概率密度与分布函数

分布律与概率密度函数

对于离散型随机变量，我们使用分布律来描述它的概率分布情况
对于连续型随机变量，我们使用概率密度函数来描述它的概率分布情况

离散型随机变量的概率分布

X	-1	0	1	2
$p_{k}$	0.2	0.3	0.1	0.4

概率密度函数

连续型随机变量的概率分布

定义2.3.1:

若存在非负函数 $f(x)$ ，使随机变量X取值于任何区间 $(a,b]$ 的概率可以表示为:

$P\{a < X \leq b\} = \int^{b}_{a}f(x)$

则称X为连续随机变量， $f(x)$ 为X的概率密度函数，简称概率密度

性质:
$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx = 1$

所有可能的概率之和必为1

连续型随机变量取任意一点的值的概率为零:

$P\{X = a\} \leq P\{a-\varepsilon < X \leq a\} = \int^{a}_{a-\varepsilon}f(x)dx$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 得上式右端趋进于零，所以 $P\{X = a\} = 0$

因为积分表示的是面积，所以在某个点的积分是0
所以

连续性随机变量X落在区间 $(a,b), (a,b], [a,b), [a,b]$ 上的概率都相等

A的概率虽然是零，但是A有可能发生

常见的连续型随机变量的概率密度函数

1.均匀分布

定义：如果随机变量X的概率密度函数为：
$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{b-a} & \quad a \leq x \leq b,\\ & 0 & \quad 其他, \end{aligned} \right .$
则称X服从 $[a,b]$ 区间上的均匀分布，记作 $X \backsim U[a,b]$ ，其中a,b（a < b)为常数

U取自英文Uniform(均匀)
性质： $X \backsim U[a,b]$ ，则对任意满足 $a \leq c < d \leq b$ ，总有
$P\{ c \leq X \leq d\} = \int^{d}_{c}f(x)dx=\frac{d-c}{b-a}$

2.指数分布

定义：如果随机变量X的概率密度函数为：
$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & \lambda e^{-\lambda x}, &\quad x \geq 0,\\ & 0, &\quad x < 0, \end{aligned} \right .$
$\lambda > 0$ 为常数，则称X服从参数为 $\lambda$ 的指数分布

3.正态分布

定义：如果随机变量X的概率密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} \quad -\infty < x < +\infty$
其中 $\mu, \sigma(\sigma > 0)$ 为常数，则称X服从 $\mu, \sigma$ 的正态分布或高斯分布

特别的，称函数 $\mu = 0, \sigma = 1$ 的正态分布N(0,1)为标准正态分布，记：
$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int ^{x}_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt, \quad -\infty < x < +\infty$

定理：

若随机变量 $X \backsim N(\mu, \sigma ^ 2)$ ，则对任意a, b(a < b)，有
$P\{a < X \leq b \} = \Phi(\frac{b - \mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a - \mu}{\sigma})$

分布函数

设X是一随机变量，称函数
$F(x) = P\{X \leq x\},\quad -\infty < x < +\infty$
为X 的分布函数

性质

1.对任意实数 $a < b$ ，总有 $F(a) \leq F(b)$ (单调不减性)，并且
$P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a)$

2.对任意实数x,总有 $0 \leq F(x) \leq 1$ (有界性)
$F(-\infty) = \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) = 0$
$F(+\infty) = \lim_{x \rightarrow +\infty} F(x) = 1$

3.对于离散型随机变量X，有
$F(x) = \sum_{x_{k}\leq x}p_{k}$

随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

例2.4.1:
设随机变量X有如下的概率分布

X	-1	0	1	2
$p_{k}$	0.2	0.3	0.1	0.4

求 $Y = (X - 1)^2$ 的概率分布

$P\{Y = 0\} = P\{X = 1\} = 0.1$
$P\{Y = 1\} = P\{X = 0\} + P\{X = 2\} = 0.7$
$P\{Y = 4\} = P\{X = -1\} = 0.2$

Y	0	1	4
$q_i$	0.1	0.7	0.2

连续型随机变量函数的分布

对于连续型随机变量X，求 $Y = g(X)$ 的概率密度函数的方法是：
根据分布函数的定义先求 $Y = g(X)$ 的分布函数

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{g(X) \leq y\}$

然后求上式对y的导数，得到Y的概率密度函数 $f_Y(y) = F'_Y(y)$

反常积分求导公式：
$\frac{d}{dy}\left[ \int ^{b(y)}_{a(y)}f(t)dt \right] = f[b(y)]b'(y) - f[a(y)]a'(y)$

最后编辑于：2020.12.05 19:56:33

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 204,189评论 6赞 478
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,577评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 150,857评论 0赞 337
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,703评论 1赞 276
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,705评论 5赞 366
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,620评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,995评论 3赞 396
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,656评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,898评论 1赞 298
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,639评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,720评论 1赞 330
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,395评论 4赞 319
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,982评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,953评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,195评论 1赞 260
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 44,907评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,472评论 2赞 342