机器学习基础·牛顿法和拟牛顿法

摘要

牛顿法原理，算法流程，拟牛顿法的思路

正文

问题描述
$f(x)$ 是 $R^n$ 上具有二阶连续偏导的函数，求 $\min_{x\in R^n}f(x)$
原理
(1) 二阶泰勒展开
$f(x)=f(x_k)+g_k(x-x_k)+\frac12(x-x_k)^TH(x_k)(x-x_k),g_k=\nabla f(x)$
(2) 利用极值点导数为0求 $x_{k+1}$
若 $x_{k+1}$ 为极值点，则它的导数 $g_{k+1}=0$ ，通过对二阶泰勒展开式求导可得：
$g_{k+1}=g_k+H_k(x_{k+1}-x_k)=0\ \implies \ x_{k+1}=x_k-H^{-1}g_k$
算法流程
输入:目标函数 $f(x)$ ，梯度 $g(x)=\nabla f(x)$ ，黑塞矩阵 $H(x)$ ，精度要求 $\epsilon$
输出: $f(x)$ 的极小值点
(1) 取初值 $x_0$ ，置 $k=0$
(2) 计算 $g_k$
(3) 若 $g_k \lt \epsilon$ ，则停止计算，得解 $x^*=x_k$
(4) 计算 $H_k=H(x_k)$ ,求 $p_k,H_kp_k=-g_k$
(5) 计算 $x_{k+1}=x_k+p_k$
(6) $k=k+1$ ，转(2)
拟牛顿法思路
由于 $H_k^{-1}$ 计算比较复杂，所以使用其他正定矩阵近似 $H_k$ 或 $H_k^{-1}$ 。

参考资料

[1] 李航.统计学习方法(第二版).清华大学出版社,2019.

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