递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。

【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。

斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：

fib(0)=0;

fib(1)=1;

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。

写成递归函数有：
　　int fib(int n)
　　{ if (n==0) return 0;
　　if (n==1) return 1;
　　if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
　　}
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递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。

在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。

在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。

由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。

【问题】 组合问题

问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1
　　(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1
　　(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1
　　(10)3、2、1
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分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

【程序】
　　# include
　　# define MAXN 100
　　int a[MAXN];
　　void comb(int m,int k)
　　{ int i,j;
　　for (i=m;i>=k;i--)
　　{ a[k]=i;
　　if (k>1)
　　comb(i-1,k-1);
　　else
　　{ for (j=a[0];j>0;j--)
　　printf(“%4d”,a[j]);
　　printf(“\n”);
　　}
　　}
　　}
　　void main()
　　{ a[0]=3;
　　comb(5,3);
　　}
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【问题】 背包问题

问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。

假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

对于第i件物品的选择考虑有两种可能：

(1) 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。

(2) 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。

按以上思想写出递归算法如下：
　
　try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv)
　　{ /考虑物品i包含在当前方案中的可能性/
　　if(包含物品i是可以接受的)
　　{ 将物品i包含在当前方案中;
　　if (i try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
　　else
　　/又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案/
　　以当前方案作为临时最佳方案保存;
　　恢复物品i不包含状态;
　　}
　　/考虑物品i不包含在当前方案中的可能性/
　　if (不包含物品i仅是可男考虑的)
　　if (i try(i+1,tw,tv-物品i的价值);
　　else
　　/又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案/
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以当前方案作为临时最佳方案保存;

为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：
　　物品 0 1 2 3
　　重量 5 3 2 1
　　价值 4 4 3 1
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并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。
　　按上述算法编写函数和程序如下：

【程序】
　
　# include
　　# define N 100
　　double limitW,totV,maxV;
　　int option[N],cop[N];
　　struct { double weight;
　　double value;
　　}a[N];
　　int n;
　　void find(int i,double tw,double tv)
　　{ int k;
　　/考虑物品i包含在当前方案中的可能性/
　　if (tw+a.weight<=limitW)
　　{ cop=1;
　　if (i else
　　{ for (k=0;k option[k]=cop[k];
　　maxv=tv;
　　}
　　cop=0;
　　}
　　/考虑物品i不包含在当前方案中的可能性/
　　if (tv-a.value>maxV)
　　if (i else
　　{ for (k=0;k option[k]=cop[k];
　　maxv=tv-a.value;
　　}
　　}
　　void main()
　　{ int k;
　　double w,v;
　　printf(“输入物品种数\n”);
　　scanf((“%d”,&n);
　　printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
　　for (totv=0.0,k=0;k { scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
　　a[k].weight=w;
　　a[k].value=v;
　　totV+=V;
　　}
　　printf(“输入限制重量\n”);
　　scanf(“%1f”,&limitV);
　　maxv=0.0;
　　for (k=0;k find(0,0.0,totV);
　　for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
　　printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
　　}
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作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。

同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。

【程序】
　
　# include
　　# define N 100
　　double limitW;
　　int cop[N];
　　struct ele { double weight;
　　double value;
　　} a[N];
　　int k,n;
　　struct { int flg;
　　double tw;
　　double tv;
　　}twv[N];
　　void next(int i,double tw,double tv)
　　{ twv.flg=1;
　　twv.tw=tw;
　　twv.tv=tv;
　　}
　　double find(struct ele *a,int n)
　　{ int i,k,f;
　　double maxv,tw,tv,totv;
　　maxv=0;
　　for (totv=0.0,k=0;k totv+=a[k].value;
　　next(0,0.0,totv);
　　i=0;
　　While (i>=0)
　　{ f=twv.flg;
　　tw=twv.tw;
　　tv=twv.tv;
　　switch(f)
　　{ case 1: twv.flg++;
　　if (tw+a.weight<=limitW)
　　if (i { next(i+1,tw+a.weight,tv);
　　i++;
　　}
　　else
　　{ maxv=tv;
　　for (k=0;k cop[k]=twv[k].flg!=0;
　　}
　　break;
　　case 0: i--;
　　break;
　　default: twv.flg=0;
　　if (tv-a.value>maxv)
　　if (i { next(i+1,tw,tv-a.value);
　　i++;
　　}
　　else
　　{ maxv=tv-a.value;
　　for (k=0;k cop[k]=twv[k].flg!=0;
　　}
　　break;
　　}
　　}
　　return maxv;
　　}
　　void main()
　　{ double maxv;
　　printf(“输入物品种数\n”);
　　scanf((“%d”,&n);
　　printf(“输入限制重量\n”);
　　scanf(“%1f”,&limitW);
　　printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
　　for (k=0;k scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
　　maxv=find(a,n);
　　printf(“\n选中的物品为\n”);
　　for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
　　printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
　　}
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