CS224W-图神经网络 笔记5.1：Spectral Clustering - 谱聚类基础知识点
本文总结之日CS224W Winter 2021只更新到了第四节，所以下文会参考2021年课程的PPT并结合2019年秋季课程进行总结以求内容完整
[toc]
1 引言
本节从矩阵计算和线性代数角度来分析图。而相关矩阵包括：邻接矩阵和图拉普拉斯矩阵。在进入具体谱聚类算法介绍前，有必要先熟悉下相关矩阵、特征值和特征向量等相关知识。
1.1 线性代数矩阵知识
1.2 图的矩阵表示
先复习下图的矩阵表示形式。对于无向图 ，与之相关的矩阵表示有如下三种：
- 邻接矩阵A
- 度矩阵D
- 拉普拉斯矩阵L=D-A
其中拉普拉斯矩阵的性质，是由其实对称举证性质决定的。其中有一点，关于特征值大于等于0（半正定）的证明如下：
来源：
http://www.sofasofa.io/forum_main_post.php?postid=1004484
2 一些概念
下面，补充些关于谱图相关的概念。
2.1 什么是谱（Spectral）
谱的定义：谱就是指矩阵特征值的集合。该名称来自光谱，指一些纯事物的集合，就像将矩阵分解成为特征值与特征向量。定义谱半径为该方阵最大的特征值。
在谱图里面实际上矩阵指拉普拉斯矩阵 ，对它的特征值和特征向量的分解称为谱分解.（特征分解，对角化，谱分解是一个概念）
谱图理论（Spectral graph partitioning）
图谱论是指分析图G的矩阵表示的“频谱”。频谱是指由其对应的特征值的大小升序排序的一组图的特征向量：
2.2 图拉普拉斯矩阵的由来
整个谱图理论都是围绕着图的拉普拉斯矩阵为核心进行展开的，那么为什么将其定义为D-W呢？它其实是拉普拉斯算子在图上的推广，它是离散的拉普拉斯算子。
其第 i 行其实是第 i 个节点在产生扰动时对其他节点产生的收益累积。
具体可以看下面的链接里的公式推导：
2.3 拉普拉斯矩阵和拉普拉斯算子之间关系？
拉普拉斯矩阵是离散的拉普拉斯算子。具体分析参考下文
2.4 拉普拉斯算子的物理含义？
根据定义，函数的拉普拉斯算子又可以写成
，其被定义为函数 梯度的
散度。
拉普拉斯算子实际上衡量了在空间中的每一点处，该函数梯度（向量场）是倾向于增加还是减少.
3 图划分
3.1 图划分与社区发现之间联系与区别
联系
图划分（graph partitioning）与社区发现（community detection):二者都是根据网络中的边的连接模式，把网络中的顶点划分成群组、簇或者社区。使得同一群组间节点紧密连接，而不同群组间只有少数的边。
区别
- 图划分得到的
群组的数量基本是确定的，而社区发现是不确定的。 - 另外，从
目的角度看，前者的目的通常是将网络划分为更多更小的块，为了划分而划分。没有好的划分，也要尽量在不好的划分中选择一种。而社区发现则是为了了解网络结构，没有符合条件的划分可以不划分。
这小节，算是铺垫。具体图划分以及谱聚类放到下一小结，再做讨论。
4 参考文章
- GNN教程：第六篇Spectral算法细节详解！
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/85287578
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/84649941
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/81502804
- https://linalg.apachecn.org/#/docs/chapter21
- https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6702188.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral
- http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/sgta/SpectTut.pdf
- http://www.math.ucsd.edu/~fan/wp/cheeger.pdf
