本文通过回顾大家熟悉的十进制，并用二进制跟它对比，让读者能够快速理解二进制和十六进制。

记分牌 (图片来源于网络)

• 〇、前言
• 一、深入理解十进制
• 二、理解二进制
• 三、理解十六进制
• 四、补充信息
• 五、结语

〇、前言

小学毕业的人都知道“十进制”是什么，在理解十进制的基础上，稍加扩展，就能理解二进制、十六进制是什么。

总的来说，只需要理解“十进制”的这三点就行：

1. 每个“位”上有0～9共十个可选的数字（digit）；
2. 在尾部每加一个0，数值（number）变为原来的10倍；
   • 例如，230是23的十倍；
3. 数值的数字数量决定了它的能表示的最大值；
   • 例如，两个数字的数值的最大值是99，三个数字的数值的最大值是999。

至于二进制的加减乘除，基本上没人会去心算或者手工计算的，所以其实是没必要去学的。你只需要知道：

• 二进制的加减乘除，学习起来要比十进制容易十倍！
  • 因为十进制的个位加法有45种场景（例如1+3=4），而二进制的单个位的加法只有4种场景。
    • 那45种场景，就是你小学时要背的那个加法表；

注：

• 本文中用数字表示0到9其中一个数字，而用数值表示诸如24、60、365等这样的数；
  • 在英语中，数字对应的单词是digit，数值对应的单词是number；
• 在书写上，6既可以是“数字6”，也可能是“数值6”，本文中如非特殊说明，默认为后者。

一、深入理解十进制

人们的学习过程的特点是：

• “通过‘已理解’的东西，去理解‘待理解’的东西”。

所以，学习二进制最好的方式，是先弄清楚十进制的一些概念，然后通过它们去理解二进制、十六进制。

1.1、生活中的十进制

大家平时会说：

• 一个星期里有7天；
• 一天有24小时；
• 一小时有60分钟；
• 一年有365天；
  • 注：闰年有366天，因为闰年的2月份有29号。

这其中的7、24、60、365等数值，就是“十进制”的记数方法下的数值。

如果把它们按照百位、十位、个位分解，可以这样表示：

把上面表格中的数值，用数学运算表达式表示的话，就成了这个样子：

1.2、对十进制的深入理解

有了上面感性的认识后，下面我们来用学术的方式来理解一下十进制。

首先是定义（来源：维基百科）：

十进制是以10为基础数字系统, 是在世界上应用最广泛的进位制。

根据上述定义，我们可以这么理解：

1. 使用了十个数字：0到9；
   • 注：是1到9九个数字，再加上0这个数字，一共10个数字；
2. “逢十进一”，例如，9 + 1 = 10；
   • 为什么要“进一”？
   • 答：因为在“个位”上只能填0到9其中一个数字，而习惯上0表示“没有”，所以9是最大的“个位数”数值了，要再表达“多一个”，就只能“突破个位数”，使用两个数字来组成一个“数字串”来表示了：10；
     • “10”中的“1”是“十位”上的数字，“0”是“个位”上的数字；
3. 对进位加法的理解。例如：8 + 7 = 15可以这么理解：
   • = 8 + (2 + 5)
   • = 8 + 2 + 5
   • = 10 + 5
   • = 15
   • 上面的2是怎么来的呢？没错，就是10 - 8 = 2，是因为我们“知道”8和7加起来是大于9的，是需要“进位”的，所以就要从7那里取出10 - 8 = 2来让8凑够10；

有了上面的理解，再学习一下下面“取值范围”，你就算是理解十进制的本质了，再坚持一下。

1.3 十进制的取值范围

下图是篮球比赛中常用的“记分牌”，每队的分数用两个数字来记数，想必你也知道了：

• 每支队伍（红队或者蓝队）的分数的取值范围是0 ～ 99。

记分牌 (图片来源于网络)

这里需要注意一下：

1. 虽然最大分数是99分，但实际上是表达了“100”种得分情况；
   • 0分也是个分数，如果某支队水平太差了，零分是有可能的；
2. 如果某支队实力实在太强，那么还是有超过99分的可能的；
   • 但此时，记分牌上是没办法把诸如“101分”之类的表达出来，因为只有“两个数字”；
     • 必要时，用01表示101分，而观众们看了那么久比赛，是“知道、记得”这支厉害的球队是超过了100分的，记分牌上的数值只是十位、个位上的数据，所以，记分牌上的01其实是“101分”。
       • 注：这就是溢出这个概念的具体表现了，只是计算机不像人那样聪明，没法记住那是“100分以外的分数”，计算机只会把01当作“数值1”来处理；

另外，要留意，考虑记数范围时，是要把0考虑在内的，所以：

• 如果某一门考试满分是100分的话，实际上是有了101种得分的可能；
  • 拓展思考：
    • 至少要多少人参加这门考试，才能保证一定有至少有两个人的分数是相同的？
      • 答案：102人；
      • 因为0到100分共有101种可能，需要再多1个人才能保证保证至少有两个人的分数是相同的。

总结：

1. 一个数字可以表示0～9一共十种(10)取值情况；
2. 两个数字可以表示00～99一共一百种(100)取值情况；
3. n个数字可以表示 10 * 10 * ... * 10 * 10 种情况；
   • 一共n个10相乘，用数学符号表达就是“10ⁿ”，读作“10的n次方”。
4. n个数字所能表示的最大的数值是：
   • “10ⁿ - 1”
   • 两个数字的最大值是： 10² - 1 = 99；
   • 三个数字的最大值是： 10³ - 1 = 999；

二、理解二进制

有了上面对十进制的深入理解，通过对比的方法，就能很容易理解二进制了。

2.1、二进制数值的书写表达方式

因为下文要用到二进制的数值了，所以需要先说明一下表达方式。

在书写或者程序中表达二进制时，如果每次都写“二进制数1010”这样的，就太啰嗦了，所以有人制定了一种表达方式，规则如下：

1. 默认情况下，一个或连起来多个数字，表达的是十进制数值；
   • 例如：7、24、365等；
2. 如果要表达二进制数值，前面加0b；
   • 例如：0b1、0b100、0b1010等都是二进制数值。

2.2、二进制的数值转换

我们理解一个二进制数值的大小，一般是将其转换为十进制来理解的，因为我们已经习惯了用十进制来思考了。

上文提到，十进制365（和101）可以理解为：

• 365 = 100 * 3 + 10 * 6 + 1 * 5
• 101 = 100 * 1 + 10 * 0 + 1 * 1

相应地，二进制转换为十进制也是使用类似的规则，区别是：

• 十进制是“十进”，采用的是“个/十/百/千/万...”的进位递增；
• 二进制是“二进”，采用的是“1/2/4/8/16/...”的进位递增；

下面以几个二进制数值来举例：

把上面表格的表达方式，用数学运算表达式表示的话，就成了这个样子：

2.3、二进制与十进制的对比总结

十进制里有0～9十个数字，二进制里只有0和1两个数字。

举例：

• 相邻每个位间的差异：
  • 十进制里，30是3的十倍，300是3的一百倍；
  • 二进制里，0b10是0b1的两倍，0b100是0b1的四倍；
• n个数字时的取值范围 （以4为例）：
  • 十进制里，0000 ~ 9999共一万（10000）个数值；
  • 二进制里，0b0000 ~ 0b1111共十六（16）个数值；

三、理解十六进制

在理解二进制的基础上，再理解十六进制，只需要转换一些概念就行。

3.1、使用十六进制的原因

计算机运作的基础是二进制（所有数据、程序都是以0和1的组合来保存的），但因为二进制的“粒度”太小，所以在书写上和程序代码中会显得啰嗦，且不便于阅读，所以需要采用另外一种方式来表达。

这就好比，在表达某个人的体重和身高时，人们会说：

• 张三的体重是60千克；
• 张三的身高是1.72米；

而不会说：

• 张三的体重是60000克；（6万克；“克”这粒度太小了）
• 张三的身高是1720毫米；（1米 = 1000毫米）

相应地，因为二进制只用到0和1两个数字，所以表达起来需要很长的数字串才能表达一个较小的数字，例如：

• 数值 168 用二进制表示，是 0b10101000，足足 8 个数字（除了"0b"这个前缀）；

因为一个位只能表达0或者1两种情况，“粒度”太小了，占太多书写空间了，并且不好阅读，所以有人就在二进制的基础上发明了十六进制表达方式；

• 注意：发明的只是新的表达方式而不是十六进制，因为十六进制老早就有了，中国古代是“一斤十六两”的，半斤就是八两，所以有“半斤八两”这个成语。

简单来说，就是把四个二进制“数字”为一组，合起来用一个“十六进制”里的“数字”来表达。

具体表达方式，请看下一小节的说明。

3.2、十六进制表达方式

上面提到，十六进制其实就是把四个二进制数字组成一组，并以一个十六进制数字来表达。

既然称之为“十六进制”，就需要有十六个数字。所以，除了十进制的0～9外，还需要引入六个“数字”，当时制定的人就选择了A、B、C、D、E、F一共六个字母。

另外，为了在书写或者源代码中与十进制数值进行区分，采取了加“0x”这样的前缀，例如：

• 0xA8 是十六进制数值，它对应的十进制数值是 168 ；
  • 具体怎么计算出168的，请请看下文的具体计算方法；

3.3、十六进制的数值转换

跟理解二进制数值一样，人们一般是将其转换为十进制来理解的，因为我们已经习惯了用十进制来思考了。

十六进制转换为十进制的规则，跟十进制的类比是：

• 十进制是“十进”，采用的是“个/十/百/千/万...”的进位递增；
• 十六进制是“十六进”，采用的是“1/16/256/4096/...”的进位递增；

下面以几个十六进制数值来举例：

把上面表格的表达方式，用数学运算表达式表示的话，就成了这个样子：

• 请留意：0xA等于10，0xF等于15 。

3.4、关于十六进制的总结

所以，你可以这样理解十六进制：

1. 一个十六进制数字，其实是四个二进制数字的组合，所以一个十六进制数字能表达的数值的数量是：
   • 2⁴ = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
2. 每个“位”上有0～9、A、B、C、D、E、F共十六个可选的数字；
   • 注：在十六进制里，A到F都是“数字”，分别对应于十进制的10～15的数值；
3. 在尾部每加一个0，数值变为原来的16倍；
   • 例如，0x30（48)是0x3（3）的16倍；
4. 数值的数字数量决定了它的能表示的最大值和取值数量；例如：
   • 一个数字的数值的最大值是0xF，即15，一共有16种取值；
     • 16¹ = 16；
   • 两个数字的数值的最大值是0xFF，即255，一共有256种取值；
     • 16² = 256；
   • 四个数字的数值的最大值是0xFFFF，即65535，一共有65536种取值；
     • 16⁴ = 65536；

四、补充信息

针对上面的描述，补充一些信息：

1. 书写二进制数值时，为了工整一般会补足四位；例如：
   • “0b110”一般会被写作“0b0110”。
2. 书写十六进制数值时，为了工整一般会补足两位或者四位；例如：
   • 0x06（补足两位）、0x01FF（补足为四位）；
3. 实际工作中比较少直接写二进制，而是写其对应的十六进制数；例如：
   • 0b0110（6），一般是写0x06（补足为两位）；

五、结语

1. 通过复习十进制的知识，稍加变化就能理解二进制、十六进制；
2. 三种进制的单数字取值范围分别是：
   • 单个十进制数字，能表达的最小数值是0，最大数值是9，一共10种取值；
   • 单个二进制数字，能表达的最小数值是0b0，最大数值是0b1，一共2种取值；
   • 单个十六进制数字，能表达的最小数值是0x0，最大数值是0xF，一共16种取值；
3. 因为0也算是一个取值，所以“能表达的数值的数量”和“最大取值”（最大数值）和的关系是：
   1. 取值的数量 = 最大取值 + 1
4. 十六进制数值到十进制数值的对应当中，有四个比较常用的值，最好记住：
   • 0xF = 0b1111 = 2*2*2*2 - 1 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15
   • 0xFF = 0x11111111 = 2⁸ - 1 = 256 - 1 = 255
     • 注：IP地址的掩码（例如255.255.255.0），跟这有关系，这里就不展开了；
   • 0xFFFF = 2¹⁶ - 1 = 65536 - 1 = 65535
   • 0xFFFFFFFF = 2³² - 1 = 4294967296 - 1 = 4294967295
     • 大概记住“比43亿小一点”就行了。