1.基本表示

列向量：粗体符号如x总是表示列向量，其转置表示行向量。

欧氏空间： ${IR}^N$ ， $N$ 为维度。

射影空间： ${IP}^N$ ， $N$ 为维度。

2D射影空间与欧氏空间关系： ${IR}^3-{(0,0,0)}^T\iff {IP}^2$

2.2D射影平面

1）点与直线

点的表示： $\boldsymbol{x}={(x_1,x_2,x_3)}^T$

直线的表示： $\boldsymbol{l}={(l_1,l_2,l_3)}^T$

结论1：点 $x$ 在直线 $l$ 上当且仅当 $x^Tl=0$

结论2：两直线 $l$ 和 $l´$ 的交点是 $x=l\times l´$

结论3：过两点 $x$ 和 $x´$ 的直线是 $l=x\times x´$

2）理想点与无穷远线

理想点： $x_3=0$ 的点，可写成 $x={(x_1,x_2,0)}^T$

无穷远线：理想点的集合，直线方程为 $l={(0,0,1)}^T$

对偶原理：2d射影几何中的任何定理，互换定理中的点和线的位置，新的结论依然成立。

3） ${IP}^2$ 中的点和直线在 ${IR}^3$ 中的绘制

点：过原点的射线（不包括原点）

直线：过原点的平面（不包括原点）

4）二次曲线与对偶二次曲线

二次曲线的表示形式

a.二阶多项式

$ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0$

b.矩阵

$\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}=0$

其中：

$\boldsymbol{C}= \left[ \begin{matrix} a&b/2&d/2 \\ b/2&c&e/2\\d/2&e/2&f \end{matrix} \right]$

二次曲线的求解（五点法）

$\left[ \begin{matrix} x_1^2&x_1y_1&y_1^2&x_1&y_1&1 \\ x_2^2&x_y2_2&y_2^2&x_2&y_2&1 \\ x_3^2&x_3y_1&y_3^2&x_3&y_3&1 \\ x_4^2&x_4y_1&y_4^2&x_4&y_4&1 \\ x_5^2&x_5y_1&y_5^2&x_5&y_5&1 \\ \end{matrix} \right]\boldsymbol{c}=0$

其中， $\boldsymbol{c}={(a,b,c,d,e,f)}^T$ ，称二次曲线时我们可以直接说二次曲线 $\boldsymbol{C}$ 或者二次曲线 $\boldsymbol{c}$

二次曲线的切线

结论4：与二次曲线 $\boldsymbol{C}$ 相切于点 $\boldsymbol{x}$ 的直线 $\boldsymbol{l}$ 由 $\boldsymbol{l}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}$ 确定

对偶二次曲线

上面定义的二次曲线是通过二次曲线上的点来定义的，我们也可以使用二次曲线上的切线来定义二次曲线，记为：

$\boldsymbol{l^TC^*l}=0$

退化二次曲线

非满秩矩阵 $C$ 所定义的二次曲线称为退化二次曲线，退化的点二次曲线包含两条线（秩2）或一条重线（秩1）

3.射影变换

射影映射是 ${IP}^2$ 到它自身的一种满足下列条件的可逆映射 $h:$ 三点 $x_1,x_2,x_3$ 共线当且仅当

$h(x_1),h(x_2),h(x_3)$ 也共线。映射 $h:IP^2\rightarrow IP^2$ 是射影映射的充要条件是：存在一个

$3\times 3$ 非奇异矩阵（行列式不为零） $H$ ，使得 $IP^2$ 的任何一个用矢量 $x$ 表示的点都满足

$x´=h(x)=Hx$

举个栗子：消除平面透视图像的射影失真

1）直线与二次曲线的变换

在点变换 $x´=Hx$ 下

直线的变换： $l´=H^{-T}l$

二次曲线的变换： $C´=H^{-T}CH^{-1}$

对偶二次曲线的变换： $C^*´=HC^*H^T$

4.变换的层次

1）等距变换

变换方程：

$\left[ \begin{matrix} x´\\ y´\\1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \varepsilon \cos \theta &-\sin \theta &t_x \\ \varepsilon \sin \theta &\cos \theta &t_y\\0&0&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$

分块形式：

$x´=H_Ex=\left[ \begin{matrix} R&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]x$

其中 $\varepsilon =\pm 1$ ， $\varepsilon =1$ 为保向变换， $\varepsilon =-1$ 称为逆向变换， $R$ 为 $2\times 2$ 旋转矩阵，满足正交

性（ $RR^T=R^TR=I$ ）， $t$ 是二维平移向量。

不变量：长度、角度、面积。

群和定向：保向的等距变换形成一个群，逆向的等距变换没有该性质。

2）相似变换

变换方程：

$\left[ \begin{matrix} x´\\ y´\\1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} s\cos \theta &-s\sin \theta &t_x \\ s \sin \theta &s\cos\theta &t_y\\0&0&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$

分块形式：

$x´=H_Sx=\left[ \begin{matrix} sR&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]x$

不变量：直线夹角、线段长度比、面积比。

度量结构：确定到只差一个相似变换的结构，第九章将继续讨论重构。

3）仿射变换

变换方程：

$\left[ \begin{matrix} x´\\ y´\\1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &t_x \\ a_{21} &a_{22} &t_y\\0&0&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$

分块形式：

$x´=H_Ax=\left[ \begin{matrix} A&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]x$

其中 $A$ 是非奇异矩阵，可以由 $SVD$ 进一步分解：

$A=UDV^T=(UV^T)(VDV^T)=R(\theta )(R(-\phi )DR(\phi ))$

$D=\left[ \begin{matrix} \lambda _1&0\\ 0&\lambda _2 \end{matrix} \right]$

式中 $D$ 是对角阵， $U,V$ 是正交矩阵（ $UU^T=U^TU=VV^T=V^TV=I$ ）。仿射矩阵

$A$ 被看成是对原物体旋转 $\phi$ ，然后对物体的在 $x$ 和 $y$ 方向分别缩放 $\lambda _1,\lambda _2$ 倍，然后再旋转 $-\phi$ 。

（以上操作相当在物体 $\phi$ 方向对物体缩放 $\lambda _1$ 倍，在垂直于 $\phi$ 的方向缩放 $\lambda _2$ 倍），最后对物体执

行一个角度 $\theta$ 的旋转。

不变量：平行线，平行线段的长度比，面积比

4）射影变换

分块形式：

$x´=H_Ax=\left[ \begin{matrix} A&t\\ v^T&n \end{matrix} \right]x$

不变量：四个共线点的交比

补充：射影变换与仿射变换的本质区别为射影变换中的 $v$ 不是零，因此变换是非线性的。比如仿射变换作用于理想点，结果仍为理想点，而射影变换则将理想点变换为有限点。

射影变换的分解：

$H=H_SH_AH_P=\left[ \begin{matrix} sR&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} K&0\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I&0\\ v^T&n \end{matrix} \right]$

其中 $K$ 是满足 $detK=1$ 的归一化上三角矩阵。如果 $v\neq 0$ ，上述分解是有效的，如果 $s$ 为正，则分解唯一。

5.1D射影几何

直线上的点用齐次坐标表示为 $\bar{x} =(x_1,x_2)^T$ 表示， $x_2=0$ 的点称为理想点。

交比交比是 $IP^1$ 的基本射影不变量，给定4个点，交比的定义为

$Cross(\bar{x} _1,\bar{x} _2,\bar{x} _3,\bar{x} _4)=\frac{\vert \bar{x} _1\bar{x} _2 \vert \vert \bar{x} _3\bar{x} _4 \vert }{\vert \bar{x} _1\bar{x} _3\vert \vert \bar{x} _2\bar{x} _4 \vert }$

其中：

$\vert \bar{x} _i\bar{x}_j \vert =det\left[ \begin{matrix} x_{i1}&x_{j1}\\ x_{i2}&x_{j2} \end{matrix} \right]$

共点线 共点线是直线上共线点的对偶，任何四条共点线都有一个确定的交比

2D射影几何与变换

2D射影几何与变换

1.基本表示

2.2D射影平面

1）点与直线

2）理想点与无穷远线

3） ${IP}^2$ 中的点和直线在 ${IR}^3$ 中的绘制