线性代数(6) 逆矩阵

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逆矩阵

这是矩阵的难点，矩阵只有逆矩阵，矩阵是不能被放在分母上，给一个矩阵 A

方阵的行列式，给一个方阵
$A=\left( \begin{matrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right)$

$|A|=\left| \begin{array}{c} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$

那么方阵和行列式之间关系，行列式一定是一个数，而矩阵是一个数表。
矩阵有很多属性，那么矩阵有那些属性呢？

特征值
特征向量
行列式
等

方阵的行列式

$|A^T| = |A|$ 行列式转置值是不变的
$|kA| = k^n|A|$
|AB| = |A||B| 前提条件同阶

伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵
求所有元素的代数余子式
按行求的代数余子式按列放构成矩阵就是伴随矩阵

伴随矩阵表示方法

伴随矩阵表示方法就是矩阵上加星号上标来表示伴随矩阵
$A= \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} \right)$

$\begin{aligned} A_{11} = 1 & A_{12} = -5 & A_{13} = 1 \\ A_{21} = -3 & A_{22} = 3 & A_{23} = 0 \\ A_{31} = 2 & A_{32} = -1 & A_{33} = -1 \\ \end{aligned} \rightarrow A^{*} = \left(\begin{matrix} 1 & -3 & 2\\ -5 & 3 & -1\\ 1 & 0 & -1 \end{matrix}\right)$

定理:对于任意方阵 $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$

$AA^{*} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & a_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{1n} & a_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} |A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \\ \end{matrix}\right)$

我们先复习一下，在行列式中如果一个数乘以其代数余子式，就是该行列式值，如果乘以不是自己的代数余子式那么就是 0。有了这些基础内容，我们就可以计算上面式子。

是不是所有方阵都有伴随矩阵，答案是肯定的，任何矩阵都有伴随矩阵

$A=(5)$ 的伴随矩阵 $A^{*} = (1)$ ，下面就来推导一下
$AA^{*} = |A|E \Rightarrow (5)A^{*}= 5(5) \Rightarrow A^{*} = (1)$

其实在numpy 中并没有直接提供伴随矩阵求解方法，因为引出伴随矩阵是为解释如何求矩阵的逆矩阵。不过我们可以通过下面介绍如何使用伴随矩阵来求逆矩阵的公式反向求出伴随矩阵。

逆矩阵的定义

逆矩阵 A 的 n 阶方程，才进一步讨论可逆还是不可逆。若存在 n 阶方阵 B，AB = BA = E

$A^{-1} = B$

A 的逆矩阵是 B，这里上标-1并不是表示 1/A

未必所有方阵均可逆，零矩阵就不可以因为 OB = BO = 0
若可逆，逆矩阵是唯一的

$AB_1 = B_1A = E$
$AB_2 = B_2A = E$

$B_1 = B_1E = B_1(AB_2) = EB_2 = B_2 \Rightarrow B_1 = B_2$
一个方阵满足什么条件才可逆，以及如何求一个矩阵的逆矩阵。 $|A| \neq 0$ 这样矩阵也称为非奇异、非退化、满秩、可逆矩阵。
定理：A 可逆的充要条件 $|A| \neq 0$ $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$
有关公式证明，在这里就介绍，毕竟我们是一个为机器学习分享的内容。大部分我们了解结论就行了。

$\begin{aligned} AA^{*} = A^{*}A = |A|E \\ A(\frac{1}{|A|}A^{*}) = (\frac{1}{|A|}A^{*})A = E \end{aligned}$

推论