有些“不可能”比较容易被承认。例如用手写出π的前位数字。很多因素限制了可能性：人类的寿命没有长到能写出这么多数字，我们还不知道π的这么多位数字，即便知道，宇宙中也没有足够的墨水和纸让我们把它写出来。在这种问题上，人们比较容易“认命”。又如，我们假设某些想法或行动是可能的，但这会违背我们对世界的认知。永动机就是个最好的例子，因为它违背了包括能量守恒定律在内的多个物理定律。
当然，有些问题随着时间推移，会从“不可能”变为“可能”。比如在4分钟内跑完1英里曾被认为是不可能的，人类在天空中飞翔曾经也被认为是天方夜谭……因此，人们总是带着希望，希望有一天变“不可能”为“可能”，并借此成就一番事业。
然而，有些事实际上就是“不可能”的。时至今日，因为无法在现有科学框架中实现，有些事情还被认为不可能。而数学上的“不可能”是什么意思？我们又该怎么证明？比如，怎么证明如果存在整数k，使得n=2k，则n是偶数？不必检查所有可能性来证明上述定理，我们只需调用整数和偶数的一般性质就能证明了。
