概率论与数理统计-浙大第四版

第一章概率论基本概念

写出下列随机试验的样本空间S：

样本空间即试验结果的集合

(1) [0,100]
(2) 10,11,...
(3) --,+--,++++,+++-,++--,++-+,+-++,+-+-,-+++,-++-,-+-+,-+--
(4) (x,y), 0<=x,y<=1

设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

$(1) \quad A \bigcap \overline{B \bigcup C} \\ (2) \quad A \bigcap B \bigcap \overline C \\ (3) \quad A \bigcup B \bigcup C\\ (4) \quad A \bigcap B \bigcap C\\ (5) \quad \overline{A \bigcup B \bigcup C}\\ (6) \quad [\overline{A \bigcup B \bigcup C}] \bigcup [A\bigcap \overline{B\bigcup C}]\bigcup[B\bigcap \overline{A\bigcup C}]\bigcup [C\bigcap \overline{A\bigcup B}]\\$

(1)

$P=P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)=\frac{5}{8}\\$

(2)

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{11}{15}\\ P(\overline A \quad \overline B)=1-P(A\bigcup B)=\frac{4}{15}\\ P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=\frac{51}{60}$

(3)

$P(A\overline B)=P(A)=1/2\\ P(A\overline B)=P(A)-P(AB)=3/8$

设A,B是两个事件
(1)
$设a \in A\overline B,则a \notin \overline AB,而A\overline B=\overline A B, 说明a不存在，即A\overline B=\emptyset \Longrightarrow A=B\\$
(2)
$P=P(A\overline B)+P(\overline A B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)\\$
10片药片中有5片是安慰剂
(1)
$P=1-\frac{\mathrm{C}_{5}^{1}\mathrm{C}_{5}^{4}+\mathrm{C}_{5}^{5}}{\mathrm{C}_{10}^{5}}$
(2)
$P=\frac{5}{10}\frac{4}{9}\frac{3}{8}$
在房间内有10人...
$(1) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}\\ (2) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}\\$
某油漆公司发出17桶油漆...
$P=\frac{\mathrm{C}_{10}^{4}\mathrm{C}_{4}^{3}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{17}^{9}}\\$
在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件。
$(1) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{400}^{90}\mathrm{C}_{1100}^{110}}{\mathrm{C}_{1500}^{200}}\\ (2) \quad P=1-\frac{\mathrm{C}_{400}^{1}\mathrm{C}_{1100}^{199}}{\mathrm{C}_{1500}^{200}} - \frac{\mathrm{C}_{1100}^{200}}{\mathrm{C}_{1500}^{200}}\\\\$
从5双不同的鞋子里，任意去4只，问至少配成一双的概率
$P=1-\frac{\mathrm{C}_{5}^{4}2^4}{\mathrm{C}_{10}^{4}},选不同的4双，每双任选一只$
在11张卡片上分别写上...
$P=\frac{1\cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{\mathrm{A}_{11}^{7}},按次序选字母$
将3只球随机放入4个杯子，求杯子中最大球数为1，2，3的概率
$P(X=1)=\frac{\mathrm{A}_{4}^{3}}{4^3}\\ P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)\\ P(X=3)=\frac{\mathrm{A}_{4}^{1}}{4^3}\\$
50只铆钉随机...
$P=\frac{\mathrm{C}_{47}^{27}}{\mathrm{C}_{50}^{30}}\cdot\frac{\mathrm{C}_{10}^{1}}{\mathrm{C}_{30}^{3}},把三个弱铆钉取出来，排在一个部件上\\$
一个俱乐部有5名一年级学生
$(1) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{5}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{12}^{4}}\\ (2) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{12}^{5}}+\frac{\mathrm{C}_{5}^{}\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{12}^{5}}+\frac{\mathrm{C}_{5}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{12}^{5}}+\frac{\mathrm{C}_{5}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{5}}\\$

$(1) \quad P(B|A\bigcup \overline B)=\frac{P(B\cdot A\bigcup \overline B)}{P(A\bigcup \overline B)}=\frac{0.2}{0.8}=1/4\\ (2) \quad P(AB)=P(A)P(B|A)=1/12,P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=1/12，P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3$

掷两个骰子，已知两个骰子点数和为7，求其中有一个点数为1的概率
$P=P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{2/36}{6/36}=1/3$
根据以往的资料...
$错误\\ A:P\{\overline{父亲得病}|母亲及孩子得病\}=1-P\{{父亲得病}|母亲及孩子得病\}=0.6$
已知10件产品中有两件次品...
$(1) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{8}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}\\ (2) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}\\ (3) \quad P=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{8}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}\\ (4) \quad P=1-\frac{\mathrm{C}_{9}^{1}\mathrm{C}_{8}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}\\$
某人忘记电话号码...
$P_1=\frac{1}{10}+\frac{9}{\mathrm{C}_{10}^{2}}+\frac{\mathrm{C}_{9}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}\\ P_2=\frac{1}{5}+\frac{4}{\mathrm{C}_{5}^{2}}+\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{3}}\\$

$(1) \quad P=\frac{n/(n+m)+N}{N+M+1},从甲中取出n/(n+m)个白球放入了乙中。\\ (2) \quad P=\frac{2\cdot 4/(4+5)+5}{5+4+2},从甲中取出2\cdot 4/(4+5)个白球放入了乙中。\\$

20.某种产品的商标为...
$任意两个不同字母脱落，组合后完全正确的概率为1/2,相同字母脱落，组合后必定正确\\ P=1/2+\frac{1}{2}\cdot [\frac{1}{\mathrm{C}_{5}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{C}_{5}^{2}}]=3/5$

已知男子有5%是色盲...
$设男女人数为T，P=\frac{T\cdot 5\%}{T\cdot 5\% + T\cdot 0.25\%}=\frac{20}{21}$
一学生接连参加同一课程...
$P(第一次不及格)=1-p，P(两次不及格)=(1-p)(1-p/2)\\ P(第一次及格且第二次及格)=p^2\\ P(第二次及格且第一次不及格)=\frac{p}{2}\cdot (1-p)\\ P(第一次及格|第二次及格)=\frac{p^2}{p^2+p(1-p)/2}=2p/(1+p)$
将两信息编码为...
$设信息总量为3T，真A数量=2T(1-0.02),假A数量=1T\cdot 0.01\\ P=\frac{真A数量}{真A数量+假A数量}=\frac{196}{197}$
有两厢同类零件...
$P=\frac{1}{2}[\frac{10}{50}+\frac{18}{30}]=\frac{2}{5}\\ 已知第一件是正品,那么该正品来自第一箱和第二箱的概率为p_1,p_2\\ p_1=\frac{1}{4},p_2=\frac{3}{4},\\ P(第二次取到一等品|第一次取得一等品)=p_1\cdot \frac{9}{49}+p_2\cdot \frac{17}{29}$
某人下午5：00下班...
$P=\frac{0.45}{0.45+0.2}$
病树的主人外出...
$P(树还活着)=P(浇水活)+P(不浇水活)=0.9\cdot 0.85+0.1\cdot 0.2\\ P=\frac{0.1\cdot 0.8}{0.1\cdot 0.8+0.9\cdot 0.15}$
设本体涉及的事件都有意义...
$(1) \quad P(AB|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \ge \frac{P(AB)}{P(A\bigcup B)}=\frac{P(AB\bigcap(A\bigcup B))}{P(A\bigcup B)}=P(AB|A\bigcup B)\\ (2) \quad P(A|B)=1\Longrightarrow P(AB)=P(B)\Longrightarrow P(\overline A \overline B)=P(\overline A)\\ P(\overline B|\overline A)=P(\overline A \overline B)/P(\overline A)=1\\ (3) \quad P(A)=P(A|C)+P(A|\overline C) \ge P(B|C)+P(B|\overline C)=P(B)$
有两种花籽...
$(1) \quad P=0.8\cdot 0.9=0.72\\ (2) \quad P=1-0.2\cdot 0.1=0.98\\ (3) \quad P=0.8\cdot 0.1 + 0.2\cdot 0.9=0.26$
根据报道美国人..
$(1) \quad P_1=0.44+0.13=0.57\\ (2) \quad P_2=0.13\cdot 0.37=0.0481\\ (3) \quad P_3=P_2 * 2=0.0962 (4) \quad P_4=1-0.44^2$
设事件A,B的概率均大于0
$(1) \quad 必然错\\ (2) \quad 必然错\\ (3) \quad 必然错\\ (4) \quad 可能对\\$
有一种检验艾滋病的方法...
$P=1-0.995^{140}$
试分别求一下两个系统的可靠性...
$(1) \quad P=1-[(1-p_1)+p_1(1-p_4)(1-p_2p_3)]=p_1p_2p_3+p_1p_4-p_1p_2p_3p_4\\ (2) \quad 没什么好办法$

$P_1=1-0.04^2，P_2=1-0.04^n \ge 0.9999$

$P=1-(1-1/5)(1-1/3)(1-1/4)=0.6$

$(1) \quad P_1=1-\frac{4}{7}\cdot \frac{7}{9}=\frac{5}{9}\\ (2) \quad P_2=\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{9}+\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{9}\\ (3) \quad P_3=P_2/P_1=\frac{16}{35}$

$P=\frac{\frac{m}{m+n}\cdot(\frac{1}{2})^r}{{\frac{m}{m+n}\cdot(\frac{1}{2})^r}+\frac{n}{m+n}}=\frac{m}{m+n2^r}$

$P_1=\frac{0.8\cdot0.98^3}{0.8\cdot0.98^3+0.15\cdot 0.9^3+0.05\cdot 0.1^3}=0.8731,其余两个同理\\$

$P=\frac{p_1\cdot \frac{(1-\alpha)^2\alpha^2}{4}}{p_1\cdot \frac{(1-\alpha)^2\alpha^2}{4}+p_2\cdot \frac{(1-\alpha)^3\alpha}{8}+p_3\cdot \frac{(1-\alpha)^3\alpha}{8}}=\frac{2p_1\alpha}{(3\alpha-1)p_1+1-\alpha}$

第二章随机变量及其分布

进行重复独立试验...

$(1) \quad P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\\ (2) \quad P(X=k)=\mathrm{C}_{k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}\\ (3) \quad P(X=k)=0.55^{k-1}\cdot 0.45,\sum_{i=1}^{\infty}P(X=2k)=\frac{11}{31}$

6.一大楼装有5台...
$(1) \quad P_1=\mathrm{C}_{5}^{2}0.1^20.9^3\\ (2) \quad P_2=\mathrm{C}_{5}^{3}0.1^30.9^2+\mathrm{C}_{5}^{4}0.1^40.9+\mathrm{C}_{5}^{5}0.1^5\\ (3) \quad P_3=1-\mathrm{C}_{5}^{4}0.1^40.9-\mathrm{C}_{5}^{5}0.1^5\\ (4) \quad P_4=1-\mathrm{C}_{5}^{5}0.9^5$

设事件A在每次试验...
$(1) \quad P_1=1-\mathrm{C}_{5}^{0}0.7^5-\mathrm{C}_{5}^{1}0.3\cdot 0.7^4-\mathrm{C}_{5}^{2}0.3^2\cdot 0.7^3\\ (2) \quad P_2=1-\mathrm{C}_{7}^{0}0.7^7-\mathrm{C}_{7}^{1}0.3\cdot 0.7^6-\mathrm{C}_{7}^{2}0.3^2\cdot 0.7^5\\$
甲乙两人投篮...
$P_1(k=0)=0.4^3,P_1(k=1)=3\cdot 0.4^2\cdot 0.6,\\ P_1(k=2)=3\cdot 0.4\cdot 0.6^2,P_1(k=3)=0.6^3,\\ P_2(k=0)=0.3^3,P_2(k=1)=3\cdot 0.3^2\cdot 0.7,\\ P_2(k=2)=3\cdot 0.3\cdot 0.7^2,P_2(k=3)=0.7^3,\\ (1) \quad P_1=\sum_{i=0}^{3}[P_1(k=i)\cdot P_2(k=i)]\\ (2) \quad P_2=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=0}^{j<i}[P_1(k=i)\cdot P_2(k=j)]$
有一大批产品，其验收方案...
$(1) \quad P_1=0.9^{10}\\ (2) \quad P_2=\mathrm{C}_{10}^{1}0.1\cdot 0.9^9+\mathrm{C}_{10}^{2}0.1^2\cdot 0.9^8\\ (3) \quad P_3=0.9^5\\ (4) \quad P_4=P_2\cdot P_3\\ (5) \quad P_4=P_1+P_4$

$(1) \quad P_1=\frac{1}{\mathrm{C}_{8}^{4}}=\frac{1}{70}\\ (2) \quad P_2=\mathrm{C}_{10}^{3}(\frac{1}{70})^3(\frac{69}{70})^7,P_2极小，靠猜几乎不能完成，说明有区分能力$

$P(k=0)=\frac{e^{-6}6^k}{k!}=e^{-6}=0.0025$

$(1) \quad P_1(k=8)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{e^{-4}4^8}{8!}\\ (2) \quad P_2=1-P(k=0)-P(k=1)-P(k=2)-P(k=3)=0.5665$

$(1) \quad 12点-15点，呼叫率X_1\sim P(\frac{3}{2}),P(k=0)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=e^{\frac{2}{3}}\\ (2) \quad 12点-17点，呼叫率X_2\sim P(\frac{5}{2}),P=1-P(k=0)=1-e^{\frac{2}{5}}$

$(1) \quad X_1\sim P(\frac{1}{3}),P(k=1)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{1}{3}e^{1/3}\\ (2) \quad P(k=0)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}=e^{-2t}>0.5 \Longrightarrow t \le \frac{ln2}{2}小时$

$P(X\leq 10)=\sum_{i=0}^{10}\mathrm{C}_{5000}^{i}0.0015^i\cdot 0.9985^{5000-i}=F(10)=0.8622\\$

$P(X\leq 1)=\sum_{i=0}^{1}\mathrm{C}_{1000}^{i}0.0001^i\cdot 0.9999^{1000-i}=F(1) \Longrightarrow P=1-F(1)\\$

$(1) \quad P_1=F(3)=1-e^{-1.2}\\ (2) \quad P_2=1-F(4)=e^{-1.6}\\ (3) \quad P_3=F(4)-F(3)=e^{-1.2}-e^{-1.6}\\ (4) \quad P_4=F(3)+1-F(4)\\ (5) \quad P_5=0$

$(1) \quad \int_{}{}f(x)dx=\int_{}{}Ax^2e^{-x^2/b}dx=-\frac{Ab}{2}[xe^{-\frac{x^2}{b}}|_{0}{\infty}-\int_{}{}e^{\frac{-x^2}{2}}dx]=\frac{Ab}{2}\int_{}{}e^{\frac{-x^2}{2}}dx=1\\ A=\frac{4}{b\sqrt{\pi b}}\\ (2) \quad F(x)=\int_{\infty}^{x}f(t)dt=\int_{\infty}^{x}\frac{1}{241}e^{-t/241}dt=1-e^{-x/241}\\ P(50 \lt T \lt 100)=F(100)-F(50)=e^{-50/241}-e^{-100/241}$

$F(x)=\int_{1000}^{x}f(t)dt=1-\frac{1000}{x}\\ P(X>1500)=1-F(1500)=\frac{2}{3}\\ P(至少两个大于1500)=1-P(没有大于1500的)-P(一个大于1500)=1-(\frac{1}{3})^5-5\cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot \frac{2}{3}=\frac{232}{243}$

$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=1-e^{-x/5}, x \gt 0 \\ P(X>10)=1-F(10)=e^{-2}, Y\sim B(5,e^{-2}) \\ P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-(1-e^{-2})^5$

$方程有实根，则\Delta=16K^2-4\cdot 4\cdot (K+2) \ge 0,\Longrightarrow K \le -1 \bigcup 2 \le K \Longrightarrow P=\frac{3}{5}\\$

$(1) \quad P(2 \lt X \leq 5)=P(\frac{2-3}{2} \lt \frac{X-3}{2} \leq \frac{5-3}{2})=\Phi(1)-\Phi(-\frac{1}{2})\\ P(-4 \lt X \leq 10)=\Phi(\frac{7}{2})-\Phi(-\frac{7}{2})=2\Phi(\frac{7}{2})-1\\ P(|X| > 2)=1+P(X\lt-2)-P(X\lt2)=1+\Phi(-\frac{5}{2})-\Phi(-\frac{1}{2}) P(X\gt3)=1/2\\ (2) \quad 各占一半，c=3\\ (3) \quad P(X>d)=1-P(X \leq d)=1-\Phi(\frac{d-3}{2}) \ge 0.9,查表d \leq 0.436\\$

$(1) \quad P(X \leq 105) = \Phi(\frac{105-110}{12})=1-\Phi(5/12)\\ P(100\lt X \leq 120)=\Phi(\frac{120-110}{12})-\Phi(\frac{100-110}{12})=2\cdot \Phi(5/6)-1\\ (2) \quad P(X \gt x)=1-P(X \leq x)=1-\Phi(\frac{x-110}{12})\leq 0.05,查表x=129.74$

$P(|X-\mu|\gt 0.12)=P(|\frac{X-\mu}{0.06}|\gt \frac{0.12}{0.06})=2(1-\Phi(2))=0.0456\\$

$P(120 \lt X \leq 200)=2\Phi(\frac{40}{\sigma})-1\ge0.8,\Phi(\frac{40}{\sigma})\ge 0.9,查表\sigma=31.25\\$

$P_0=P(|X-120|\gt2)=2-2\Phi(1)\\ P=\mathrm{C}_{5}^{2}P_0^2(1-P_0)^3=0.3204$

$T\sim N(98.6,2),\Theta=\frac{5}{9}(T-32)\sim N(98.6-32,(\frac{5}{9})^2\cdot 2)\\$

第三章多维随机变量

第四章随机变量的数字特征

某产品的次品率为0.1...

$P(调整设备)=1-0.9^{10}-0.9^9=P_0\\ X\sim B(4,P_0) \Longrightarrow E(X)=nP_0$

有3只球，4个盒子...

$P(X=1)=1-\frac{3^3}{4^3},P(X=2)=\frac{3^3-2^3}{4^3},P(X=3)=\frac{2^3 - 1^3}{4^3},P(X=2)=\frac{1}{4^3}\\ E(X)=\sum_{i=1}^{4}P(X=i)i=\frac{25}{16}$

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1500}xf(x)dx+\int_{1500}^{3000}xf(x)dx=500+1000=1500min\\$

$(1) \quad E(X)= -0.2,E(X^2)=2.8,E(3X^2+5)=13.4\\ (2) \quad E(1/(X+1))=\sum_{k=1}^{\infty}[\frac{1}{k+1}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}] =\sum_{k=1}^{\infty}[\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{(k+1)!}] =\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}[\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}]=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}[\sum_{k=0}^{\infty}[\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}]-1]=\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}$

$(1) \quad E(Y)=\int_{0}^{\infty}2xf(x)dx=2\\ (2) \quad E(Y)=\int_{0}^{\infty}e^{-2x}f(x)dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx=\frac{1}{3}\\ (3) \quad P(U\leq x)=P(max\{X_1,\cdots,X_n\}\leq x)=P(X_1\leq x)\cdots P(X_n \leq x)=x^n=F(x)\\ 概率密度函数f(x)=F^{'}(x)=nx^{n-1},\Longrightarrow E(U)=\int_{0}^{1}xf(x)dx=\frac{n}{n+1}\\ (4) \quad P(V\leq x)=1-P(V \gt x)=1-P(min\{X_1,\cdots,X_n\}\gt x)=1-P(X_1\gt x)\cdots P(X_n \gt x)=1-[1-x]^n=F(x)\\ 概率密度函数f(x)=F^{'}(x)=n(1-x)^{n-1},\Longrightarrow E(U)=\int_{0}^{1}xf(x)dx=\frac{1}{n+1}\\$

$(1) \quad E(X)=2,E(Y)=0\\ (2) \quad E(Z)=-\frac{1}{15}\\ (3) \quad E(Z)=5$

$(1) \quad f(x)=\int_{}{}f(x,y)dy=4x^3,0\lt x \lt 1 ,E(X)=\int_{}{}xf(x)dx=\frac{4}{5}\\ f(y)=\int_{}{}f(x,y)dx=\int_{y}^{1}f(x,y)dx=12y^2-12y^3,0 \lt y \lt 1,E(Y)=\int_{}{}yf(y)dy=\frac{3}{5}\\ E(XY)=\int_{}^{}\int_{}^{}xyf(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}6y^2dy\int_{y}^{1}2xdx=\int_{0}^{1}6y^2(1-y^2)dy=\frac{1}{2}\\ E(X^2+Y^2)=E(X^2)+E(Y^2)=\frac{2}{3}+\frac{2}{5}=\frac{16}{15}\\ (2) \quad f(x)=\int_{}^{}f(x,y)dy=\int_{}^{}\frac{1}{y}e^{-(y+x/y)}dy=$

$F(1)=\int_{0}^{1}f(x)dx=1-e^{-1/4}\\ E(X)=100\cdot F(1) - 300\cdot (1-F(1))=100-400\cdot e^{-1/4}\\$

$直径R\sim U(a,b),E(R)=\frac{a+b}{2},E(\frac{R}{2})=\frac{a+b}{4},D(\frac{R}{2})=\frac{D(R)}{4}=\frac{(b-a)^2}{48},E[(\frac{R}{2})^2]=\frac{(b-a)^2}{48}+(\frac{a+b}{4})^2\\ E(\pi(\frac{R}{2})^2)=\pi \cdot E[(\frac{R}{2})^2]=\frac{\pi}{12}\cdot (a^2+b^2+ab)$

$E(X)=0,D(X)=9,E(X^2)=9,E(Y)=45V\\$

$(1) \quad E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=\frac{3}{4},E(2X_1-3X_2^2)=E(2X_1)-E(3X_2^2)=\frac{5}{8}\\ (2) \quad E(X_1X_2)=E(X_1)E(E_2)=\frac{1}{8}$

$将n个球，放入n个盒子，共有T=\mathrm{A}_{n}^{n}种分法,i号球落在i号盒子有\mathrm{A}_{n}^{n}/n种\\ E(X)=\frac{n\cdot \mathrm{A}_{n}^{n}/n }{T}=1$

$用数学归纳法可以证明E(X)=\frac{n+1}{2}\\$

$E(X)=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx=\frac{1}{2\sigma^2}\int_{\infty}^{\infty}x^2e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx=\frac{\sqrt{2\pi}\sigma^3}{2\sigma^2}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sigma\\ E(X^2)=\int_{0}^{\infty}x^2f(x)dx,分部积分得E(X^2)=2\sigma^2 \Longrightarrow D(X)=E(X^2)-E^2(X)=\frac{(4-\pi)}{2}\sigma^2$

$几何分布E(X)=\frac{1}{p},D(X)=\frac{q}{p^2}\\$

$E(A)=E(M(10-M))=10E(M)-E(M^2)=\frac{26}{3}\\ E(A^2)=E(M^2(10-M)^2)=100E(M^2)+E(M^4)-20E(M^3)=1448/15,D(A)=21.4$

$(1) \quad E(Y)=2E(X_1)-E(X_2)+3E(X_3)-\frac{1}{2}E(X_4)=7\\ D(Y)=4D(X_1)+D(X_2)+9D(X_3)+\frac{1}{4}E(X_4)=37.25\\ (2) \quad Z_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),E(Z_1)=2E(X)+E(Y)=2080,D(Z_1)=4D(X)+D(Y)=4225\\ \quad Z_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),E(Z_2)=E(X)-E(Y)=80,D(Z_1)=D(X)+D(Y)=1525 \\ P(X>Y)=1-P(X-Y<0)=1-P(\frac{X-Y-\mu_2}{\sigma_2}<-\frac{\mu_2}{\sigma^2})=\Phi(\frac{\mu_2}{\sigma^2})=0.9798\\ P(X+Y>1400)=P(\frac{X+Y-1380}{\sigma_2} > \frac{1400-1380}{\sigma_2})=P(\frac{X+Y-1380}{\sigma_2} > \frac{1400-1380}{\sqrt{1525}})=1-\Phi(\frac{20}{\sqrt{1525}})$

$(1) \quad X={X_1+\cdots+X_5},E(X)=200+240+180+260+320=1200\\ D(X)=225+240+225+265+270=1225\\ (2) \quad X\sim N(1200,1225),P(X<T)=0.99,P(\frac{X-1200}{\sqrt{1225}}<\frac{T-1200}{\sqrt{1225}})=0.99,查表得T=1282$

$P(X_1+\cdots+X_n > 2000)=0.05,P(X_1+\cdots+X_n \leq 2000)=0.95\\ P(\frac{X_1+\cdots+X_n - 50n}{2.5\cdot \sqrt{n}} \leq \frac{2000-50n}{2.5\cdot \sqrt{n}})=0.95 \Longrightarrow \Phi(\frac{2000-50n}{2.5\cdot \sqrt{n}})=0.95,n=39.4，取39$

$E(XY)=E(X)E(Y)=1/4，E(X/Y)=E(X)E(1/Y)，E(1/Y)不存在\\ E(ln(XY))=E(ln(X))+E(ln(Y))=2\int_{0}^{1}lnxdx=2[xlnx|_0^1-1]\\ \lim_{x\rightarrow 0}xlnx=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{lnx}{\frac{1}{x}},洛必达法则求导,\lim_{x\rightarrow 0}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1/x}{-1/x^2}=0\\ E(ln(XY))=-2\\ E(|Y-X|)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|y-x|dxdy=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(y-x)dxdy+\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x-y)dxdy=1/3$

$(1) \quad P(X_1=2,X_2=2,X_3=5)=P(X_1=2)P(X_2=2)P(X_3=5)=\mathrm{C}_{4}^{2}(\frac{1}{2})^4\cdot \mathrm{C}_{6}^{2}(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^4\cdot \mathrm{C}_{6}^{5}(\frac{1}{3})^5(\frac{2}{3})\\ E(X_1X_2X_3)=E(X_1)E(X_2)E(X_3)=2\cdot 2\cdot 2=8\\ E(X_1-X_2)=E(X_1)-E(X_2)=0\\ E(X_1-2X_2)=E(X_1)-2E(X_2)=-2\\ (2) \quad X,Y相互独立时，E(Z)=E(5X-Y+15)=5E(X)-E(Y)+15=29\\ D(Z)=25D(X)+D(Y)=109\\ X,Y不相关时，E(Z)=29,D(Z)=D(5X-Y)=25D(X)+D(Y)-10cov(X,Y)=109\\ \rho_{x,y}=0.25时，\frac{cov(X,Y)}{D(X)D(Y)}=0.25,cov(X,Y)=1.5\\D(Z)=D(5X-Y)=25D(X)+D(Y)-10cov(X,Y)=109-15=94$

$f(x)=\int_{-x}^{x}f(x,y)dy=2x\\ E(X)=\int_{0}^{1}xf(x)dx=2/3\\ f(y)=\begin{cases} y, \quad 0 \lt y \lt 1\\-y,\quad -1 \lt y \lt 0 \end{cases} \\ E(Y)=\int_{0}^{1}y^2dy+\int_{-1}^{0}-y^2dy=0\\ cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$

$f(x)=\int_{0}^{2}f(x,y)dy=\frac{x+1}{4},E(X)=\int_{0}^{2}xf(x)dx=\frac{7}{6}=E(Y)\\ E(XY)=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}xyf(x,y)dxdy=\frac{4}{3},Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-\frac{1}{36}\\ \rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=-\frac{1}{11},D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=\frac{5}{9}$

$Cov(Z_1,Z_2)=\alpha^2-\beta^2,\rho=\frac{Cov(Z_1,Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha^2+\beta^2}\\$

$E(W)=E[(aX+3Y)^2]=a^2E(X^2)+9E(Y^2)+6aE(XY)\\ E(XY)-E(X)E(Y)=Cov(X,Y)=\rho \cdot \sqrt{D(X)D(Y)}=-4\\ E(W)=4a^2-24a+144=4(a-3)^2+108,min(E(W))=108,a=3$

第五章大数定理及中心极限定理

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概率论与数理统计-浙大第四版

第一章 概率论基本概念

第二章 随机变量及其分布

第三章 多维随机变量

第四章 随机变量的数字特征

第五章 大数定理及中心极限定理

第一章概率论基本概念

第二章随机变量及其分布

第三章多维随机变量

第四章随机变量的数字特征

第五章大数定理及中心极限定理