基于学习路径分析的小学数学分数模块单元整体教学实践研究

 一、研究背景

（一）分数教学的尴尬

分数的认识与理解是小学数学教学中的重要内容，更是自然数向有理数扩充的重要关键点。学生对分数多层级意义本质的把握与领悟将制约着学生后续对除法、比、有理数、函数等相关内容的学习与感悟。

教材编写历来不仅注重各教学内容因学生年龄特点而合理布局，对同一内容也讲究逐步推进，不断深化的编写原则，故教学内容整体上呈螺旋上升状态。然而教学现实中，多数教师较多关注于课时层面的教学设计，较少关注单元、学期及学段层面的教学设想。如此只注重了局部，缺乏对整体的把握，更较少关注学生学习路径的考虑，进而削弱了教学效果。

教学是一门技术活，教师需要打破“只见树木不见森林”的局面，拥有“先有森林再有树木”的整体感，教学设计中兼顾整体与局部，处理好“森林与树木”的关系，才能更好地为孩子们服务，提高教学效率。基于学习路径的教学设计更是提高教学效率的关键所在。

我国小学阶段在数与代数中非常重视分数的教学，但北师大版教材从三年级《分数的初步认识》，至五年级《分数的再认识》，时隔一年半，时间较长。三年级时，学生先入为主地理解了分数是表示部分与整体的关系，即对于分数的“份数定义”的理解比较深刻与牢固。

这样一来导致学生对于分数的其它意义的理解难以深入。事实上教师对分数“份数定义”以外的定义教学也捉摸不透，这对学生把握分数意义本质留下了较多的负影响。这样一来，作为数系链条中的一员——分数的本质意义就被弱化了，这是分数教学的一大尴尬。

（二）教学实践的困惑

“分数的再认识”是五年级内容，这一单元知识内容概念较多，比较抽象，在教学中出现以下困惑：1.教学中如何让学生自己感悟单位“1”这个概念，用什么方法能让学生对单位“1”真正理解？2.在“分数的再认识（一）”情境二中，已知一个图形的1/4的是2个相连正方形方框，推理还原画出这个图形，这是由部分推知整体，逆向思维，学生会遇到较大的困难。如何帮助学生实现逆向思维的顺畅进行？3.分数有“份数定义”、“商定义”、“比定义”、“度量定义”，分数最本质的定义是什么？

为了更准确地了解学生现有情况，摸清学生学习路径，使本单元教学设计能有整体构想，更符合学生的心理需要，契合学生学习路径，更有利于数学思维的发展，在单元整体教学设计之前，对学生进行了相关内容的调研。

调研对象为四年级的20名学生，通过访谈的形式涉及到了以下三个问题：结合生活说一说1/4表示什么意义？说一说3/4表示什么意义？把8块大饼平均分成4份，每人分得几块，每人分得的大饼数占大饼总数的几分之几？梳理孩子们回答的结果发现：孩子们的理解拘泥于把单位“1”物化为一个具体的物体，如蛋糕、绳子、大饼等。对分数的理解也受制于“分”与“取”的过程。对于分数的度量意义没有任何理解，把“8块大饼”看成单位“1”的意识非常淡薄。

通过对访谈结果的梳理，针对上述困惑有如下思考。

1.在理解单位“1”的教学中是否可以引入计算机菜单式理解模式，采用“打包”概念理解单位“1”。为了便于理解将单位“1”理解成整体“1”。整体“1”就相当于文件夹，份数“1”就相当于文件夹里面的其中一个文件。

2.在情景一找出3/4的过程当中，强调整副图为整体“1”，然后依据分母的数值把整体“1”平均切割为若干个份数“1”。

3.关于分数的定义及其本质也做了一些思考。份数定义是基于实物操作而理解的定义，主要建立于“分”“取”两个连续动作的理解上，对于三年级的孩子，处于具体演算阶段，这种引入显然是必要且可行的，但是它所揭示的是部分与整体的关系，显然不是分数的本质定义。

二、概念界定与文献综述

（一） 概念界定 

1.单元整体结构：单元整体结构基于单元整体的视角，依据具体的学情分析，确立与数学学科核心素养体系对接的单元教学主题。在此基础上，教师对学生的学习结构进行合理的规划，凸显对核心素养的重点关照，夯实学科特定的文化基础，促进学生的自主发展。

2.学习路径：学生在学习新知时通过调用已有生活经验、认知觉察，运用已掌握的方法，按照固有的思维方式将新知拆解纳入已有认知体系，并逐步内化的模式、策略、图式与过程。

3.分数：分数是一个兼具多层级意义的数学概念，分数的意义和内涵也比较丰富，重点研究份数定义、商定义、比定义、度量定义。

（二）国内外对分数定义的研究

笔者以“单元教学”“整体教学” “小学分数教学” 等相关词语作为关键词语，在“中国（CNKI）学术文献总库”等相关研究进行检索，检索到一些相关的期刊、著作，但研究数学单元整体结构的论文不多，只有20篇左右，其中硕博论文2篇；分数教学共检索到相关文献1524篇左右，其中，硕士论文61 篇，博士论文 0 篇。

1.国外对分数定义的研究

分数定义来源于“分割法”，它是把一个整体的部分概念化为一个新的单位，即“conceptualizing a part of a wholeas a new unit”。在人类历史发展的古代时期，“一能”通常被认为“不可分割或不能分离”，即把“一”看成是一个完整的个体，于是，这种对分数的定义便应运而生。因此，这种来源于分割法的“份数”定义就是“把整体‘一’平均分成若干份，表示其中的一份或是几份的数就是分数”。[1]

Dickson认为分数概念应该用五种形式表达：①部分与整体：用以表示连续的整体（连续量）平均分后部分与整体的关系，而且通常是通过面积模型来认识分数是比较容易的；②把一个集合（离散量）等分为若干份，用以表征其中的１份或几份；③在数轴上表示两个整数间的一点：在数轴上，任何两个标准单位为１的区间，位于区间的一点，其意义与部分与整体相近。；④除法的运算结果：在除法运算中如果除不尽时，商可以用分数形式来表示；⑤两个量的比：连续量或离散量的情景下两个量的比较的结果可称为比值。[2]

2.国内对分数定义的研究

在《分数的意义》中人教版教材给出：一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。

张奠宙在《小学数学研究》一书中对分数进行了四种定义：①份数定义：分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份。②商定义：分数是两个整数相除（除数不为0）的商。③比定义：分数是整数q与整数p（p不为0）之比。④公理化定义：有序的整数对（p,q），其中p不等于0。[9]他认为教材中的份数定义对于初学者来说直观易懂，但是份数定义也有不少缺点，他认为，份数定义只能作为教学的起点，不适合过分的强调，应迅速转向更抽象的定义。商定义就体现了分数的本质，分数的真正来源是自然数除法的推广，这一定义符合数系扩张的数学思想，学生必须面对这一定义。

学生深入认识分数概念，不仅对于小学阶段后续进行的分数四则运算，解决分数实际问题奠定坚实的基础，同时对于学生初中阶段对有理数的认识、进行分式计算等相关内容有着极其深远的影响。

张丹教授综合以上观点，把对分数的认识归结为两个维度和四个关系上：两个维度是比和数；四个方面是比率、度量、运作和商。（如图2）[3]

章勤琼教授认为分数的初步认识以后，直到五年级下册，才再出现分数的内容。显然，在这期间，学生对分数的理解都是“‘部分—整体’关系”的意义。在五年级下册 “分数的意义和性质”中，在结合实际情境再一次强调了分数的份数定义后，明确提出了单位 1 的概念，接着过渡到 “分数与除法”，这事实上是分数的 “商”的意义，而且教材中也出现了ａ÷ｂ＝ａ/ｂ这样明确的分数与除法的关系。在 “真分数与假分数”这一节中，要求在数字线上标出相应的分数，这里采 用的是分 数的 “测量”意义，强调不同分数在数字线上的位置以及与０点的距离。而在后面“分数的基本性质”“约分”“通分”这些内容中，强调的则是分数的“比”意义，也为后面的分数运算奠定了基础。

3.对分数“率”与“量”理解

要使学生整体把握理解分数的本质，从教学的角度讲，从“率”入手偏向于知识的“顺应”，而从“量”入手更加重视知识的“同化”。因为学生之前一直学习“自然数除法”，对于“量”的生活经验和数学认知明显多于“率”，从“量”入手进行分数教学，就是像自然数那样学习分数，更是从分数的单元整体去把握，更容易进入学生的认知结构。这也吻合分数的起源。从“量”入手，已经距离“用分数表示商”不远。而后以“自然数除法”为依托再向前推进一步，采用“商的扩展”（商定义）方式组织分数教学。有专家也曾说过：从知识衔接的角度，建议可在有关实物均分的整体与部分的例子中增加若干运用到简单除法运算的例子，从而引导学生关注分数与除法的关系，一方面显示分数就是除法运算的结果，另一方面帮助学生将分数从具体事物中抽象出来。从学生的学习经验和知识储备看，他们有丰富的“平均除”和“倍数除”经验，尤其是“平均除”，具有在原有整数商的基础上建构分数商的基础。从数学的发展来看，如果抛开分数的公理化定义，分数的商定义和比定义涵盖作为量的分数和作为率的分数，外延较之份数定义要大。

三、研究问题

（一）分数单元在教材中的编排

基于学习路径分析的单元整体教学设计需要把握教材特点对单元内容进行梳理、整合, 并以单元内容为载体, 结构化地安排与推进教学活动。这一形式改变了传统意义上的从“分”到“整”的教学过程, 呈现的是从“整体感知”到“分步学练”再到“综合运用”的三步法。即:先引导学生对单元知识的整体理解, 明确步骤要领 (教结构) , 再指导学生详细学习该结构的基本规律、基本方法 (学结构) , 最后引导学生运用规律和自主学习单元中其他类特征的内容 (用结构)。

分数的认识，属于课程标准内容“数与代数”板块中“数的认识”范畴。第一学段《分数的初步认识》是学生学习分数的开始，教材安排在三年级下册第六单元，这一学段的教学目标是“能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写简单的分数，即初步认识分数；第二学段《分数的意义》是分数的再认识，教材安排在第九册第五单元进行教学，这一学段的目标是：结合具体情境，更深层次地认识分数，掌握分数与除法的关系，能进行分数的大小比较；掌握找最大公因数和最小公倍数的方法，对分数进行约分。即理解分数的意义。

《标准（2011年版）》中明确指出“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析，从不同的层次进行理解。其中红色字样为重点研究的课例。如图1

（二）研究问题

分数概念是一个庞大的系统,学生对分数概念的理解不是一蹴而就的,分数各个概念之间是相互联系,环环相扣的,平均分、除法、小数、约分、通分、比、百分数等等共同构成了严密的分数概念体系。学生在头脑中是否有一个清楚的概念图,以分数为核心辐射出其他相关概念,并且熟知各个概念与分数之间的关系。因此，在分数的再认识教学中，如何在三年级已经习得的“份数定义”的基础上，研究学生通过怎样的学习路径学习理解分数的其它定义，是本研究的研究问题。具体地可以细化成以下问题。

1.学生在三年级与五年级学习分数之前分别对分数的理解达到了什么水平？

2.学生达到这种水平的有利条件与限制原因是什么？生活经验、知识体系、思维方式分别发挥了什么作用？

3.为了让学生全面理解分数多层级意义，基于学习路径分析如何构建单元整体教学设计理念下的课堂教学？

四、研究设计

1.研究对象

选取北师大版数学教材使用学校。景德镇市陶新学校（地市区属非热点学校）三年级2个班，五年级2个班，随机各抽取1个班。三年级35人，其中男生20人，女生15人。五年级40人，其中男生22人，女生18人。乐平市第九小学（县市级直属热点学校）三年级共有12个班，五年级共有15班，三年级与五年级各随机抽取一个班。三年级人数55人，其中男生30人，女生25人。五年级人数63人，其中男生35人，女生28人。

2.研究过程

整个研究过程，可以分为五个阶段，渐次推进：①课题准备筹划阶段②课题实践研究阶段③课题中期汇报阶段④课题推进应用阶段⑤课题结题推广阶段。

3.总体框架

①学习有关分数的文献，全面认识分数；②研读教材，理解教材编排，体会教材对有关分数概念的布局与安排；③研读教材后对分数有关概念如何渗透进行进一步分析与提出参考性建议；④通过调查与访谈了解学生对分数的理解达到的水平；⑤教学实施与课堂观察及教学反思，探寻学生对分数理解达到现有水平的原因及限制条件；⑥学生对分数意义理解水平的认知条件分析和整体反思（包括单元教学材料反思）；⑦构建单元整体教学设计下的课堂教学模式与路径，撰写研究报告；⑧对分数意义单元教学材料进行修改与完善。

4.研究方法

（1）文献资料法：收集和研究现今国内外与本课题相关的理论以及研究成果，加以学习，使我们课题研究的内涵和外延更明确、更科学，对有关大观念、单元结构、深度学习、教学策略等的理论依据、实践经验进行总结、分析和提炼，争取在现有的研究水平上有所突破和提高。

（2）调查研究法：在课题实施阶段，由实验教师根据学生年段设计调查问卷，对所任教班级进行问卷调查。教师根据回收问卷设计统计表格与统计图进行分析，探究学生问卷中所蕴含的问题与结论。同时为了解我校教师在课堂中基于学习路径进行研究的现状及效果，获取第一手材料，为课题提供充足的事实依据。

（3）行动研究法：教师利用基于学习路径单元整体教学设计理念设计教学活动，观察学生在活动中的表现，收集相关资料，对学生的行为进行分析研究。教师要将行动与研究结合起来，根据研究中遇到的具体情况，边实践、边探索、边修改、边完善，逐渐探索并总结出基于学习路径进行教学的教学模式与学习方法。

（4）实验法：将实验班级和非实验班级、实验班在实验前后情况进行比较，以了解实验的成效，通过对比研究，改进教学方法，优化教学手段，提高教学效果。

（5）观察法：通过观察在建构单元整体教学下的课堂教学实验班与非实验班孩子们课堂表现，记录课堂上孩子们的思维状态与活跃程度，以及发生的知识之间的链接情况，课后分析异同点，寻求内在的思维规律与思维路径。

（6）访谈法：针对学生对分数的理解达到了什么水平，除了问卷调查，还可以在不同的年级，不同的班级，抽样进行访谈。通过更融洽的氛围，引导孩子说出自己对分数理解的最真实的情况，便于教师更加掌握孩子对分数的理解的情况。

（5）经验总结法：课题实施过程中，通过总结反思，全面深入、系统地提炼可行性的策略，并进行分层推广，逐步推进。

5.研究数据收集与分析的方法

数据收集的方法：

1.统计调查：全面调查、非全面调查；

2.抽样调查：（1）简单随机抽样；（2）分层抽样。

数据分析的方法：

1．理论分析（定理、命题等）；

2．实证分析。

利用获取的资料、数据进行分析以对理论上获得的结论进行实际验证。

数据分为离散型数据和连续型数据。

6.研究步骤：

五、预期成果

1.分数意义单元教学材料（或活动手册），含课后练习等。

2.“基于学习路径分析的小学数学分数模块单元整体教学实践研究”的研究报告。

3．优秀课例与论文汇编。