线性代数第二章矩阵及其运算

$1.矩阵

定义1
$由m*n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表$

称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作

这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。以数.
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵
.
只有一列的矩阵

称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果

那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作
A=B
元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。
矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。

例1

某工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

其中
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵

其中。

例2

四个城市间的单向航线如图2.1所示：

若令

则图2.1可用矩阵表示为

一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。

例3

$n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式$

表示一个从变量
给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换

叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵

叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）

又如线性变换

对应n阶方阵

这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。对角阵也记作

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。
例如矩阵

所对应的线性变换

可看作是xOy平面上把向量OP=的变换（或看作把点P变为点P1的变换，参看图2.2），由于向量OP1是向量OP在x轴上的投影向量（即点P1是点P在x轴上的投影），因此这是一个投影变换。

$2.矩阵的运算

一、矩阵的加法

定义2 $设有两个m*n矩阵A=(a_{ij})和B={b_{ij}},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为$

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律（设A,B,C都是m*n矩阵）

.

-A称为矩阵A的负矩阵，显然有
A+(-A)=O,
由此规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B).

二、数与矩阵相乘

定义3 $数\lambda 与矩阵A的乘积记作\lambda A或A \lambda,规定为$

矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换

若想求出从

线性变换（5）可看作是先作线性变换（4）再作线性变换（3）的结果。我们把线性变换（5）叫做线性变换（3）与（4）的乘积，相应的把（5）所对应的矩阵定义为（3）与（4）所对应的的矩阵的乘积，即

一般的，我们有

定义4 $设A=（a_{ij}）是一个ms矩阵，B=（b_{ij}）是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=（c_{ij}）,其中$

并把此乘积记作
C=AB.
按此定义，一个1s行矩阵与一个s1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数。

=,
由此表明乘积矩阵AB=C的(i,j)元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积。
必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

例4

求矩阵

的乘积AB
解因为A是24矩阵，B是43矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，其乘积AB=C是一个2*3矩阵。按公式（6）有

image

例5

求矩阵

的乘积AB及BA。
解按公式（6）有

在例4中，A是24矩阵，B是43矩阵，乘积AB有意义而BA却没有意义。由此可知：
1.在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序
AB是A左乘B（B被A左乘）的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时，BA可以没有意义。
2.若A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB与BA都有意义，但AB是m阶方阵，BA是n阶方阵，当如例5，A与B都是2阶方阵，从而AB与BA也都是2阶方阵，但AB与BA仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，.
对于两个n阶方阵A,B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的。
例5还表明
1.矩阵A这就提醒读者要特别注意：若有两个矩阵A,B满足AB=O，不能得出A=O或B=O的结论；
2.若
矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配率（假设运算都是可行的）：

对于单位矩阵E，容易验证

可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.
矩阵

称为纯量阵。由可知纯量阵并且当A为n阶方阵时，有

表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。
有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂。设A是n阶方阵，定义

其中k为正整数，这就是说
由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：

其中k,l为正整数，又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般说来
类似可知，例如等公式，也只有当A与B可交换时才成立。
上节例1中有一个向三个商店发送四种产品的数量所构成的矩阵A、一个四种产品的单价与单价重量所构成的矩阵B，按矩阵相乘的定义，可知A与B的乘积矩阵AB=C=为三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵，即为向第i店所发产品的总重量。
上节例2中有一个四城市间的单向航线矩阵A，由

记
例如
，显示从2市经一次中转到3市的单向航线有1条（2-1-3,参看图2.1）；
，显示从4市经一次中转到2市的单向航线有2条（4-1-2,4-3-2）；
,显示过1市的双向航线有2条（1-2-1,1-4-1）；
，显示3市没有双向航线。
上节例3中的线性变换

利用矩阵的乘法，可记作

Y+AX,

其中

这里，列向量（列矩阵）X表示n个变量表示m个
变量.线性变换（2）把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。
用矩阵A=去左乘向量OP=,相当于把向量OP投影到X轴上。（参看图2.2）

例6

证明

四、矩阵的转置

定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 $A^T$ 。例如矩阵

矩阵转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：

例7

已知

求.
解法1

解法2

设A为n阶方阵，如果满足即

那么A称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

例8

$设列矩阵X=(x_1,x_2,...,x_n)^T满足X^TX=1,E为n阶单位阵，H=E-2XX^T,证明XX^T$ 是n阶方阵。
证明前先提醒读者注意： $X^TX=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$ 是一阶方阵，也就是一个数，而 $XX^T是n阶方阵。$

五、方阵的行列式

定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA
应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是 $n^2$ 个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数。
由A确定|A|的这个运算满足下述运算规律（设A,B为n阶方阵， $\lambda$ 为数）：

我们仅证明(iii).

由第一章例10可知,有

其中

故 C=AB
再对D的行作

有

从而按第一章例10有

于是

由（iii）可知，对于n阶矩阵A，B，一般来说

例9

行列式|A|的各个元素的代数余子式 $A_{ij}所构成的如下的矩阵$

称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵，试证

六、共轭矩阵

$3.逆矩阵

设给定一个线性变换

它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，若记

则线性变换（7）可记作

Y=AX. (8)

以A的伴随阵A*左乘上式两端，并利用例9的结果，可得

,上式可记作

（9）式表示一个从Y到X的线性变换，称为线性变换（8）的逆变换。
我们从（8）（9）两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系。用（9）代入（8），可得
Y=A(BY)=(AB)Y.
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB=E。用（8）式代入（9）得
X=B(AX)=(BA)X.
因此，BA=E，于是有
AB=BA=E。
由此我么引入逆矩阵的定义。

定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使

AB=BA=E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆阵是唯一的。这是因为：设B，C都是A的逆阵，则有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,
所以A的逆阵是惟一的。
A的逆阵记作 $A^{-1}$ ,即若AB=BA=E，则B= $A^{-1}$ .

定理1 若矩阵A可逆，则|A| $\not= 0$ .

证
$A可逆，即有A^-1,使AA^-1=E.故|A|.|A^-1|=|E|=1,所以|A|\not=0.$

定理2 若 $|A|\not=0,则矩阵A可逆，且$

其中A为矩阵A的伴随阵。
证：
由例9知
AA=A*A=|A|E,

所以，按逆阵的定义，即知A可逆，且有

当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|不等于0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
由定理2，可得下述推论

证

方阵的逆满足下述运算规律：

证
由推论，即有

证

所以

当A可逆时，还可定义

例10

求二阶矩阵A=
$\begin{pmatrix} a & b \\ c &d\end{pmatrix}的逆阵$
解：
$|A|=ad-bc,A^*=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c &a\end{pmatrix}$ ，
利用逆阵公式（10），当|A|不等于0时，有
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c &a\end{pmatrix}$

例11

求方阵

的逆阵

例12

设

求矩阵X使其满足
AXB=C
解

,
即

由上例知|A|不等于0，而|B|=1，故知A，B都可逆，且

例13

设 $P=\begin{pmatrix} 1&2 \\1&4 \end{pmatrix}，Λ=\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2 \end{pmatrix},AP=PΛ，求A^n$ .
解
$A=PΛP^{-1},A^2=PΛP^{-1}PΛP^{-1}=PΛ^2P^{-1,A^n=PΛ^nP^{-1}},$
而
$Λ=\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2 \end{pmatrix},Λ^2=\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2^2 \end{pmatrix},A^n=\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2^n \end{pmatrix},$
$|P|=2,P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2 \\-1&1 \end{pmatrix}$
$故A^n=\begin{pmatrix} 1&2 \\1&4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\0&2^n \end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2 \\-1&1 \end{pmatrix}=$
$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&2^{n+1} \\1&2^{n+2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4&-2 \\-1&1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4-2^{n+1}&2^{n}-1 \\2-2^{n+1}&2^{n+1}-1 \end{pmatrix}$ .

设 $\varphi(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{m}x^m$
为 $x的m次多项式，A为n阶矩阵，记$
$\varphi(A)=a_0E+a_{1}A+...+a_{m}A^m$ ,\varphi(A)称为矩阵A的m次多项式
因为矩阵 $A^k，A^l和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式\varphi(A)和f(A)总是可交换的，即总有：$
$\varphi(A)f(A)=f(A)=\varphi(A),$
从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。例如
$(E+A)(2E-A)=2E+A-A^2，$
$(E-A)^3=E-3A+3A^2-A^3.$
我们常用例13中计算 $A^k的方法来计算A的多项式\varphi(A),这就是：$
$(i)如果A=P\Lambda P^{-1},则A^k=PΛ^kP^{-1},从而$
$\varphi(A)=a_0E+a_1A+...+a_mA^m$
$=a_0EA^0+a_1A+...+a_mA^m$
$=a_0EPP^{-1}+a_{1}PΛP^{-1}+...+a_{m}PΛ^mP^{-1}$
$=Pa_0EP^{-1}+Pa_{1}ΛP^{-1}+...+Pa_{m}Λ^mP^{-1}$
$=P\varphi(Λ)P^{-1}$
(ii)如果 $\Lambda=diag(\lambda_{1},\lambda_{2},...\lambda_{n})为对角阵，则\Lambda^{k}=diag(λ_1^k,λ_2^k,λ_3^k,...,λ_n^k)$ ,从而
$\varphi(Λ)=a_0E+a_{1}A+...+a_{m}A^m$

最后编辑于：2020.02.26 17:46:49

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