半无限长弦振动问题

一般形式

$\begin{cases} u_{tt}=a^2 u_{xx}+f(x,t), \quad x>0 , t>0 \\ u|_{t=0}=u_0 (x), u_t|_{t=0}=u_1(x), \quad x \geq 0 \\ (\alpha u + \beta u_x)|_{x=0} = \varphi(t), \quad t \geq 0 \end{cases}$
求解流程：

首先，找到问题的特解，并可将通解写为 $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)+u^*$
其次，求解初值（柯西）问题。此时得到的是 $x+at \geq 0$ ，且 $x-at \geq 0$ 的情况下的解。
然后，求解边值问题。此时得到的是 $x+at \geq 0$ ，且 $x-at \leq 0$ 的情况下的解。
最后，合并结果。

如何求特解：

我们把 $\Box = \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - a^2 \Delta$ 称为波动算子或达朗贝尔算子。

如果等式 $u_{tt}=a^2 \Delta u + f(x,t)$ 满足条件 $\Box f(x,t)=\frac{\partial ^2 f(x,t)}{\partial t^2} - a^2 \Delta f(x,t)=bf(x,t),\quad b\neq 0$ ，则 $u^{*}=cf(x,t)$
如果自由项的形式为 $f(x,t)=\varphi_0(t) \psi_0(x)$ ，同时 $\Delta \psi_0(x)=\lambda \psi_0(x)$ ，则 $u^{*}=g(t)\psi_0(x)$ ，其中 $g(t)$ 为未知函数。

具体操作（两种方法）：

按上述求解流程，不需要将方程转化为齐次形式，也不需要用到达朗贝尔公式。需要注意，两个不同区间解得的 $g(\xi),g_1(\xi)$ 其在 $0$ 处的一阶和二阶导数需要检验是否相等。
将方程转化为齐次形式，并使用达朗贝尔公式可求出一个区间的 $g(\xi)$ 。然后是求解一个古尔萨特问题，可求得第二个区间的 $g_1(\xi)$ 。

可以通过延拓来求解上述问题，但不总是那么容易写出延拓后的函数。

参考文献

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