高等代数理论基础79：若尔当标准形的几何理论(2)

若尔当标准形的几何理论(2)

定义：设 $\mathscr{A}$ 是 $\C$ 上n维空间 $V$ 上的一个线性变换, $W$ 是一个 $\mathscr{A}$ -不变子空间,若有 $\eta\in W$ ,使 $W=P[\mathscr{A}]\eta$ ,则称 $W$ 为 $V$ 的一个 $\mathscr{A}$ -循环子空间

注：定义对任一数域P有效

引理： $V$ , $\mathscr{A}$

$W=P[\mathscr{A}]\eta$ , $\eta$ 的最小多项式为 $p(\lambda)$ ,则 $\dim(W)=\partial(p(\lambda))$

证明：

设 $\partial(p(\lambda))=k$ , $\forall w\in W$

有 $f(\lambda)\in \C[\lambda]$ ,使 $w=f(\mathscr{A})\eta$

作带余除法

$f(\lambda)=q(\lambda)p(\lambda)+(l_0+l_1\lambda+\cdots+l_{k-1}\lambda^{k-1})$

则 $w=f(\mathscr{A})\eta=q(\mathscr{A})p(\mathscr{A})\eta+(l_0\mathscr{E}+l_1\mathscr{A}+\cdots+l_{k-1}\mathscr{A}^{k-1})\eta$

$=l_0\eta+l_1\mathscr{A}\eta+\cdots+l_{k-1}\mathscr{A}^{k-1}\eta$

是 $\eta,\mathscr{A}\eta,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\eta$ 的线性组合

若有 $l_0\eta+l_1\mathscr{A}\eta+\cdots+l_{k-1}\mathscr{A}^{k-1}\eta=0$

即 $(l_0\mathscr{E}+l_1\mathscr{A}+\cdots+l_{k-1}\mathscr{A}^{k-1})\eta=0$

由 $p(\lambda)$ 是 $\eta$ 的最小多项式,且为 $k$ 次

故 $l_0=\cdots=l_{k-1}=0$

即 $\eta,\mathscr{A}\eta,\cdots,\mathscr{A}^{k-1}\eta$ 线性无关,故为 $W$ 的基

故 $\dim(W)=k=\partial(p(\lambda))\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理： $V,\mathscr{A}$

若由 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\in V$ ,使得

1. $V=P[\mathscr{A}]\eta_1+P[\mathscr{A}]\eta_2+\cdots+P[\mathscr{A}]\eta_s$

2.设每个 $\eta_i$ 对 $\mathscr{A}$ 的最小多项式为 $p_i(\lambda)$ ,且 $\sum\limits_{i=1}^s\partial(p_i(\lambda))=\dim(V)$

则 $V=P[\mathscr{A}]\eta_1+P[\mathscr{A}]\eta_2+\cdots+P[\mathscr{A}]\eta_s$ 为直和

证明：

$\dim(P[\mathscr{A}]\eta_i)=\partial(p_i(\lambda))$

故 $\dim(V)=\sum\limits_{i=1}^s\partial(p_i(\lambda))=\sum\limits_{i=1}^s\dim(p[\mathscr{A}]\eta_i)$

$\therefore V=P[\mathscr{A}]\eta_1+P[\mathscr{A}]\eta_2+\cdots+P[\mathscr{A}]\eta_s$ 为直和 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $V$ 一定是一些 $\mathscr{A}$ -循环子空间的直和

证明：

取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 为 $V$ 的一组基,设 $\mathscr{A}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

或 $(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

对 $\lambda E-A$ ,有可逆的 $P(\lambda),Q(\lambda)$ ,使得

$P(\lambda)(\lambda E-A)Q(\lambda)=\begin{pmatrix}h_1(\lambda)\\&h_2(\lambda)\\& &\ddots\\& & &h_n(\lambda)\end{pmatrix}$ 是对角形

且 $h_1(\lambda),\cdots,h_n(\lambda)$ 的首项系数为1

故 $O=P(\mathscr{A})(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

$=[P(\mathscr{A})(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)Q(\mathscr{A})]Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}h_1(\lambda)\\&h_2(\lambda)\\& &\ddots\\& & &h_n(\lambda)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}$

其中 $\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

故 $h_i(\mathscr{A})\eta_i=0$ , $h_i(\lambda)$ 是 $\eta_i$ 的零化多项式, $i=1,2,\cdots,n$

设 $p_i(\lambda)$ 是 $\eta_i$ 的最小多项式,则 $\partial(p_i(\lambda))\le \partial(h_i(\lambda))$

且有 $p_i(\lambda)|h_i(\lambda)$

$\sum\limits_{i=1}^n\partial(h_i(\lambda))=\partial(|\lambda E-A|)=\dim(V)$

又 $\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=Q(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\sum\limits_{j=1}^nq_{1j}(\mathscr{A})\eta_j\\\sum\limits_{j=1}^nq_{2j}(\mathscr{A})\eta_j\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^nq_{nj}(\mathscr{A})\eta_j\end{pmatrix}$

其中 $Q(\lambda)=(q_{ij}(\lambda))$

故 $\varepsilon_i=\sum\limits_{j=1}^nq_{ij}(\mathscr{A})\eta_j\in P[\mathscr{A}]\eta_1+\cdots+P[\mathscr{A}]\eta_n$

易知 $V=P[\mathscr{A}]\eta_1+\cdots+P[\mathscr{A}]\eta_n$

故 $\dim(V)\le \sum\limits_{i=1}^n\dim(P[\mathscr{A}]\eta_i)$

$\dim(V)\le \sum\limits_{i=1}^m\dim(P[\mathscr{A}]\eta_i)=\sum\limits_{i=1}^n\partial(p_i(\lambda))$

$\le\sum\limits_{i=1}^n\partial(h_i(\lambda))=\dim(V)$

上式成立,

当所有等号成立即证

$\dim(V)=\sum\limits_{i=1}^n\dim(P[\mathscr{A}]\eta_i)=\sum\limits_{i=1}^n\partial(p_i(\lambda))$

故 $V=P[\mathscr{A}]\eta_1\oplus P[\mathscr{A}]\eta_2\oplus \cdots\oplus P[\mathscr{A}]\eta_n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.可得 $p_i(\lambda)=h_i(\lambda),i=1,2,\cdots,n$

即 $h_i(\lambda)$ 是 $\eta_i$ 的最小多项式

已证 $\sum\limits_{i=1}^n\partial(p_i(\lambda))=\sum\limits_{i=1}^n\partial(h_i(\lambda))$

又 $\partial(p_i(\lambda))\le \partial(h_i(\lambda)),i=1,2,\cdots,n$

可得 $\partial(p_i(\lambda))=\partial(h_i(\lambda)),i=1,2,\cdots,n$

又 $p_i(\lambda)|h_i(\lambda)$ 都为首一多项式

故 $h_i(\lambda)=p_i(\lambda)$

故 $h_i(\lambda)$ 是 $\eta_i$ 的最小多项式

2.若某 $h_i(\lambda)=1$ ,则 $h_i(\mathscr{A})\eta_i=\mathscr{E}\eta_i=0$

即 $\eta_i=0$

从 $\eta_1,\cdots,\eta_n$ 中去掉 $\eta_i=0$

将剩下的 $\eta_i$ 重新编号,仍记作 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s$

则 $V=P[\mathscr{A}]\eta_1\oplus \cdots\oplus P[\mathscr{A}]\eta_s$

且各 $\eta_i$ 的最小多项式次数 $\ge 1$

引理：设 $V=P[\mathscr{A}]\eta$ , $\eta$ 的最小多项式为 $h(\lambda)=(\lambda-\mu_1)^{l_1}(\lambda-\mu_2)^{l_2}\cdots(\lambda-\mu_t)^{l_t}$ , $\mu_i$ 互不相同,则有 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\in V$ ,使 $V=P[\mathscr{A}]\xi_1\oplus P[\mathscr{A}]\xi_2\oplus \cdots \oplus P[\mathscr{A}]\xi_t$ ,且 $\xi_i$ 对于 $\mathscr{A}$ 的最小多项式是 $(\lambda-\mu_i)^{l_i}$

证明：

令 $m_i(\lambda)={h(\lambda)\over (\lambda-\mu_i)^{l_i}}$

作 $\xi_i=m_i(\mathscr{A})\eta,1\le i\lt t$

易知 $\xi_i$ 的最小多项式为 $(\lambda-\mu_i)^{l_i}$

又 $m_1(\lambda),\cdots,m_t(\lambda)$ 互素

有 $u_1(\lambda),u_2(\lambda),\cdots,u_t(\lambda)$ 使得

$u_1(\lambda)m_1(\lambda)+u_2(\lambda)m_2(\lambda)+\cdots+u_t(\lambda)m_t(\lambda)=1$

则 $\eta=u_1(\mathscr{A})m_1(\mathscr{A})\eta+u_2(\mathscr{A})m_2(\mathscr{A})\eta+\cdots+u_t(\mathscr{A})m_t(\mathscr{A})\eta$

$=u_1(\mathscr{A})\xi_1+u_2(\mathscr{A})\xi_2+\cdots+u_t(\mathscr{A})\xi_t\in P[\mathscr{A}]\xi_1+\cdots+P[\mathscr{A}]\xi_t$

$V=P[\mathscr{A}]\eta=P[\mathscr{A}]\xi_1+P[\mathscr{A}]\xi_2+\cdots+P[\mathscr{A}]\xi_t$

又 $\partial(h(t))=\dim(P[\mathscr{A}]\eta)$

故 $\sum\limits_{i=1}^t\dim(P[\mathscr{A}]\xi_i)=\sum\limits_{i=1}^tl_i$

$=\partial(h(t))=\dim(P[\mathscr{A}]\eta)=\dim(V)$

故 $V=P[\mathscr{A}]\xi_1\oplus P[\mathscr{A}]\xi_2\oplus P[\mathscr{A}]\xi_t\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $V,\mathscr{A}$ ,则有 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\in V$ ,使 $V=P[\mathscr{A}]\alpha_1\oplus \cdots\oplus P[\mathscr{A}]\alpha_s$ ,且 $\alpha_i$ 对 $\mathscr{A}$ 的最小多项式为 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i},k_i\ge 1$

证明：

有 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\in V$ ,使 $V=P[\mathscr{A}]\eta_1\oplus\cdots\oplus P[\mathscr{A}]\eta_s$

可将每个 $P[\mathscr{A}]\eta_i$ 继续分解,直到满足要求

故最后有 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\in V$ ,使 $V$ 有分解式

$V=P[\mathscr{A}]\alpha_1\oplus \cdots\oplus P[\mathscr{A}]\alpha_s$

且 $\alpha_i$ 对 $\mathscr{A}$ 的最小多项式为 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i},k_i\ge 1\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $V,\mathscr{A}$ ,则 $V$ 中有基,使 $\mathscr{A}$ 在该组基下的矩阵为若尔当标准形,且除去各若尔当块的排列顺序外,若尔当标准形由 $\mathscr{A}$ 唯一确定

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