给定一组有固定价值和固定重量的物品，以及一个已知最大承重量的背包，求在不超过背包最大承重量的前提下，能放进背包里面的物品的最大总价值。
这一类问题是典型的使用动态规划解决的问题，我们可以把背包问题分成3种不同的子问题：0-1背包问题、完全背包和多重背包问题。下面对这三种问题分别进行讨论。
1.0-1背包问题
0-1背包问题是指每一种物品都只有一件，可以选择放或者不放。现在假设有n件物品，背包承重为m。
对于这种问题，我们可以采用一个二维数组去解决：f[i][j]，其中i代表加入背包的是前i件物品，j表示背包的承重，f[i][j]表示当前状态下能放进背包里面的物品的最大总价值。那么，f[n][m]就是我们的最终结果了。
采用动态规划，必须要知道初始状态和状态转移方程。初始状态很容易就能知道，那么状态转移方程如何求呢？对于一件物品，我们有放进或者不放进背包两种选择：
（1）假如我们放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，这里的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]应该这么理解：在没放这件物品之前的状态值加上要放进去这件物品的价值。而对于f[i - 1][j - weight[i]]这部分，i - 1很容易理解，关键是 j - weight[i]这里，我们要明白：要把这件物品放进背包，就得在背包里面预留这一部分空间。
（2）假如我们不放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j]，这个很容易理解。因此，我们的状态转移方程就是：f[i][j] = max(f[i][j] = f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) 。当然，还有一种特殊的情况，就是背包放不下当前这一件物品，这种情况下f[i][j] = f[i - 1][j]。
#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int main() {
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> weight[i] >> value[i];
}
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= 1; j--) {
if (weight[i] <= j) {
f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
}
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}
题目描述
这个表格对于理解0-1背包问题很有用，我们利用它来理解一下为什么要把第二层循环颠倒这个问题。考虑d9这一项，要求出这个状态，我们有可能利用到的就是e1到e8这8个状态，当我们把第二层循环颠倒过来时，当我们要求f[j]时，f[j -1]到f[1]还保存着下面一行的状态，因此可以采用一维数组解决。我们可以考虑一下假如不把第二层循环颠倒，当要求f[j]时，f[j - 1]到f[1]已经是同一行的状态了，根本没法求。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= 1; j--) {
if (weight[i] <= j) {
f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
}
}
}
2.完全背包问题
#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
int main() {
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> weight[i] >> value[i];
}
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = weight[i]; j <= m; j++) {
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}
完全背包问题与0-1背包问题的区别
1.完全背包问题内层循环是顺序的，而0-1背包问题是逆序的。。
0-1背包为逆序的原因是为了求max中的两项是前一状态的值。
而现在是要求当前状态的值，因为每种背包都是无限的，当我们从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包所得的价值，这里我们添加的不是前一个背包，而且当前背包，所以应考虑当前状态。
3.多重背包问题
多重背包问题限定了一种物品的个数，解决多重背包问题，只需要把它转化为0-1背包问题即可。比如，有2件价值为5，重量为2的同一物品，我们就可以分为物品a和物品b，a和b的价值都为5，重量都为2，但我们把它们视作不同的物品。
#include <iostream>
using namespace std;
#define V 1000
int weight[50 + 1];
int value[50 + 1];
int num[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
int main() {
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量、价值和数量:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
}
int k = n + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (num[i] != 1) {
weight[k] = weight[i];
value[k] = value[i];
k++;
num[i]--;
}
}
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
for (int j = m; j >= 1; j--) {
if (weight[i] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}
