高斯模糊(Gaussian Blur)笔记

高斯模糊

在我的理解中高斯模糊与高斯滤波器(Gaussian Filter)和高斯平滑(Gaussian Smoothing)是相同的。

原理

周边像素的平均值

"模糊",就是将图像中每个像素值进行重置的过程,这个过程采用将每一个像素都设置成周边像素的平均值。

高斯模糊原理理解

上图中,2是中间点,周边点都是1。假设周边的点对中间点的影响都是相同的,即构造的卷积算子如下:

卷积算子

然后计算求和:

计算

将图中‘2’置为:

结果

"中间点"取"周围点"的平均值,变成10/9。在数值上,这是一种"平滑化"。在图形上,就相当于产生"模糊"效果,"中间点"失去细节。
显然,计算平均值时,取值范围越大,"模糊效果"越强烈。如下三幅图,分别表示原图,3X3和5X5的模糊效果图。

原图
3X3
5X5

接下来的问题就是,既然每个点都要取周边像素的平均值,那么应该如何分配权重呢?
如果使用简单平均,显然不是很合理,因为图像都是连续的,越靠近的点关系越密切,越远离的点关系越疏远。因此,加权平均更合理,距离越近的点权重越大,距离越远的点权重越小。

正态分布的权重

正态分布显然是一种可取的权重分配模式。
在图形上,正态分布是一种钟形曲线,越接近中心,取值越大,越远离中心,取值越小。
计算平均值的时候,我们只需要将"中心点"作为原点,其他点按照其在正态曲线上的位置,分配权重,就可以得到一个加权平均值。

高斯函数

高斯函数

正态分布的密度函数叫做"高斯函数"(Gaussian function)。它的一维形式是:


一维形式

其中,μ是x的均值,σ是x的方差。因为计算平均值的时候,中心点就是原点,所以μ等于0。


一维形式简化

上面的正态分布是一维的,图像都是二维的,所以我们需要二维的正态分布。
二维高斯函数
二维高斯函数分布

有了这个函数 ,就可以计算每个点的权重了。

权重矩阵

假定中心点的坐标是(0,0),那么距离它最近的8个点的坐标如下:

相邻点

更远的点以此类推。
为了计算权重矩阵,需要设定σ的值。假定σ=1.5,则模糊半径为1的权重矩阵如下:


权重矩阵

这9个点的权重总和等于0.4787147,如果只计算这9个点的加权平均,还必须让它们的权重之和等于1,因此上面9个值还要分别除以0.4787147,得到最终的权重矩阵。

最终权重矩阵

计算高斯模糊

有了权重矩阵,就可以计算高斯模糊的值了。假设现有9个像素点,灰度值(0-255)如下:

像素点

每个点乘以自己的权重值:

模糊

得到

结果

将这9个值加起来,就是中心点的高斯模糊的值。
对所有点重复这个过程,就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片,可以对RGB三个通道分别做高斯模糊。

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