位(位置、方向)的功能，柯西不等式有去根号的功能和交叉相乘(向量数量积)的功能，作平行线有角度转移功能和比例关系构造功能，各种几何变换也有对应的功能。而各种数学知识对应的功能，数学教材和参考书是不会把这些功能讲透告诉学生的，目前要靠学生自己意识到这些功能，靠明眼人捅破窗户纸告诉他们，因为数学教育界没有认识到功能思想，先前没有人明确提出功能思想。

图13 功能思想

  如果事先意识到全等的功能，对这道题，当我们需要实现NP的位置转移时，就能较快地想到构造全等这个实现途径：构造AQM全等于MPN。可以绕过一线三等角模型，从而实现NP的位置转移，等量替换，转移到QM，这也是在变化的实操层面按需而变，位置转移就属于运动变化。

  先前的简书和头条文章讲过思维方法和思想方法在解题中的总体作用，它们可让我们容易地高效地“想到”，避免出现思维障碍。各种思维方法例如联想类比等，它们主要用来启发指导我们的思维形式：怎么想。而数学思想方法主要启发指导我们的思维内容：想什么、该做什么、怎么做(抽象层面的怎么做，具体层面的怎么由数学知识来负责)、怎么变、变什么、怎么看(思维眼光)、看什么。当然具体的思维活动，一般是综合多种思维方法和多种思想方法，思维方法和思想方法是水乳交融结合在一起的。

  有多种思维方法，也有多种思想方法，如何选用它们？首先从总体上区分，思维方法偏思维形式，思想方法偏思维内容。再具体到每种思维方法和思想方法，它们每个都有适用的场景和上下文，多学习揣摩它们的适用场景。碰到问题时，要根据问题的类型、特征、暗示、当前的矛盾和意图想法选用匹配的思维方法和思想方法。再不济就遍历选用，一个个尝试，不行切换到下一个，或组合在一起使用，或调整使用顺序。

    浅显的例子，当碰到无法统一处理的问题时，”无法统一处理”这个特征暗示我们要运用分类思想，我们自然想到运用分类思想，进行分类讨论。

  前面讲过数学思维中的道法术对数学知识具有激活、组织、调控、解释、筛选、创新(发明发现)作用。

  例如这道题，如果熟悉功能思想，事先知道几何全等的功能，碰到这题，应用矛盾分析法知晓这道题中的矛盾之后，就能依靠功能思想比较自然地自觉地激活我们大脑中沉睡的几何全等数学知识，启发指导我们通过构造全等三角形来转移NP的位置，最终化解矛盾。可见构造全等不是无源之水，不是突发奇想，是合情合理，有一定的逻辑性的，有时结合灵感、直觉。

  再比如，方程思想在思想意识上启发我们列方程，产生列方程的念头(这个念头就是思维内容)，这就激活了我们大脑中沉睡的方程知识。大脑中先前没有列方程的念头，到有这个念头，这就是变化，大脑的思维运动变化；由心到行，在纸面上或黑板上列出方程，这就是行动操作上的变化和思维客体上的变化。

  数学由于其本质复杂性，较多倚重灵性思维智慧和悟性，有难度是肯定的可以理解的，主要难在如何思维如何创新，不在学习知识，但缺乏通透系统的数学思维方法论，我们几乎没有数学思维明师启迪熏陶学生的数学思维，不到位的思维训练让学生们的数学学习特别是数学解题难上加难，这些额外增加的难度是偶发复杂性，是人为因素人的原因导致的，如果有思维方法论明师是可以在较大程度上消除减轻的，而本质复杂性是数学固有的，难以通过人为努力来消除。由于思维训练不到位，对思维训练有心无力，老师和家长为了补救只能是靠花费学生的较多时间搞题海战术，大量刷题和培训，事倍功半，短期有些成效，长远看误人子弟。

  前面讲过我们的数学教育界和学术界(数学专业研究)不仅在数学知识数学理论方面创新能力不足，在数学思维方法论方面也缺乏开拓创新，思想僵化，拾人牙慧，人云亦云，我们缺乏足够通透系统的数学思维方法论，还有较多普适的数学思想方法等待挖掘整理提炼。

  本人喜欢自学也提倡自学，高中数学、物理完全自学，效果很好。老师上课时我就在自学，不听老师讲课，也不做老师布置的高中数学作业，除了数学考试，所以自学并没有花费多少课外的时间。初中数学也较多自学。小初高11年从没有经历过数学培训(那时的农村也没培训)，也没有老师和其他人额外指点。由于自学没花费多少课外时间，所以在高中还有时间看较多佛道、气功、飞碟等和学习无关的书籍。受条件所限，当时能找到的数学参考书很少，含有数学思维数学思想方法内容的书更少，即便有，这些内容也不系统不通透，补救措施是在阅读和解题中自己提炼领悟，不断构建完善自己的数学思维方法论体系，不只是数学知识体系。

  作为数学业余人士，以高中自学时领悟的数学思维方法论为主体，总结提炼出了关系思想、功能思想、有无思想、赋义思想、调和思想、融合思想、变基思想、中介思想等新的数学思想方法，提出了数学思维方法论体系框架，在简书和今日头条上发表了相关的部分内容。

  数学思想方法具有一定的普适性、重用性，那如何提炼发现新的数学思想方法，这和语文学科中的概括提炼能力是相通的，在解题后的反思过程中把你思考数学问题时的一些有价值的想法梳理出来，看看哪些是现有思想方法没有涵盖到的，如果觉得它们具有一定的普适性重用性，那就可以进一步挖掘其内涵，对它进行定义取名，例如X思想方法。

  提炼数学思想方法，要注意多学科融合交叉，从众多学科和领域包括日常生活、佛道经典、哲学、物理、化学、生物、兵法、心理学、认知学、思维学、IT软硬件领域、建筑领域等吸取营养，多学科融合就容易产生新的数学思想方法，学科之间在形而上的层面有些是相通的共同的。还包括语文， 有些数学思想方法就体现在成语中，或你提炼思想方法时，用几句成语就精辟简洁地概括了思想方法的内涵。

  这涉及到的关键词有：形而上、本质、核心、精华、抽象、升华、提炼、萃取、层次、普适性。

第6题

图14

证明方法如下图。

图15

  上图中的证法，”计算思想”在这题中作为总体的主导思想，起到统摄作用，把线段、角度、关系算出来，表达出来。因为观察图形，审题之后，发现&感觉这题具有鲜明的丰富的”可计算”特征，所以选用”计算思想”作为总体思想。

  这个证法，其他思想方法：模型思想、关系思想、构造思想、方程思想为辅。

  倍长中线起到转移线段、角度位置的作用，这题通过倍长中线把BA转移调整到AM位置，产生便于解题的几何结构模型和关系。模式识别，由F点处的星形特征，模式识别，自然就联想到赛瓦定理。

第7题

图16

方法如下图。

图17

  如上图，通过放缩，求得取值范围为[ 2 ,5/2 )。

  初高中乃至大学本科的数学知识不难学，不难自学。初高中的那点数学知识也没啥用，偏重灌输数学知识，偏重刷题而不反思不提炼解题过程中的思维方法和思想方法是买椟还珠，舍本逐末。对每道有价值的题，需要体会&回味在探索解题方法过程中蕴含的思维之道(思维技术与思维艺术，思维方法和思想方法)，这才能达到通过解题来熏陶锻炼数学思维的目的。不如此，就象我们的初高中数学竞赛培训模式，靠海量刷题和培训虽然能让一些学生竞赛获奖，但长远看来这些竞赛获奖者，即便以后有一些从事数学研究的，几乎都泯然众人矣，成就不大，因为我们培养出来的数学研究人才没有多少思想底蕴，有术无道，综合知识面偏窄，如果还不自知，自然注定难以走远。

  “势”往往是隐隐约约的隐藏的，当然也有比较明显的。对这道题，要有直觉&感觉，要能感觉到、洞察或预见到题目中的“势”(取势)。势就是事物中潜藏的或显露的“力”或“力”的作用，它有大小和方向。数学题中的“势”就是条件和结论中或显或隐的各种特征、暗示、(辩证法)矛盾、呼之欲出的预势&(未来)趋势。

  "势“的顺逆分析与直觉审美。可以感觉到有的“势”具有和谐感，有益于解题，而有的“势”具有违和感，妨碍解题。洞察数学题中的“势”，进行顺逆分析之后，对“顺势”，通常是顺应它，合情合理地顺势而为&预势而为&乘势而为，而对“逆势”，通常是同化它，合情地变势，化解消除或转化改造“逆势”。如果缺少势，还需要造势，例如几何题作辅助线可以认为是造势补其不足(补原有几何图形的不足，也是化解逆势)，再比如设想数学模式&构造数学模式或模型也是造势，例如初中求15度的正弦值，我们根据辩证法联系观、整体观&系统观，数形结合，以形助数，见微知著构造含有15度角的直角三角形，这就是造势：一滴水只有回到大海大河中才不容易干涸，把15度角(个体，是微小的局部的对象)置于直角三角形这个大模型、大系统中借势乘势，依托借助模型系统的“势”进行系统地思考，辩证法联系观，陌生与熟悉&难与易&未知与已知相互联系相互转化，再构造30度角(30度是熟悉的、容易的、已知的)求出15度的正弦值。用几何法求18度的正弦值也与此类似。

  对这道题要有大小比较&估值、排序、数量级意识，还要有辩证法中抓主要矛盾，抓矛盾的主要方面的意识，识别主要矛盾也属于“明势、取势”。

  观察题目之后，可感觉可大小比较发现a/a+b,c/c+d这两个数才是矛盾的主要方面，它们是大数，是决定取值范围的主要的关键的因素(对象)，它们在取值中占大头，这就是“取势”。取势之后顺势而为，顺应主要因素，凸显它的地位，那就要把它往大的方向放缩，就要分离出它的”大”，就是顺应，分离出&析出它含有的大(为1)，析大显微。例如求上限时，将a/a+b变形为1-b/a+b，就是析大显微，分离出了“大”(为1)和微末(-b/a+b)，如化学中的溶质萃取，也有换元法的增量代换的意味。之后结合极限思想就可大致猜测范围上限为1+1+1/2=5/2，也严谨地求得了此上限。

  估算范围下限，特殊值法和极端思想，令四个数相等，和为2。

  另外把分子为b的两个分式绑在一起组合在一起相减，分子为d的两个分式绑在一起相减，还有a-c公因式，这就是观察发现共性，而共性中有美感，有简洁美统一美。以美启真，跟着美感走，跟着感觉走，指引我们变化。

第8题

图18

方法如下图。

图19

  通过这道题，要升华我们的思维观念与意识，特别是变化观与道隐无名的观念。辩证法就是变化法，它告诉我们要变化，要灵活地辩证思维，要注意矛盾的对立统一，相互联系相互转化(互联互化)。

  如果学习过金刚经和道德经，”无我相，无人相，...”和金刚经的三段论模式："说...即非...是名..."、“道隐无名”。就知晓：不着相、变化的多样性、无常(多变性)、缘起性空，无自性&空性。才能具有较为透彻的变化观。

  索隐探幽，寻隐识无，有无相生，无中生有，出有入无，化隐为显。碰到问题，要研究洞察其内隐模式，多想想其内隐的哪一部分是什么，内隐模式是怎样的，数学问题的隐身模式见本人头条文章<数学思维之道隐无名与有无思想>。

数学思维中用弱(怀柔)与用强(持强)的初步解读
  “用弱“与“用强”是辩证法的一对矛盾范畴，对立统一。理解了”有无”思想(有生于无)、形而上与形而下、思维与知识，心与物，基本就明白”用弱”与”用强”的区别与联系。

  用弱：偏向形而上、偏向思维智慧(心意识)、思想、谋略手段、智巧、软件。它们的特性一般是内隐的、难以捉摸的、微妙的、无形无定形、无相、劳心的、善变的、灵性灵活的、善于顺应本质的、顺势而变(为)&无为、看似柔弱柔软、看似虚无的。

  “弱者道之用”，在解决数学问题的思维活动中，从简单的、简洁的、薄弱的、熟悉的、关键(核心)的、主要矛盾集中的、不和谐的、特征丰富明显的地方入手，这些都是“用弱”。

  数学思维之道最能代表思维之道，从动态的视角来看，思维之道是大脑内的思维运动变化之道，它与庖丁解牛之道等诸多事理均契合“反者道之动，弱者道之用”这个普适规律，都是柔弱胜刚强，因势利导，顺应规律，不要硬刚，这样才能游刃有余。

  用强：偏向形而下、偏向知识、行动、蛮力、物质、工具器物、硬件。它们的特性往往是实在的、外显有形的、可视的、容易掌握理解的、劳力的、固化的、有为、看似刚强的。

  “上善若水，水善利万物而不争。处众人之所恶，故几于道”。思维智慧、思维之道如水，思维是内隐的，看似无形无相，看似柔弱，但柔弱胜刚强，心生万法，心生万物，各种数学知识就是思维活动创造(发明发现)出来的。

  在前面讲的数学思维运动变化的道法术器4个层次中，从道到法到术到器，逐步从偏向用弱到偏用强，特别是变化之器，就是各种数学知识，它们是解决数学问题的利器，强有力的工具。没有掌握足够的数学知识，即便思维能力强，巧妇难为无米之炊，碰到问题，往往一时也无可奈何。所以有时你做不出某道题而别人能做出来，可能并不是你的数学思维能力比他差，而是这道题用的数学知识你没有学过，而他学过，他的数学知识比你丰富，比你刷的题多，比你见的题型多，解题经验多，这也是题海战术的底层逻辑，靠这个来弥补思维能力弱造成解题能力弱的短板。

  “劳心者治人，劳力者治于人”，在解决数学问题的过程中，思维才是核心、主人主导者、统帅指挥和智慧的灵魂，思维智慧如水一样，无孔不入寻找问题突破口(用弱)，如水一样柔和无定形，善变智巧，顺势而为，随物赋形顺应问题本质，靠它激活、统摄、组织、编排、解释、调度、创造（发明&发现）、筛选（选择）各种数学知识来解决问题，利用数学知识，把数学知识转化为解题能力。一些学生掌握了丰富的数学知识，但在解决数学问题的当下就是想不出解题方法，想不起来使用哪些数学知识。众所周知，这往往是”用弱” (思维能力)的功夫修炼不够。思维智慧思维方法论是解题方法之母，不知母，焉知子，当然就不容易想出解题方法。数学教育领域缺少足够通透系统的数学思维方法论是客观原因。

  用弱与用强和谐结合协调发展，不可偏废，思维能力生长与知识体系构建需要兼顾发展。

变化论和构成论，变化模式与内隐模式

  变化，有破有立，有生有灭，生灭相续。变化论(生成、泯灭)是基于动态的观点，而构成论是静态的，实践运用中应该注重变化论与构成论结合。

  运用变化论，多探究来龙去脉，问问能变出什么、能生成什么(生成演化)、是由什么变化而来的(溯源)，变化模式(生成模式和泯灭模式)是怎样的？如何发现或预见变化模式，如何合情合理地构想出变化模式？

  世事洞明皆学问，但道隐无名，万事万物中的道是无形的，隐身的，常人没有慧眼是难以洞察的。内隐模式前面已讲过，具体内容不重复了。

补充阅读

  本文引用了到道德经、哲学辩证法、佛经、易经的一些内容，阅读本文，需要具有一定的文化底蕴，因为构建通透系统的数学思维方法论需要众多学科融合，本人在简书和今日头条上的系列数学思维文章，基本上都具有类似的要求，有些文章还涉及到软件设计、物理、化学、生物、思维学、心理学、认知学、兵法、刑侦、语文的一些思想和核心内容。

    阅读者如果碰到不懂的内容，可以自行延伸去补充学习相关内容，理解后再来阅读本文。例如本文引用了道德经的“反者道之动，弱者道之用”、”道法术器”等内容，阅读者如果不懂其涵义，网上搜索一下就有了。另外，可以阅读本人的其他文章，把这些文章融汇贯通地理解。

    这里为了方便读者，推荐一些关于道德经的解读材料，如下。

    1.  老子的”反者道之动”

    2.  解密《道德经》

    3.  道法术器解读1

    4.  道法术器解读2

      易经的三易(简易、变易、不易)和辩证法的学习材料自己去搜索，就不推荐了。

      把上面内容学习理解之后，下面对本文内容做一些浅显的阐释。

本文内容的浅显阐释

    ”道法术器”4个层次，”道”是最根本的本质的规律，就如宪法一样，是最上层的根本大法。思维是运动变化的，心猿意马（这里对心猿意马作中性理解，不作贬义），一会想这，一会想那。

    数学思维运动变化之”道”(思维运动变化的本质规律、基本模式)就是：反者道之动，弱者道之用。

    ”反者道之动”，简单理解就是绕圈子打太极，绕来绕去地运动变化。转圈圈绕过去再绕回来，循环往复地运动变化。

    知晓了这个运动变化之道，就要合道。本文第二题，我们先产生从具体到抽象变化的思维念头，也就是从具体变化到抽象，有这个念头之后，我们就从200变到2n，如问题的解法，从整体之和退转到研究局部个体，也是变化，迂回绕行。把2n情况下的平均数求出来之后，最终令n=100绕回到最初的200，得到所求的平均值。

    绕圈圈(运动变化)也要有策略有讲究，否则胡乱地绕把自己绕晕就不好了。 ”弱者道之用”就是合情合理绕圈圈的策略：用弱，顺势而为地绕圈圈，如水流动绕开阻挡，顺势迂回流淌一样。

    本文第二题，从具体变化到抽象，从整体到个体，都是用弱，因为对本题，抽象情况、个体情况是问题的薄弱点突破口，从抽象情况、个体情况入手切入，容易得出本题的解题方法和平均值。

    从”道”到”法“，好比从宪法这个上层的根本大法派生出下层的其他法律，其他法律不能违背宪法，这就是以上统下。从”法”到”术”到”器”，好比从其他法律再派生出更具体的更细的法律条文和行为制度，这也是以上统下。从”道”到”法“到术”到”器”，依层以降，也好比从树根，到树干、树枝、树梢。

“向对立面转化”的辩证解读

    辩证法”矛盾对立统一，相互联系、相互转化、向对立面转化“，这里讲一下本人对“向对立面转化”的辩证解读。

  ”向对立面转化”，就是”反者道之动”的反。例如从抽象到具体或从具体到抽象，从一般到特殊，从开到关，从某一状态转到其相反状态。

    根据转化的(destination)目标事物(对象)进行分类，转化可分为多种类型。”向对立面转化”是相反转化，转到对立的事物，但这只是其中一种转化类型，还有不是向对立面转化的，例如转到相关、相连、相应、相近、相似、相因、相生(生克制化)、相成的事物等。例如需要手工磨出一根绣花针，此时你会优先找几根尺寸和绣花针最接近的铁棒而不是找与绣花针区别较大的其他东西，从这些铁棒之一入手作为起点，逐步磨出(变出)绣花针，也就是我们的转化策略转化类型是”相近”转化。

    矛盾是推动事物运动发展的内在动力，它具有普遍性本质性，因此，和相近转化、相似转化等其它转化相比，“向对立面转化”(相反转化)具有普遍性、典型性、终极性。

总结

  本文从总体上数学思维智慧作了初步的解构与解读(阐述)。

    万般神通皆小术，唯有空空是大道。初高中的那点数学知识其实没啥用，也不难学，不难自学。数学知识重要，但数学思维数学思想比数学知识更重要，初高中的数学学习，锻炼数学思维能力，领悟思维的大道才是正道。

     不少人掌握了丰富的数学知识，但数学思维能力其实很一般，特别是题海战术培养出来的人。掌握丰富的数学知识不是成为数学思维高手的必要条件，大学本科或高中毕业就行，按我们误人子弟的数学教育来推测，数学思维明师很可能不是数学专业人士，数学思维高手不一定在数学教育界和数学学术界。

  对物质世界，存在物理和化学的各种变化，在思维中，在思维活动中也存在运动变化，特别是倚重思维智慧的数学中，更是仰仗思维的变化之功。领悟变化之道之精髓，精通变化之法与术，精通变化的技术与艺术，是成为数学思维高手的必由之路。

  “大道至简，衍化至繁，道隐无名，以道莅天下，其鬼不神”，领悟了思维运动变化之道就能化繁为简。面对复杂的问题，首先要从心意识思维层面进行变化，风动幡动，归根结底是心动，正所谓：万化由心，宇宙在手。

  道悦(王国波)  2022.10.9于广州